2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第1講集合

1、2022年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第1講 集 合一課標(biāo)要求：1集合的含義與表示1通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于關(guān)系；2能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言列舉法或描述法描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用；2集合間的根本關(guān)系1理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；2在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的根本運(yùn)算1理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；2理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；3能使用venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用。二命題走向有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是

2、集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對(duì)集合的計(jì)算化簡(jiǎn)的考查，并向無(wú)限集開(kāi)展，考查抽象思維能力，在解決這些問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)的訓(xùn)練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。預(yù)測(cè)2022年高考將繼續(xù)表達(dá)本章知識(shí)的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會(huì)滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立。具體題型估計(jì)為：1題型是1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題；2熱點(diǎn)是集合的根本概念、運(yùn)算和工具作用。三要點(diǎn)精講1集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合。1集合中的對(duì)象稱(chēng)元素，假設(shè)a是集合a的元素，記作；假設(shè)b不是集合a的元素，記作；2集合中的元

3、素必須滿足：確定性、互異性與無(wú)序性；確定性：設(shè)a是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，那么或者是a的元素，或者不是a的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體對(duì)象，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無(wú)序性：集合中不同的元素之間沒(méi)有地位差異，集合不同于元素的排列順序無(wú)關(guān)；3表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值或變化范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共

4、同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無(wú)限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。4常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集或自然數(shù)集，記作n；正整數(shù)集，記作n*或n+；整數(shù)集，記作z；有理數(shù)集，記作q；實(shí)數(shù)集，記作r。2集合的包含關(guān)系：1集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素，那么稱(chēng)a是b的子集或b包含a，記作ab或；集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。假設(shè)ab且ba，那么稱(chēng)a等于b，記作a=b；假設(shè)ab且ab，那么稱(chēng)a是b的真子集，記作ab；2簡(jiǎn)單性質(zhì)：1aa；2a；3假設(shè)ab，bc，那么ac；4假設(shè)集合a是n個(gè)元素的集合，那么集合a有2n個(gè)子集其中

5、2n1個(gè)真子集；3全集與補(bǔ)集：1包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱(chēng)為全集，記作u；2假設(shè)s是一個(gè)集合，as，那么，=稱(chēng)s中子集a的補(bǔ)集；3簡(jiǎn)單性質(zhì)：1()=a；2s=，=s。4交集與并集：1一般地，由屬于集合a且屬于集合b的元素所組成的集合，叫做集合a與b的交集。交集。2一般地，由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合a與b的并集。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的根本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且與“或，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。5

6、集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)：1234；5ab=ab，ab=ab。四典例解析題型1：集合的概念例1設(shè)集合，假設(shè)，那么以下關(guān)系正確的選項(xiàng)是 abcd解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。那么。選項(xiàng)為d；點(diǎn)評(píng)：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。例2設(shè)集合p=m|1m0，q=mr|mx2+4mx40對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么以下關(guān)系中成立的是 apqbqpcp=qdpq=q解：q=mr|mx2+4mx40對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，對(duì)m分類(lèi)：m=0時(shí)，40恒成立；m0時(shí)，需=4m24×m×40，解得m0。

7、綜合知m0，q=mr|m0。答案為a。點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系，同時(shí)考察了分類(lèi)討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，不能忽略m=0的情況。題型2：集合的性質(zhì)例3集合a=1，2，3，4，那么a的真子集的個(gè)數(shù)是 a15 b16 c3 d4解：根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有241=15個(gè)。選項(xiàng)為a；點(diǎn)評(píng)：該題考察集合子集個(gè)數(shù)公式。注意求真子集時(shí)千萬(wàn)不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時(shí)，a不是a的真子集。變式題：同時(shí)滿足條件：假設(shè)，這樣的集合m有多少個(gè)，舉出這些集合來(lái)。答案：這樣的集合m有8個(gè)。例4全集，a=1,如果，那么這樣的實(shí)數(shù)是否存在假設(shè)存在，求出，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。解：；，即0

8、，解得當(dāng)時(shí)，為a中元素；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。另法：，0且或。點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類(lèi)討論的過(guò)程中“當(dāng)時(shí)，不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義：。變式題：集合，,求的值。解：由可知，1，或2解1得，解2得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符，所以，。題型3：集合的運(yùn)算例5集合mx|x3，nx|log2x1，那么mn abx|0x3cx|1x3dx|2x3解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由易得。從而。應(yīng)選項(xiàng)為d。點(diǎn)評(píng)：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。例6設(shè)集合，那么等于 abcd解：，所以，應(yīng)選b。點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。題型4：

9、圖解法解集合問(wèn)題例7集合a=x|x|2，xr，b=x|xa，且ab，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。解：a=x|2x2，b=x|xa，又ab，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如下列圖，因此有a2。點(diǎn)評(píng)：此題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問(wèn)題。例8全集in*，集合axx2n，nn*，bxx4n，nn，那么 aiabbiabciabdiab解：方法一：a中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，b中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有選項(xiàng)正確.方法二：因a2，4，6，8，b4，8，12，16，所以b1，2，3，5，6，7，9，所以iab，故答案為.方法三：因ba，所以ab，aba，故iaaab。方法四：根據(jù)題意，我們畫(huà)出v

10、enn圖來(lái)解，易知ba，如圖：可以清楚看到i=ab是成立的。點(diǎn)評(píng)：此題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無(wú)限集考查，提高了對(duì)邏輯思維能力的要求。題型5：集合的應(yīng)用例9向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)a、b兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果贊成a的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成b的比贊成a的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)a、b都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)a、b都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問(wèn)對(duì)a、b都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人解：贊成a的人數(shù)為50×=30，贊成b的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為u，贊成事件a的學(xué)生全體為集合a；贊成事件b的學(xué)生全

11、體為集合b。設(shè)對(duì)事件a、b都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,那么對(duì)a、b都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成a而不贊成b的人數(shù)為30x，贊成b而不贊成a的人數(shù)為33x。依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)a、b都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。例10求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)解：如圖先畫(huà)出venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有200÷2200÷3(200÷5)(200÷10)(200÷6)(200÷15)(200÷30)146所以，符合條

12、件的數(shù)共有20014654個(gè)點(diǎn)評(píng)：分析200個(gè)數(shù)分為兩類(lèi)，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類(lèi)，而不滿足條件的這一類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確而簡(jiǎn)單，可考慮用扣除法。題型7：集合綜合題例11設(shè)集合a=x|xa|<2，b=x|<1，假設(shè)ab，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由|xa|<2，得a2<x<a+2，所以a=x|a2<x<a+2。由<1，得<0，即2<x<3，所以b=x|2<x<3。因?yàn)閍b，所以，于是0a1。點(diǎn)評(píng)：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組

13、的根本方法。在解題過(guò)程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。例12an是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作sn,設(shè)集合a=(an,)|nn*,b=(x,y)| x2y2=1,x,yr。試問(wèn)以下結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明：1假設(shè)以集合a中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這些點(diǎn)都在同一條直線上；2ab至多有一個(gè)元素；3當(dāng)a10時(shí)，一定有ab。解：1正確；在等差數(shù)列an中，sn=,那么(a1+an),這說(shuō)明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上。2正確；設(shè)(x,y)ab,那

14、么(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無(wú)解，此時(shí)ab=；當(dāng)a10時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。ab至多有一個(gè)元素。3不正確；取a1=1，d=1，對(duì)一切的xn*，有an=a1+(n1)d=n>0, >0，這時(shí)集合a中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=10 如果ab，那么據(jù)(2)的結(jié)論，ab中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，這樣的(x0,y0)a,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)ab=，所以a10時(shí)，一定有ab是不正確的。點(diǎn)評(píng)

15、：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí)，屬于知識(shí)交匯題。變式題：解答下述問(wèn)題：設(shè)集合，,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問(wèn)題的具體方法。解：的取值范圍是um=m|m<-2.解法三設(shè)這是開(kāi)口向上的拋物線，那么二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于注意，在解法三中，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸的位置起了關(guān)鍵作用，否那么解答沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。兩個(gè)正整數(shù)集合a=a1,a2,a3,a4,、b.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并的意義及元素的根本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)這個(gè)條件的運(yùn)用，分析：正確理解要使,由當(dāng)k=0時(shí)，方程有解,不合題意；當(dāng)又

16、由由，由、得b為自然數(shù)，b=2，代入、得k=1點(diǎn)評(píng)：這是一組關(guān)于集合的“交、并的常規(guī)問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問(wèn)題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題例13七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，那么有多少不同的排法解：設(shè)集合a=甲站在最左端的位置，b=甲站在最右端的位置，c=乙站在正中間的位置，d=丙站在正中間的位置，那么集合a、b、c、d的關(guān)系如下列圖，不同的排法有種.點(diǎn)評(píng)：這是一道排列應(yīng)用問(wèn)題，如果直接分類(lèi)、分步解答需要一定的根本功，容易錯(cuò)，假設(shè)考慮運(yùn)用集合思想解答，那么比較容易理解。上面的例子說(shuō)明了集合思

17、想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。例14a是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對(duì)任意，都有 ； 存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有1設(shè)，證明：2設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;3設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式。解：對(duì)任意,所以對(duì)任意的，所以0<,令=，所以反證法：設(shè)存在兩個(gè)使得,。那么由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。，所以+。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的概念是在集合理論上開(kāi)展起來(lái)的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。五思維總結(jié)集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語(yǔ)言，并用集合語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究

18、和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。1學(xué)習(xí)集合的根底能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如、=、a、，等等； 2強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問(wèn)題，注意運(yùn)用venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容即讀懂問(wèn)題中的集合以及各個(gè)集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“venn圖來(lái)加深對(duì)集合的理解，一個(gè)集合能化簡(jiǎn)或求解，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)或求解；3確定集合的“包含關(guān)系與求集合的“交、并、補(bǔ)是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)根據(jù)問(wèn)題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)尋求方法。 區(qū)別與、與、a與a、與、(1,2)與1,2；