現(xiàn)代控制理論薛安克版第10章習題答案

1、2.從矩陣A的特征多項式:sin 1a1s1 San，Institute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi University 10-1 , 10-2 , 10-3 , 10-4 知識點 極點配置的設計步驟:1）標準算法（書上步驟）1.止步，判斷受控系統(tǒng)（A, B,C）的可控性。如果狀態(tài)完全可控，繼續(xù)下 否則，此系統(tǒng)不可實現(xiàn)極點的任意配置；確定系數 a(i 1,2,.,n)；3.求取使系統(tǒng)化為可控標準型的線性非奇異變換矩陣口A其M ，其P1An1i=fp1為Qk1的最后一行，如果已經為可控標準型，則4.

2、期f(S) i1(s、 ns) sas5.按照KKP1ananan 1 . Q求取狀態(tài)反饋增益矩陣。2）解聯(lián)立方程法（例題步驟）1.判斷受控系統(tǒng)（A, B,C） 的可控性。否則，此系統(tǒng)不可實現(xiàn)極點的任意配置；rH如果狀態(tài)完全可控，繼續(xù)下一步，2.設狀態(tài)反饋增益矩陣K為K kk k rn 1 rv o3.引入K之后，系統(tǒng)的特征多項式為:的 特4. 期 望si(A BK)多 項 式Institute of Systems Science and Control Engi neering, Hangzhou Dianzi UniversitynaniSf*(s) i1(s s) s5.聯(lián)立方程得出K

3、。Institute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi University10-1. (1)由給定的傳遞函數10G(s) s(s 2)(s 3)s3107s210s無零、極點相消，知系統(tǒng)可控，可實現(xiàn)極點任意配置，采用可控標準型的實現(xiàn)形式為:10方法一:1.矩陣A的特征多項式:si7s210s2. 由題知，系統(tǒng)已經為可控標準型，則3. 由期望的閉環(huán)極點可以得到，系統(tǒng)的期望特征多項式為:f (s) (s 4)(s 1 j)(s 1 3j) s6s2 1(s 84. 則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣為:K KP1 *

4、*anan an1an 1.a1Q P'8 0-1方法二:1.設 Kk3k2 ki，引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項式為:f(s)si (A BK) s3(k1 7)s2 (k2 10)s k32. 由期望的閉環(huán)極點可以得到，系統(tǒng)的期望特征多項式為:f*(s) (s 4)(s 1 j)(s 1 j) s3 6s2 105 83. 對應系數相等，可得ka8, k?0, ki 1Institute of Systems Science and Control Engi neering, Hangzhou Dianzi University即 K 8 51G(s) s(s102)10s3 3s

5、2 2s，Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University(2)同(1)系統(tǒng)可控，可實現(xiàn)極點任意配置 采用可控標準型實現(xiàn):0u方法一:1.矩陣A的特征多項式:si3s2 2s2.由題知，系統(tǒng)已經為可控標準型，則3.由期望的閉環(huán)極點可以得到，系統(tǒng)的期望特征多項式為:f (s) (s 3)(s 1 2j)(s1 2j) s3 5s2 11s 154. 則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣為:KP 1anan an1a1 . a； Q P115 9 2方法二:1.設Kk3 k2 匕，引入狀態(tài)反饋后，系

6、統(tǒng)的特征多項式為:f(s)si (A BK) s3 (K 弱(kz 2)s k32.由期望的閉環(huán)極點可以得到，系統(tǒng)的期望特征多項式為:f*(s) (s 3)(s 1 2j)(s 1 2j) s3 5s2 11s 153.對應系數相等，可得k3 15*2 9,k12Institute of Systems Science and Control Engi neering, Hangzhou Dianzi University即 K 15 9 #f (S)S22nS70s 2450( 1)由原系統(tǒng)的傳遞函數：G(s)s(s 6)1s2 6sInstitute of Systems Science

7、and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University 10-2.由題知，期望的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為:方法二:1.無零、極點相消，系統(tǒng)可控，可采用狀態(tài)反饋達到期望的性能指標。可控標準型的實現(xiàn)形式:010x u0 -612.設Kk2 ki，引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項式為:f(s) |sl (A BK) s2 (k1 6)s k?3. ( 1)與(2)式，對應系數相等可解得:k22450 , k1642450 64Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou

8、 Dianzi University 10-3.與 10-1 類似。1. 由（A,B,C ）的形式知，為可控標準型，故系統(tǒng)可控，可實現(xiàn)極點任意配置。2. 設K k2 k1，引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項式為:f(s) si (A BK) s2(K4)s k23 （ 1）3.期望的特征多項式為:f (s) (s 4)(s 5)s29s204.（ 1）與（2）對應系數相等，得k217, k1故 K 17 5Institute of Systems Science and Control Engineering, Hangzhou Dianzi University10-4.(1) 1.先判斷系統(tǒng)的

9、可控性:0Qk B AB A2B 01001010010110990rank (Qk)1.系統(tǒng)可控，可通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)極點任意配置。2.設K k, k2 k1 ,引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項式為3.f(s) |sl (A BK)s3期望的特征多項式為：(1110k1)s2 (1110k110k2)s 10k34.f (s)(s10)(s1 V3j)(ss3 12s2 24s 40對應系數相等，10k110k1111110k3401210k224k1k2k30.11.2即：K 4 1.2 0.1狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結構圖4Institute of Systems Science and Contro

10、l Engi neering, Hangzhou Dianzi UniversityT 治 At, LAn 1t1 ，其中，h為可觀性判別陣Qg逆矩陣的最后列。3.確定可觀標準型所對應的反饋矩陣G，特征方程為：si (AGC)4.f (s)ni1(S s) saniSInstitute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi University 10-5知識點 設計全維狀態(tài)觀測器的步驟:1. 判斷可觀性，系統(tǒng)完全可觀時可以任意配置極點。2. 對于階數較高的系統(tǒng)，需要先化為可觀標準型：變換矩陣5.對應系數相等，得

11、到6.確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程的狀態(tài)觀測器反饋矩陣 2G。G TG 1則，原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為:(A GQx Bu Gy cx10-5.( 1)1.檢測系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性:可觀性判別矩陣:Q CA10ran k(Qg)Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University但系統(tǒng)但系統(tǒng)完全可觀，可通過設計全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)極點任意配置不具有規(guī)范形式，對于除數較高的系統(tǒng)，需將其轉化為可觀標準型。2.確定變換矩陣T。0.5T t1 Atj0.5 0.51T103. 化系統(tǒng)為可觀標準型。引入

12、線性非奇異變換Buy C其中 A T 1ATC CT 0 14.設在可觀標準型下，的特征多項式為：系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為G2f(s) si (A GC)s2 (1 1)s 2根據極點配置要求，期望的特征多項式為f (s) (s 1)2s2 2s 1對應系數相等，可得g21, g1Institute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi University5.確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程的狀態(tài)觀測器反饋矩陣 2TG1所以，原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為: (A GC) Bu Gy輸出方程：y ex 2 -1 x

13、g2(PS.)二階不算高階，可以直接計算 狀態(tài)觀測器的特征多項式為：f(s) sI期望的特征多項式為：2(A GC) s(2g2g11)sg1對應系數相等，可解得(s) (s 1)2s2 2sg22, g11即：GInstitute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi University(2)司(1)1.可觀性判別矩陣:C 1 0QgCA 0 1rank (Qg) 2系統(tǒng)完全可觀，可通過設計全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)極點任意配置。2.確定變換矩陣TtiAtT11 0t1 Qg 13. 化為可觀標準型4. 設在可觀標

14、準型下T 1AT31C CT 0系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣g2Tg1,相應的特征多項式為:f(s) Si (A GC) s2(13)sg2根據極點配置要求，期望的特征多項式為:f (s) (s 5)2 S2 10s 25對應系數相等，可得g2 23, g123故G 75.確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程的狀態(tài)觀測器反饋矩陣TG狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為:Institute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi Universityx (A GC)xBu Gy輸出方程：y 1 0直接計算，設G g2狀態(tài)觀測器的特征多項式為:2

15、f(s) sI (A GC) s(g23)s3g22 gi期望的特征多項式為:f (s)(s5)210s25對應系數相等，可解得g27, gi2 即: G 7CAcA系統(tǒng)完全可觀，可通過設計全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)極點任意配置。2.確定變換陣T。(3)同(1)1.可觀性判別矩陣:rank(Qg)0T t1 At A2t1t1 O/o1Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University0 0 1T111 00 1 03.化為可觀標準型0A T 1AT 110 C CT 014.設在可觀標準型下

16、，系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣 應的特征多項式為：Gg3 g2g1T,相f(s) siQ(A GC) s3(1 1)s2g2Sg3狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為:根據極點配置要求，期望的特征多項式為:f（S）232(S 3)2(s 4) S3 10s233s 36對應系數相等，可得g3 35, g2 33, g11135故G 33115.確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程的狀態(tài)觀測器反饋矩陣TG441135Institute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi University1441044 (A GC)x Bu Gy 111

17、0 x0 u110360135輸出方程：y 0 1 0直接計算，設G g3 g2狀態(tài)觀測器的特征多項式為：f(s) |sl (A GC)|期望的特征多項式為：s3(g21)s2(g3-g2)S 1 gif*(s) (s 3)2(s4)s310s233b 36對應系數相等，可解得g344, g211, g135系統(tǒng)完全可觀，可通過設計全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)極點任意配置。法一：化為可觀標準型44即: G 1135(4)同(1)可觀性判別矩陣:Crank(Qg) 3q CACAInstitute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou

18、Dianzi University10.50.500.2500.250.25T t1 AtjA2t10.250.751.250.250.250.751T1210T 1AT 10 202 C CT 0 0 113設在可觀標準型下，系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣0.25G g3 g2 gl ,相應的特征多項式為:f(s) sI (A GC) s3(13)s(22 s 32根據極點配置要求，期望的特征多項式為f(S)(S 1)2(S2) s3 4s2 5s 2對應系數相等，可得g34, g23, g177G tG 1275oInstitute of Systems Science and Control

19、 Engi neering， Hangzhou Dianzi University (A GC)BuGy611712 y5輸出方程：yg3直接計算，設狀態(tài)觀測器的特征多項式為:f(s) |sl (A gCs © 3)s (2 2g3 a g)s g3g2 3g期望的特征多項式為:f (s) (s 1)2(s 2)s34s2 5s對應系數相等，可解得g37,g212, g17即：G 125(5)同(1)1.可觀性判別矩陣:Crank (Qg)3CACA16120t1AtA2t1161206T1001ATCT 0設在可觀標準型下，的特征多項式為：系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣g3 g2f(s

20、) si(A GC) s3 1s2(2 3s g32根據極點配置要求，期望的特征多項式為f (s)(s 3)(s 4)(s5)s3 123247s 6058, g250, g1125820故G50G tG 251212對應系數相等，可得狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為:g32020 (A GC) BuGy241225 y12Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi UniversityoInstitute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzho

21、u Dianzi UniversityTg2 g法二：直接計算，設G g3 狀態(tài)觀測器的特征多項式為：f(s) si (A GC)s3gs2 (2g23)s 6gb 2g2 gi 2f(s) sI (A BK) s2 (k1 1)s k2( 1)期望的特征多項式為:f (s) (s3)(s4)(s 5)s3 1232 47s 60對應系數相等，可解得g320, g225, g11220即：G 251210-6. （1）.由傳遞函數形式（無零、極點相消），系統(tǒng)可控、可觀，存在矩陣K、G，使得系統(tǒng)及觀測器的極點可以任意配置。由分離定律可知，狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測器部分可獨立設計。a）狀態(tài)反饋部分因為系

22、統(tǒng)可控，可寫出可控標準型形式:1Oxx -1y 2由于系統(tǒng)階數較低，這里我們采用直接設計方法:設K k2 ki，引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項式為:Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University由期望的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數值，期望的特征多項式為:f (s) s2 2s 2b)(1)與(2)對應系數相等，得 k2狀態(tài)觀測器部分:2,k1設 G g2 g1T狀態(tài)觀測器的特征多項式為:f(S) si (A GC) s(2g21)s 2g22g1期望的特征多項式為:f (s) (s 5)2

23、s210S25對應系數相等，可解得g292,g18即:狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為: (A GC) Bu Gy916輸出方程：y 2 0系統(tǒng)的結構圖如下:?2用狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測器之后，Institute of Systems Science and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University4x3(10-7.先判斷系統(tǒng)的可控、可觀性:Q B AB100100500rank(Qk) 2CQg CArank(Qg)2系統(tǒng)可控、可觀，故存在矩陣K、G，使得系統(tǒng)及觀測器的極點可以任意配置。a ）狀態(tài)反饋部分:institute of Systems Sc

24、ience and Control Engi neering，Hangzhou Dianzi University由于系統(tǒng)階數較低，這里我們采用直接設計方法:設K k2 k1，引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項式為:f(s) si (A BK) s2 (10% 5)s 10Ck2由期望的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數值，期望的特征多項式為:10s 41(1)與(2)對應系數相等，得k25100f (s) (s 5 4j)(s 5 4j) s2415100 100b )狀態(tài)觀測器部分:設 G g2 g1T狀態(tài)觀測器的特征多項式為:f (s) si (A GC)(g2 5)s5g2 g1期望的特征多項式為:f (s) (s 20)(s25)s245b 500對應系數相等，可解得g240, g1300 即：G40300狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為:x (A GC)xBu Gy403000 u 100oInstitute of Systems Science and Control Engi neering， Hangzhou Dianzi Universi