(完整版)大連理工大學高等數(shù)值分析有限元簡述-2017

1、橢圓與拋物微分方程的有限元法有限元法是與差分法并駕齊驅的一套求解偏微分方程 的方法。它的基本想法是，首先把微分方程轉化成一種變分 方程(微分積分方程)，從而降低了對解的光滑性和邊值條 件的要求；然后，把求解區(qū)域劃分成有限個單元(有限元) 構造分片光滑函數(shù)， 這個光滑函數(shù)由其在單元頂點上的函數(shù) 值決定；最后，把這個分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方 程中去，就得到關于單元頂點函數(shù)值的一個線性方程組，解 之即得有限元解。與差分法相比，有限元法易于處理邊界條 件，易于利用分片高次多項式等等來提高逼近精度?？臻gHm作為例子，我們將考慮區(qū)間I 0,1上的微分方程。用L2(I)表示在I上勒貝格平方可積函數(shù)的

2、集合，Hm表示本身以及直到m階的導數(shù)都屬于L2(I)的函數(shù)的集合。我們 下面用到的主要是 H1(I)O這里所說的導數(shù)準確地說是應該是 廣義導數(shù)，對此我們不予詳細說明，只需知道比如說，連續(xù) 的分片線性函數(shù)(折線函數(shù))就屬于 H1(I),其廣義導數(shù)是分 片常數(shù)函數(shù)。另外，我們還用到空間HE(I) v H1(I),v(0) 0 o(空間=函數(shù)集合。)微分方程考慮兩點邊值問題（pu ） qu f, x （0,1）（1）u（0） 0（2）u （1） 0（3）其中p, q, f都是區(qū)間（0,1）上的光滑函數(shù)，q 0,并且p P0, P0是 一個正常數(shù)。 用HE中任一函數(shù)v乘（1）式兩端，并在0,1 上積分

3、，得 10 （ pu ） v quv fvdx 0（4）利用分部積分，并注意u （1） 0和 v（0） 0，得1111（pu ）vdx pu v |0 pu v dx pu vdx以此代入到（4）得到1 （pu v quv fv）dv 0（5）為了方便，定義1w,v w vdx（ 7）a（w, v） （pw ,v ） （qw,v）（8）則相應于微分方程（1）-（3）的變分方程 為：求u hE滿 足a（u,v） （f ,v） v H 1E （I ）（9）注意在（9）中不出現(xiàn)二階導數(shù)?？梢宰C明，滿足微分方程（1） -（ 3）的光滑解一定滿足變分方程（9） 。 （ 9）的解稱之為（ 1） -（ 3）

4、的廣義解，它可能只有一階導數(shù)，因此可能不是(1) - (3)的解；但是如果它在通常意義下二階可微，則一定也是(1)-(3)的解。另外注意，在變分方程(9)中，我們強制要求廣義解u滿 足邊值條件u(0) 0,因而稱之為強制(或本質)邊界條件； 而對邊值條件u(1) 0,則不加要求。但是可以證明，如果廣 義解u在通常意義下二階可微，則一定有u(1) 0,即這個邊界條件自然滿足。這類邊界條件稱之為自然邊界條件?？傊?，變分方程(9)不但降低了對解的光滑性的要求，也降低了 對邊值條件的要求。有限元空間 構造有限元法的第一步與差分法一樣， 也是 對求解區(qū)間作網(wǎng)格剖分 0 X0 X1 L Xn 1。相鄰節(jié)點

5、X1,Xi之間 的小區(qū)間Ii X 1，X稱為第i個單元，其長度為 hi Xi Xi 1 o記 h maX h o在空間HE(I)中，按如下原則選取有限元空間Vh：它的元素Uh(X)滿足所謂本質邊界條件 Uh(0) 0,在每一單元上是 m次 多項式，并且在每個節(jié)點上都是連續(xù)的。當 m 1時，就得到 最簡單的線性元，這時每個qVh可表為Uh(X) jX-XUi 1 X Xi 1 U X I i 1,2,L ,n(10)hihi其中 Ui Uh(Xi), U0 Uh(0) 0O線性元的另外一種表示方法是利用以下具有局部支集的基函數(shù)：1 xTXi x x h，、, x x.一.i(x)1 ，X x x

6、 i i 1,2,L ,n 1h 10,在別處.x xn1n,xn 1 x xnn (x)hn0,在別處(11)(12)圖2.線性元的基函數(shù)顯然，任一 Uh Vh可以表為nUh(x) Ui i (x)(13)i 1有限元方程將變分方程(9)局限在有限元空間上考慮，就得到有限元方程：求有限元解Uh Vh滿足a(Uh,Vh) (f,Vh)Vh Vh(14)注意到Uh和Vh都可以表示成(13)形式，容易看由(14)等 價于如下的線性方程組：求節(jié)點上的近似解U1,L ,Un滿足na( i, j)Ui (f, j), j 1,L ,n(15)i 1這個線性方程組是三對角的，可以用追趕法求解。可以把微分方

7、程(1)、變分方程(9)和有限元方程(15) 比喻為確定“好人”的三種標準：他每一時刻表現(xiàn)都好；每 一個人都說他好；一個遴選委員會說他好。誤差估計 可以證明，微分方程(1)-(3)的解u和有限 元方程(14)或(15)的解山之間的誤差滿足|u Uh| h|u Uh| Ch|u |(16)其中C是一個常數(shù)；|?|表示L2(I)范數(shù)，定義為., b b 22c/IIv| J(v,v)v dx , v L (I)(17)a二維橢圓方程有限元法以二維區(qū)域上的Poisson方程第一邊值問題為例： 22-4 -4 f(x,y), (x,y) G(18)x yu| 0(19)其中G是以 為邊界的一個二維區(qū)域

8、。利用Green公式，容易推生相應的變分方程：求 u H 1(G)滿足a(u,v) (f,v), v H0(G)(20)其中空間H0(G)由在邊界上為零且廣義偏導數(shù)在區(qū)域G上勒貝格可積的所有函數(shù)組成，(w, v) wv dxdy(21)Gw v w v(a(w,v) ()dxdy(22)g x x y y二維區(qū)域上最常用的剖分是形如下圖的三角剖分：9181D我們可以相應地構造三角剖分上的線性元。對內點集合Gh（例如上圖中3， 6， 5 這三個點）中每個節(jié)點i ，定義其基函數(shù)i（x,y）為一個分片線性函數(shù)，它在節(jié)點 i取值為1,而在 所有其他節(jié)點為0。這樣，有限元空間Vh中任一元素就可以表示成U

9、h（X）Ui i（x）o把它帶入到變分方程（20）使得有限i Gh元方程：求Gh上的近似解Ui滿足a（ i, j）ui （f, j）, j Gh（ 23）i Gh高次元可以從兩個途徑來提高有限元法的精度，一個是加密網(wǎng)格，另一個是利用高次元。例如對于一維問題，可以使用所謂Hermite 三次元，它在每一個單元Iixi 1,xi 上是一個三次多項式，由兩個端點上的函數(shù)值和導數(shù)值總共4 個參數(shù)確定。這時，相應于（16）我們有誤差估計3|U Uh| h|U Uh| Ch4|U（k）|（ 24）k0其中u（k）表示k階導數(shù)。對于二維問題也可以使用高次元，但 是其定義要稍微復雜一點。拋物方程有限元法考慮一

10、維拋物方程-u -(p-u) qu f, 0<t T, 0x1(25)t x xu(x,0) U0(x), 0 x 1(26)u(0,t) 0, -u(1,t) 0, 0 t T(27)x其中系數(shù)p,q,f都是x和t的已知光滑函數(shù)，初值u0(x)是x的已知光滑函數(shù)。它的變分方程為：求u(x,t)使得對每一個固定的t 0,T,都有 u(x,t) HE(I),并且(n) a(u,v) (f,v), v HE(I)(28)其中1(w, v)0 wv dxdy( 29)w v a(w,v) (p ,一)(qw,v)(30)x x拋物方程有限元法的通常做法是在時間方向用差分法， 在空間方向用有限元

11、法。象在(10)中那樣，可以關于變量 x構造線性有限元空間Vho令時間方向步長為 。若時間方向 用向前差商，空間方向用線性有限元，并記fk f(x,k ),則有n限元方程為：對k 1,L ,K T/ ,逐層求ukuik i(x) Vh滿足i 1k 1 k(-,vh) a(u：,vh) (fk”h), vh Vh(31)這相當于在每一層要解一個線性方程組：nk 1 k n(i, j)(-) a( i, j)u： (fk, j), j 1,L ,ni 1i 1或者稍微整理一下：nnn(i, j)uk 1( i, j)uika( i, j)u： (fk, j), j 1,L ,n (32)i 1i 1i 1如果在時間方向用梯形公式，則類似于（31）得到所謂Crank-Nicolson 格式kUhkUh,Vh)a(kUhkUh,Vh)fk 1,Vh),VhVh(33)習