循環(huán)比賽名次R

1、實驗報告實驗課名稱：數學模型指導教師：朱學生姓名:年級專業(yè)：應用統(tǒng)計學學號：2實驗名稱:循環(huán)比賽的名次實驗日期:年10 月9日實驗成績:1.熟悉圖論模型的建模方法。2.熟悉掌握用matlab處理圖論模型中的相關計算。問題重述若干支足球隊參加單循環(huán)比賽，各隊兩兩交鋒，假設每場比 賽只計勝負，不計比分，且不允許平局。在循環(huán)賽結束后怎樣根 據他們的比賽結果排列名次呢。我們的目標就是針對這種不規(guī)則 的比賽數據提出一種算法，盡可能合理地反映各隊真實水平。二.問題分析有六支球隊進行比賽，其中1隊戰(zhàn)勝2, 3, 4, 5, 6隊，而輸給了 3隊；5隊戰(zhàn)勝3, 6隊，而輸給1, 2, 4隊。現用圖的頂點表示球

2、隊，而用連接兩個頂點的，以箭頭標明 方向的邊表示兩支球隊的比賽結果。根據比賽結果排名次的一個辦法是在圖中順箭頭方向尋找 一條通過全部6個頂點的路徑，如3 T* 24 十6 一 這表示3隊勝1隊，1隊勝2隊，于是3隊為冠軍，1隊為亞軍等等。但是還可以找出其他路徑，如1 F-6弋 乞 f f5,決定誰是冠軍。排名次的另一個辦法是計算得分，即每支球隊獲勝的場次。上例中1隊勝4場，2, 3隊各勝3場，4, 5隊各勝2場，6隊勝 1場。由此雖可決定1隊為冠軍，但2, 3隊之間與4, 5隊之間無法決出高低。四.符號說明Rj第i支球隊勝第j支球隊的概率A鄰接矩陣aij表示第i支球隊與第j支球隊的能力S頂點的

3、得分n表示n支球隊五.模型建立和解決設n支球隊或隊員比賽，第i支球隊與第j支球隊由比賽表現的能力為：aij = pij a ji =1-pij(i=1,2,n j=1,2,n)其中pj表示第i支球隊勝第j支球隊的概率。且設a j =0,則第i支球隊勝其余n-1支球隊的能力表示為:nS i= aij (i=1,2,3 n)i 1則各球隊的排名根據Sij的大小進行。?=?存在從頂點？到？的有向邊(1)?否則D對于開始提出的6支球隊循環(huán)比賽的結果，不難看出這個競賽圖是雙向連通的。寫出其鄰接矩陣若記頂點的得分向量為0 (2)S=(?.,?)?,其中？?是頂點i的得分,則由(1)不難知道S=A1, 1=

4、(1,1,1 )?由(2), (3)式容易算出 s= (4, 3, 3, 2, 2, 1)?記s=?),稱為一級得分向量，進一步計算,?)=A?)稱為2級得分向量，每支球隊（頂點）的2級得分是他戰(zhàn)勝的各 個球隊的（1級）得分之和，與1級得分相比，2級得分更有理 由作為排名次的依據。繼續(xù)這個程序，得到 k級得分向量。?)=A?-?)二？?1, k=1,2,(5) ?)= (4, 3, 3, 2, 2, 1)?, ?(?)= (? ? ? ? ? ?)=(15,10,16,7,12,9)? ?(?)=(38, 28,32,21,25,16)?K越大，用？?）作為排名次的依據越合理，如果 kTK時，

5、？?）收斂于某個極限得分向量，那么就可以用這個向量作為排名次的依 據。再利用Perron-Frobenius 定理，素陣A的最大特征根為正?夕？單根? ?對應正特征向量s,且有？?=s（6）進一步算出A的最大特征值根?=2.232和特征向量s=(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)?,從而排出名次為? 1 7 T 7 7 r J 六、模型優(yōu)缺點以及改進優(yōu)點: 該方案簡單易行，原理清晰,依據可靠,論證有力，結論最優(yōu)。并將 現實中的問題用簡單的線性規(guī)劃問題進行分析計算，結構簡單, 計算方便。缺點:該模型在處理此問題時有假設與理想化的思想，與實際問題的求 解還有一定的距離。通過此次建模，令我們有了一次正式的親自動手的機會。有利于 激發(fā)我們學習數學的興趣，豐富我們數學探索的情感體驗；有利 于我們自覺檢驗，鞏固所學的數學知識，促進對所學知識的吸收。本次實驗讓我們收獲頗豐。，也使我們深刻認識到我們