小學(xué)數(shù)學(xué)小升初講稿(最新)

1、目 錄第一講：定義新運(yùn)算第二講：巧算（一）（二）第三講：列方程解應(yīng)用題第四講：幾何圖形的計(jì)算（一）（二）第五講：行程問(wèn)題第六講：列車過(guò)橋問(wèn)題第七講：流水行船問(wèn)題第八講：觀察與歸納（一）（二）一、定義新運(yùn)算 知識(shí)體系：定義新運(yùn)算是指用一個(gè)符號(hào)和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算。 解答定義新運(yùn)算的關(guān)鍵是正確理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化稱化為常規(guī)的四則運(yùn)算式進(jìn)行計(jì)算。 新定義的算式中有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的，但它在沒(méi)轉(zhuǎn)化之前，是不適合于各種運(yùn)算定律的。典型例題：例題一 規(guī)定b= ，則（64）3等于多少？分析：這道題的新運(yùn)算被定義為：b等于 與 b的和除以兩數(shù)之差

2、。這里的就代表一種新運(yùn)算。在定義新運(yùn)算中，規(guī)定了要先算小括號(hào)里面的。因此，在（64）3中，就要先算小括號(hào)里的64。習(xí)題： 規(guī)定一種新運(yùn)算：ab=（b+a）×b，求（32）4= 設(shè)ab=（a+b）（ab），求279 設(shè)ab=a²+2b，求5（28） 規(guī)定ab=a+2b，如57=5+2×7=19那么6（49）是多少？例二： 有一種關(guān)于和的運(yùn)算： 規(guī)定ab=a×ba， ab=a÷b+a求（65）4分析：根據(jù)規(guī)定先算65，這里的和都是新的運(yùn)算符號(hào)。習(xí)題：定義ab=a×ba， ab=a÷b+b 求（65）4設(shè)P、Q是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定：PQ

3、=P²+（PQ）×2 求30（53）設(shè)M、N是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定MN= + .求1020 。例三：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么，7*4=； 210*2=分析：經(jīng)過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)本題的新運(yùn)算“*”被定義為a*b=a+ + + + b個(gè)a習(xí)題：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222=2222，3*3=3+33+333，那么4*4= 。規(guī)定ab=a+ + + + ，那么85= 。 （b1）個(gè)a如果2*1= ，3*2= ，4*3= ，那么（6*

4、3）÷（2*6）= 。規(guī)定12=1+2，23=2+3+4，56=5+6+7+8+9+10，那么，在X3=54中，X= 。例四：設(shè)ab=4a2b+ab÷2，求X（41）=34中的未知數(shù)X。分析：先求出小括號(hào)中的41=4×4-2×1+4×1÷2=16.再根據(jù)X16=4X-2×16+X×16÷2=12X-32，然后解方程12X-32=34，求出X的值。習(xí)題： 設(shè)ab=3a2b，已知X·（41）=7，求X。對(duì)兩個(gè)整數(shù)a和b定義新運(yùn)算“”。 ab= ，求64+98對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)x和y定義新運(yùn)算“*”：X*

5、Y= （其中m是一個(gè)確定的整數(shù)）。如果1*2=1，那么3*12= 。巧算（一）知識(shí)體系：根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)和數(shù)的特征，靈活地運(yùn)用運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)和公式，把一些較復(fù)雜的四則混算化繁為簡(jiǎn)，化難為易。巧算的基本方法有：湊整、分拆、約分、化簡(jiǎn)和替換法，典型例題：例一：199999+19999+1999+199+19 =200000+20000+2000+200+20-5 =222220-5 =222215習(xí)題：8+98+998+9998+99998 9+99+999+0.6 98.3-3.32-5.68+10.7 3-1+2-1.625例二：1994×79+790×+244.9分析

6、：三個(gè)相加的算式通過(guò)變形，都可以得到共同的因數(shù)79，再利用乘法的分配率進(jìn)行簡(jiǎn)算。1994×79+790×+244.9=1994.5×79+79×2.4+79×3.1=（1994.5+2.4+3.1）×79=2000×79=158000習(xí)題：200.2×20.01-200.1×19.99 2001×7+1.375×2001+667÷ 7.5×2.3+3.1×2.5 43×+136×+70× 9999×17+3333&#

7、215;49 28.67×67+3.2×286.7+573.4×0.05 例三：2012×201320132013-2013×201220122012分析：201320132013和201220122012這樣以循環(huán)形式出現(xiàn)的數(shù)，都可以提出重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字， 201320132013=2013×100010001；201220122012=2012×100010001。2012×201320132013×201220122012=2012×2013×100010001-2013×

8、;2012×100010001=0習(xí)題：959595×96-969696×951999×1998 1998-1998×19991999例四：（1+）×（+）-（1+）×（+）分析：仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)題中有些分?jǐn)?shù)是多次出現(xiàn)的，因此我們可以用代數(shù)法解這道題。所謂的代數(shù)法解計(jì)算題，就是將某個(gè)復(fù)雜的算式換成含有字母的式子，再進(jìn)行計(jì)算。一般情況下，前后兩部分各選出較簡(jiǎn)單的部分用不同的字母表示出來(lái)，這樣計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)單。（1+）×（+）-（1+）×（+）設(shè)：前半部分的1+為A ，設(shè)后半部分的 +為B原式： A

9、5;（B+）-（A+）×B =AB+A-AB-B =（A-B） =×1 =習(xí)題：（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.78）-（1+0.23+0.34+0.78）×（0.23+0.34）(+）×（+）-（+）× （+）（1+）×（+）-（1+）×（+）巧算（二）例五：99-98+97-96+95+1-分析：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，每?jī)蓚€(gè)算式為一組，計(jì)算結(jié)果相同。如99-98=1；97-96=1；，1=1；99-98+97-96+95+1- =（99-98）×100÷2 =1×50

10、 =習(xí)題：2000+1999-1998-1997+1996+1995-1994-1994+4+3-2-1（1+）+（1+×2）+（1+×3）+（1+×20）（11-）+（9-×5）+（1-×3）+（3-×7）+（5-×9）+（7-×11）1001-1000+999-998+997-996+3-2+11+2-3-4+5+6-7-8+9+10-+2009+2010-2011-2012+2013例六： 分析：仔細(xì)觀察中分子、分母中的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)分母中2008×2009可變形為（2007+1）×200

11、9=2007×2009+2009，同時(shí)發(fā)現(xiàn)2009-1=2008，這樣，就可以把原式轉(zhuǎn)化成為分子和分母相同的分?jǐn)?shù)，從而化簡(jiǎn)。 中的分子12345654321可以轉(zhuǎn)化為111111 ×111111，分母777777 ×999999都可以提出因數(shù)111111。這樣分子和分母可以約分化簡(jiǎn)。 = = =1123+122×124123×124-1習(xí)題： 1-（）2×（）2×（）2×()2 例七： 分析：經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，分子中的各部分分別是公因式（2×3×5）的1、4、5倍數(shù)；分母中的各部分正好是公因式（

12、3×5×7）的1、4、5倍。提出公因式后就可以約分化簡(jiǎn)了。=習(xí)題：+例八：（9+7）÷（+）分析：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，式子前后兩部分所含有的分子和分母都分別是7和9，通過(guò)變形都可以找到公因式+，約去相同的部分再計(jì)算就比較簡(jiǎn)便了。（9+7）÷（+）=（+）÷（+）=【65×（+）】÷【5×（+）】=65÷5=13習(xí)題：（+1+）÷（+）(3+1)÷(+)(96+36)÷(32+12)列方程解應(yīng)用題知識(shí)體系：基本方法1、審題：（找等量關(guān)系）找主題中涉用及到各個(gè)量的關(guān)鍵量。2、設(shè)：設(shè)這個(gè)

13、量為X，用含有X的式子來(lái)表示題中的其他量。3、找：找準(zhǔn)等量關(guān)系。4、列：根據(jù)等量關(guān)系式，列出方程。5、解：解方程，通過(guò)求到的關(guān)鍵量求出答案典型例題： 例一： 用一隊(duì)卡車運(yùn)一批貨物，若每輛卡車裝7噸貨物，則尚余10噸貨物裝不完；若每輛卡車裝8噸貨物，則最后一輛卡車只裝3噸貨物就運(yùn)完了這批貨物，那么這批貨物共有多少噸？分析：已知條件告訴了每輛卡車裝的重量，根據(jù)每輛卡車裝的重量×輛數(shù)=總重量，可以設(shè)卡車數(shù)為X輛，根據(jù)“貨物的總重量不變”列出等量關(guān)系。 卡車數(shù)×每輛裝7噸+余10噸=卡車數(shù)-1×每車裝8噸 + 3噸解：設(shè)一共有X輛卡車 答：這批貨物共有（ ）噸。習(xí)題： 為

14、準(zhǔn)備“金鷹節(jié)”的演出，長(zhǎng)沙市某服裝公司制一批演出服裝，若平均公司每人一天做5件，公司一天可超額30件；若平均每人一天只做4件，則公司一天比定額少完成20件，求該公司的人數(shù)和公司每天的定額。 某校五年收學(xué)生舉行春游，若租用45座客車，則有15人沒(méi)有座位，若租同樣數(shù)目的60座客車，則剛好有一輛客車空座。 已知45座客車租金220元，60座客車租金300元。 問(wèn)：1這個(gè)學(xué)校五年級(jí)一共有學(xué)生多少人？ 2怎樣租車，最經(jīng)濟(jì)合算？ 一群學(xué)生搬磚，如果有12人每人各搬7塊，其余的每人搬5塊，那么最后余下148塊；如果有30人每人各搬8塊，其余的每人搬7塊，那么最后余下20塊，問(wèn)學(xué)生共有多少人？磚有多少塊？ 為

15、了美化班級(jí)環(huán)境，五年級(jí)2）班第一小組的同學(xué)們?nèi)ブ参飯@購(gòu)買一些花，若每人出10元，就多了4元；若每人出9元，則少了2元，那么這個(gè)小組有多少人？買這些花需要多少錢(qián)？例二： 一個(gè)中學(xué)生一頓飯可吃3個(gè)饅頭，三個(gè)幼兒一頓飯吃1個(gè)饅頭，現(xiàn)在中學(xué)生和幼兒共100人，一頓飯正好吃了100饅頭，問(wèn)有幼兒多少人？分析：一個(gè)中學(xué)生一頓飯吃3個(gè)饅頭，又由“三個(gè)幼兒吃1個(gè)饅頭”可知一個(gè)幼兒吃個(gè)饅頭。只要知道了中學(xué)生和幼兒的人數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系式：中學(xué)生一共吃的饅頭+幼兒一共吃的饅頭=100就能列出方程。 解：設(shè)幼兒有X人，中學(xué)生則有（100-X）個(gè)人。中學(xué)生共吃饅頭數(shù)+幼兒共吃饅頭數(shù)=100 答：幼兒有（ ）人。 習(xí)題：

16、 一個(gè)集郵愛(ài)好者買了2元和5元的郵票共34張，正好用了98元，這兩種郵票各多少?gòu)?媽媽從單位領(lǐng)回獎(jiǎng)金480元，其中有2元、5元和10元人民幣共86張，且5元和10元的張數(shù)相等，這三種人民幣各有多少?gòu)?？小芳家離學(xué)校有4500米，早上六點(diǎn)半小芳步行去學(xué)校，開(kāi)始每分鐘走70米，走一段時(shí)間后，改為每分鐘走80米，結(jié)果早上7點(diǎn)半準(zhǔn)時(shí)到校。小芳是在離家多少米的地方開(kāi)始改變速度的？例三：有個(gè)兩層書(shū)架，上層放的書(shū)比下層放的3倍還多18本，如果把上層的書(shū)拿出101本放到下層，那么兩層所放的書(shū)本數(shù)相等。原來(lái)上、下層各有書(shū)幾本？ 分析：根據(jù)“上層放的書(shū)比下層放的3倍還多18本”設(shè)未知數(shù)：（少數(shù)）上層放的書(shū)有X本，（

17、多數(shù)）下層為3X+18本。再根據(jù)“如果把上層的書(shū)拿出101本放到下層，那么兩層所放的書(shū)本數(shù)相等?！绷谐龅攘筷P(guān)系式：原來(lái)上層書(shū)數(shù)+101=原來(lái)下層書(shū)數(shù)-101 解：設(shè)原來(lái)下層的書(shū)有X本，則上層放了（ ）本。 原來(lái)上層書(shū)數(shù)+101=原來(lái)下層書(shū)數(shù)-101 答：原來(lái)上層放了（ ）本，下層放了（ ）本。 習(xí)題： 幼兒園小朋友在草坪上圍成一圈，女孩都戴紅色帽子，男孩都戴白色帽子。其中一個(gè)男孩說(shuō)：“我看到紅、白帽子數(shù)一樣多?！币粋€(gè)女孩說(shuō)：“我看到白帽子數(shù)是紅帽子數(shù)的2倍?！蹦隳芮蟪瞿?、女孩的人數(shù)嗎？ 10年前甲年齡是乙年齡的7倍，15年后甲年齡是乙年齡的2倍，問(wèn)：甲、乙兩人現(xiàn)在分別是多少歲？ 小明一家四口人

18、的年齡之和是147歲，爺爺比爸爸大38歲，媽媽比小明大27歲，爺爺?shù)哪挲g是小明與媽媽年齡之和的2倍，問(wèn)小明一家四口人的年齡各是多少？ 學(xué)校舉行兩次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，第一次及格人數(shù)是不及格人數(shù)的3倍還多4人，第二次及格人數(shù)增加5人，正好是不及格人數(shù)的5倍。問(wèn)參加競(jìng)賽的有多少人？ 例四：學(xué)校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽。比賽共15道題，規(guī)定：答對(duì)一題得8分，答錯(cuò)一題倒扣4分。林林最后得了84分，林林答錯(cuò)了幾道題？分析：倒扣4分實(shí)際上是從答對(duì)題的得分中減去4分。數(shù)量關(guān)系式是：答對(duì)題的總分-答錯(cuò)題的總分=最后得分。 解：設(shè)答錯(cuò)了X道題，則答對(duì)了（ ）道題。 答對(duì)題的總分-答錯(cuò)題的總分=最后得分答：林林答錯(cuò)了3道題。 習(xí)題：

19、一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有10道題。按評(píng)分規(guī)定，答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)一題扣3分，張新做了所有的題，但只得了61分。他做錯(cuò)了幾道題？ 在某校舉辦的足球比賽中規(guī)定，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，某班足球隊(duì)參加了12場(chǎng)比賽，共得了22分。已知這個(gè)隊(duì)只輸了2場(chǎng)，那么此隊(duì)勝了幾場(chǎng)？平了幾場(chǎng)？ 某班的一次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)，共出了20道題，每題5分，總分100分。從中抽取了5份試卷進(jìn)行分析，如下表：試卷 正確個(gè)數(shù) 錯(cuò)誤個(gè)數(shù)得分 A 19 1 94 B 18 2 88 C 17 3 82D 14 6 64 E 10 10 401 某同學(xué)得了70分，問(wèn)他答對(duì)了多少道題？2 有一同學(xué)H說(shuō)他得了86分，另一同學(xué)G說(shuō)他

20、得了72分，誰(shuí)說(shuō)得對(duì)，為什么？例五： 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，那么，所得的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)大36。求原兩位數(shù)。分析：設(shè)十位數(shù)字為X，個(gè)位上的數(shù)字則為2X，原數(shù)表示為 =10X+2X，對(duì)調(diào)后表示為 =20X+X。根據(jù)“對(duì)調(diào)后所得的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)大36”列出等量關(guān)系式。 解：設(shè)原來(lái)十位上的數(shù)字為X，個(gè)位上的數(shù)字為（ ）。 答：原兩位數(shù)為（ ）。 習(xí)題： 一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍。如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，那么，所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)小27。求原兩位數(shù)？ 一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小1，十位上的數(shù)字與個(gè)位上

21、的數(shù)字和是這個(gè)兩位數(shù)的0.2倍。求這個(gè)兩位數(shù)。設(shè)有個(gè)六位數(shù)為1abcd ,乘3以后，變?yōu)閍bcde1 ,求這個(gè)六位數(shù)。幾何圖形的計(jì)算（一）知識(shí)體系：采用割、補(bǔ)、平移、分解、代換及加輔助線的方法，將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。（一） 長(zhǎng)方形 正方形典型例題例1：求圖形的周長(zhǎng)（單位：厘米）分析：線段+線段+線段=8, 線段+線段=8，所以整個(gè)圖形的周長(zhǎng)包括2個(gè)8，2個(gè)2。 練習(xí)：如圖，要求計(jì)算下圖形的周長(zhǎng)，至少要量（ ）條線段的長(zhǎng)度。 左圖是一座樓房的平面圖，求這個(gè)圖的周長(zhǎng)。 （單位：厘米） 一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬2.4厘米的長(zhǎng)方形，沿對(duì)角線對(duì)折后，得到如下圖形。求陰影部分的面積。例二：如下圖所示，已知大正方形比

22、小正方形邊長(zhǎng)2厘米，大正方形比小正方形大40平方厘米，求大小正方形的面積各是多少平方厘米。 分析：從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出40平方厘米可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長(zhǎng)方形A或B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長(zhǎng)了，求到了小正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算大、小正方形的面積就非常簡(jiǎn)單了。 先求出A和B的面積： 再求出A或B的面積：再求出A或B的邊長(zhǎng)：最后求出大、小正方形的面積：答：大小正方形的面積分別是（ ）平方厘米和（ ）平方厘米。練習(xí)把一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)增加5分米，寬增加3分米，得到一個(gè)面積比原來(lái)多181平方

23、米的正方形，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？一塊正方形地，一邊劃出15米，一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來(lái)減少了1350平方米，這塊地原來(lái)的面積是多少平方米？一個(gè)正方形，如果它的邊長(zhǎng)增加5厘米，那么面積就比原來(lái)增加95平方厘米。原來(lái)正方形的面積是多少？有一批正方形瓷磚，拼成一個(gè)大正方形，余下62塊，如果將它們改拼成一個(gè)每邊與原來(lái)多一塊的正方形就要少49塊，這批瓷磚共有多少塊？例三：一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條平行于它兩邊的線分成四個(gè)較小的長(zhǎng)方形，其中三個(gè)長(zhǎng)方形面積如下圖所示，求第4個(gè)長(zhǎng)方形的面積。 分析：因?yàn)锳E×CE=6，DE×EB=35，把兩個(gè)式子相乘AE×CE

24、5;DE×EB=35×6, ，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15. 答：這第4個(gè)長(zhǎng)方形的面積是15平方厘米。 練習(xí)： 一塊長(zhǎng)方形地，被兩條平行于它邊的兩條 直線分成四個(gè)長(zhǎng)方形 （如圖所示），其中 中三個(gè)的面積分別是 50平方米、40平方米和60平方米，求 陰影部分面積。一個(gè)長(zhǎng)方形被分成六個(gè)小長(zhǎng)方形，其中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積如圖所示，（單位：平方厘米）求M，N的面積。 N251524M18 如圖，有4個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是1米、2米、3米、4米，問(wèn)白色部分的面積與陰影部分面積的幾分之幾？例四：每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是

25、1厘米，那么下圖中陰影部分的面積是多少？ 分析：陰影部分是個(gè)不規(guī)則圖形，很難直接求出。通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)空白部分的面積和總面積容易求出。所以，可以用總面積空白部分面積=陰影部分面積。 先求出總面積：再求出空白部分面積：最后求出陰影部分面積：練習(xí)：下圖中每個(gè)長(zhǎng)方形小格的面積都是1平方厘米，求陰影部分面積。每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積都是1平方厘米。求陰影部分的面積。如圖是兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)AB=5厘米，邊長(zhǎng)是3厘米，求陰影部分的面積。例五： 把三角形ABC分成四個(gè)三角形，使這三個(gè)三角形面積相等，可以怎樣分？（請(qǐng)畫(huà)出不同的畫(huà)法） 分析：把三角形分成面積相等的四份，并沒(méi)有要求形狀相同，因而只要分成的三角形等底等

26、高就可以了，因此畫(huà)法很多。（畫(huà)法一）如下圖，將底邊四等分，由于這四個(gè)三角形等底等高，虛線是它們的高，所以這四個(gè)三角形面積相等。（畫(huà)法二）C為AB的四等分點(diǎn)，E、F為CD的三等分點(diǎn)。（畫(huà)法三）A、B分別是四等分點(diǎn)，C是二等分點(diǎn)。（畫(huà)法四）D、E、F分別為AB、AC、BC上的中點(diǎn)。例六：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是12厘米，E、F是BC邊上的三等分點(diǎn)，M、N是對(duì)角線BD上的三等分點(diǎn)。求三角形FMN的面積 。 分析：因?yàn)镋、F是BC邊上的三等分點(diǎn)，所以三角形ABE、三角形AEF、三角形AFC等底等高，面積相等，都是12×12÷2÷3=24cm2,又因?yàn)镸、N是對(duì)角線BD的三等

27、分點(diǎn)，所以三角形AFM、三角形FMN、三角形FNC也是等底等高，面積相等，都是24÷3=8 m2。利用“E、F是BC邊上的三等分點(diǎn)“先求出三角形AFC的面積：再利用“M、N是對(duì)角線BD上的三等分點(diǎn)“求出三角形FMN的面積：例七：在三角形ABC中，BE=EF=FC，ED=2DA 三角形面積是36cm2，那么陰影部分面積是多少？ 分析：當(dāng)已知等分E時(shí)，應(yīng)利用等分點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)等底等高的三角形。因?yàn)镋D=2DA，連接AF及F與ED的中點(diǎn)，可以得知三角形AEF的面積平均分成了三份，假設(shè)三角形ADF的面積為1份，那么三角形AEF的面積為三份，又因?yàn)锽E=EF=FC，可知三角形AEF與三角形ADE、三

28、角形AFC等底等高，整個(gè)三角形ABC的面積為9份，陰影部分面積ADFC占去了其中的4份。 練習(xí)： 三角形的底邊BC四等分，比較甲、乙的面積 甲的面積乙的面積甲的面積三角形ABC面積的陰影部分面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾？在三角形ABC中（如圖），DC=2BD,CE=3AE，陰影部分面積=20cm2，求三角形ABC的面積。兩條直線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，已知兩個(gè)三角形的面積，求ABCD的面積。已知三角形ABC的面積是1，AE=ED，BD=BC，陰影部分的面積是多少？長(zhǎng)方形ABCD的面積是120平方厘米，E、F分別是長(zhǎng)、寬的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。幾何圖形的計(jì)算（二）例一：如圖，平行四邊形

29、BCEF中，BC=8cm，直角三角形中，AC=10cm，陰影部分面積比三角形ADH的面積大8平方厘米，求AH長(zhǎng)多少厘米。分析：陰影部分和三角形ADH都能與四邊形DBCH 組合成新的圖形。陰影部分+四邊形DBCH=平行四邊形FBCE三角形ADH+四邊形DBCH=三角形ABC陰影部分面積比三角形ADH的面積大8平方厘米，實(shí)際上就是（ ）比（ ）大8平方厘米。只要求出了三角形ABC的面積就能求出平行四邊形FBCE的面積，從而求出平行四邊形FBCE的高CH，用AH的長(zhǎng)減去CH就能得到AH了。練習(xí)：如圖：兩個(gè)完全一樣的直角三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為8厘米的正

30、方形，三角形ADF的面積比三角形CEF的面積大10平方厘米，則陰影部分面積為多少？如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長(zhǎng)一倍至E。已知三角形BCE的面積是10平方厘米，求陰影部分面積。4、如圖，長(zhǎng)方形ABCD，圖中所標(biāo)數(shù)原為所在部分圖形的面積，求陰影部分的面積。例二：有兩種自然的放法將正方形內(nèi)接于等腰直角三角形。已知，等腰直角三角形的面積是36平方厘米，兩個(gè)正方形的面積分別是多少？分析：只已知整個(gè)圖形的面積要求其中部分的面積，可以通過(guò)做輔助線的方法，將整個(gè)圖形平均分成若干份，看要求部分占整個(gè)圖形的幾分之幾。練習(xí)已知大正方形的邊長(zhǎng)是12厘米，求中間最小正方形的面積？如圖，正六邊形面積是24平方厘

31、米，求陰影部分的面積。 下圖中所有三角形都是等腰三角形已知AB=10.8厘米，求陰影部分的面積。 立體圖形有關(guān)計(jì)算知識(shí)體系：解答有關(guān)例題圖形的表面積是，要注意以下幾點(diǎn)：（1）不規(guī)則立體圖形的表面積只需先數(shù)出容易觀察部分的面積，再充分利用上、下面積，左、右面積，前后面積分別相等的規(guī)律來(lái)進(jìn)行計(jì)算。（2）、把一個(gè)正方體切成兩部分，新增加的面積等于切面的面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)該把它們最大的面拼合起來(lái)。典型例題例三、把19個(gè)棱長(zhǎng)為3cm

32、的正方體重疊起來(lái)，如下圖所示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。 分析：要求復(fù)雜形體的表面積，必須從整體的入手 ，先有序地?cái)?shù)出容易觀察到的朝上，朝前和朝左各有多少個(gè)面。再利用向?qū)γ婷娣e相等的規(guī)律，求出整個(gè)圖形的表面積。 朝上有（ ）個(gè)邊長(zhǎng)是3cm的小正方形； 朝前有（ ）個(gè)邊長(zhǎng)是3cm的小正方形； 朝上有（ ）個(gè)邊長(zhǎng)是3cm的小正方形；整個(gè)圖形的表面積是：練習(xí)1. 用棱長(zhǎng)是2厘米的正方體拼成左圖所示的立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。練習(xí)二：一堆積木，是由16個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的小正方形堆成的，它的表面積是多少平方厘米。例二 把一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方形木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米，寬2厘米，高2

33、厘米的小長(zhǎng)方形，剩下部分的表面積是多少。 分析：這是一道開(kāi)放題，挖的位置不同，所剩部分的表面積就不同。 關(guān)鍵是看所剩部分與原來(lái)正方體相比，哪些的部分面積湊合起來(lái)正好與原來(lái)相等，哪些部分的面積是減少或增加的。 沿著一條棱挖，剩下部分的面積為： 在某個(gè)面上去挖，剩下部分的面積為：挖通某兩個(gè)面，剩下部分的面積為：練習(xí)：1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米，寬6厘米，高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4cn的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1cm小正方體后表面積發(fā)生了怎樣的變化。例三：把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9cm，7cm，4cm的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體

34、的表面積最少是多少平方厘米？分析：把兩個(gè)相同長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，需要把兩個(gè)相同的面拼合起來(lái)，所得大長(zhǎng)方體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合的面的面積最大，就是要減少兩個(gè)（ × ）的面。 先求兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積： 再求出減少的兩個(gè)最大面的面積： 拼成的大長(zhǎng)方體的表面積是：（想想：還有不同的解答方法嗎？畫(huà)圖試一試）答：這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是（ ）平方厘米。練習(xí)1：把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是8cm，6cm，5cm的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最大是多少平方厘米？把底面積為20cm的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表

35、面積是多少？、用6塊（如下圖）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方米？ 例四：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2cm，則體積增加40cm³；如果寬增加3cm，則體積增加90cm；如果高增加4cm，則體積增加96cm³。求原長(zhǎng)方體的表面積。練習(xí)一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積是多少立方厘米？ 一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，其表面積減少了120平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘

36、米？有一個(gè)長(zhǎng)方體，（如下圖）它的正面和上面的面積之和是209，如果實(shí)驗(yàn)它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？例五：有大、中、小三個(gè)正方體水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別為6m、3m、2m，把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個(gè)水池水面分別升高了6cm和4cm，如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？知識(shí)體系：物體完全沉入水中，水面上升的體積就等于物體的體積；把物體從水中取出，水面下降的體積就等于物體的體積。如果物體不完全浸入水中，那么排開(kāi)水的體積就等于浸入水中那部分的體積。分析：中、小水池升高部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個(gè)水池水面分別升高6和4，兩隊(duì)碎石的體

37、積就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7 cm³。如果把它沉入大水池，水面升高部分的體積也就是0.7 cm³，再除以它的底面積就能得到升高了多少厘米。先求出兩堆碎石的體積：再求出大水池水面升高多少：答：大水池的水面升高了（ ）厘米。練習(xí) 有大、中、小三個(gè)正方體水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是4米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉入中、小兩個(gè)水池中，兩個(gè)水池的水面分別上升了4厘米和11厘米。如果把這兩堆碎石都沉沒(méi)在大水池中，那么大水池的水面會(huì)上升多少厘米？有一個(gè)正方體容器，棱長(zhǎng)25cm，里面水高23厘米，有一根長(zhǎng)20cm，橫截面是500cm

38、²的長(zhǎng)方體鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中，會(huì)溢出多少立方厘米的水？將表面積為54cm²，96cm²，150cm²的三個(gè)正方體鋼錠熔鑄成一個(gè)大正方體，（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。 行程問(wèn)題知識(shí)體系：運(yùn)用速度、路程和時(shí)間三者之間的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。往返的平均速度=往返的總路程÷往返的總時(shí)間在行程問(wèn)題中，與環(huán)形有關(guān)的行程問(wèn)題和一般行程問(wèn)題的方法類似。但有兩點(diǎn)值得注意：一是兩人同時(shí)同地背向運(yùn)動(dòng)，從第一次到下一次相遇，共行了一個(gè)全程；二是兩人同時(shí)同地同向運(yùn)動(dòng)，甲追上乙時(shí)，甲比乙多行了一個(gè)全程。典型例題例一、小王從甲地到乙地每小時(shí)行15千米，從乙地返回

39、甲地每小時(shí)10千米，他往返一次的平均速度是多少？ 分析：求往返的平均速度=往返的總路程÷往返的總時(shí)間。這里只分別告訴了往返的速度?？梢栽O(shè)從甲地到乙地的路程為30千米（15和10的最小公倍數(shù)），再分別求出總路程和總時(shí)間，就能求出往返平均速度了。練習(xí)：小明以每小時(shí)行20千米的速度行了60千米，回來(lái)時(shí)每小時(shí)行30千米，他往返全程的平均速度是多少？一艘輪船從甲地到乙地每小時(shí)航行30千米，然后按原路返回，如果想往返的平均速度為40千米，則返回的速度每小時(shí)應(yīng)航行多少千米？練習(xí)：小明以每小時(shí)行20千米的速度行了60千米，回來(lái)時(shí)每小時(shí)行30千米，他往返全程的平均速度是多少？一艘輪船從甲地到乙地每小時(shí)

40、航行30千米，然后按原路返回，如果想往返的平均速度為40千米，則返回的速度每小時(shí)應(yīng)航行多少千米？例二：哥哥和弟弟在400米的環(huán)行跑道上跑步，如果兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，則4分鐘相遇，如果同時(shí)同地同向出發(fā)，40分鐘哥哥追上弟弟，哥哥每分鐘跑多少米？分析：哥哥和弟弟兩人同時(shí)同地反向出發(fā)，4分鐘共行了400米，那么他們每分鐘共行的路程（速度和）是400÷4=100米；兄弟兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，40分鐘哥哥追上弟弟的路程是400米，每分鐘追上的路程（速度差）是400÷40=10米。根據(jù)兩人的速度和與差，可算出哥哥的速度。先算兩人的速度和：再算兩人的速度差：哥哥的速度是習(xí)題：A、B兩地

41、相距960米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，6分鐘相遇，若同向而行，80分鐘甲可以追上乙，甲從A地走向B地要用多少分鐘？張華和王明在長(zhǎng)600米的環(huán)形跑道上跑步，他倆同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)。如果背向而行，6分鐘相遇；如果同向而行，25分鐘后相遇。兩人跑一圈各要多少分鐘？李亮和張兵在同一環(huán)形跑道上跑步，兩人都按順時(shí)針?lè)较蚺埽扛?2分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人設(shè)為逆時(shí)針?lè)较蚺?，每?分鐘相遇一次，兩人各跑一圈，分別要多少分鐘？例三：甲、乙兩輛汽車同時(shí)從兩地相向而行，甲每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行42千米，兩車在距離中點(diǎn)12千米的地方相遇，兩地相距多少千米？分析:兩車在距

42、中點(diǎn)12千米處相遇，說(shuō)明了相遇時(shí)，甲車行了全程的一半多12千米，乙車行了全程的一半少12千米，也就是甲車比乙車一共多行了（ ）千米。兩車同時(shí)出發(fā)又相遇，兩車所行的時(shí)間一樣。為什么甲車比乙車多行24千米呢？這是因?yàn)榧总嚸啃r(shí)比乙車多行（ ）千米。所以，兩車各行了（ ）小時(shí)。兩地共相距（ ）千米。 先求出相遇時(shí)甲車比乙車一共多行的：再求每小時(shí)甲車比乙車多行的：求出相遇的的時(shí)間：求出兩地的距離：習(xí)題： 小李從A城到B城，速度是5千米/小時(shí)，小蘭從B城到A城，速度是4千米/小時(shí)，兩人同時(shí)出發(fā)，結(jié)果在離A、B兩城中點(diǎn)1千米的地方相遇。兩人同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少小時(shí)相距。哥哥和弟弟分別從家和學(xué)校同時(shí)出發(fā)相向而

43、行，哥哥每分鐘走80米，弟弟每分鐘走60米。兩人在距離中點(diǎn)100米處相遇。問(wèn)：從家到學(xué)校有多遠(yuǎn)？小轎車每小時(shí)行60千米，比客車每小時(shí)多行5千米，兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距中點(diǎn)20米處相遇。求A、B兩地的路程。例四：哥哥和妹妹同時(shí)由家去上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門(mén)時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘帶課本，立即沿原路返回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇，問(wèn)他們家離校多少米？分析：兩人相遇時(shí)，哥哥比妹妹多行了180×2=360（米），哥哥每分鐘比妹妹多行90-60=30米，說(shuō)明兩人已經(jīng)行了360÷30=12（分鐘）。所以離家的路程是90×12-180=9

44、00（米）或者60×12+180=900（米）。 先求兩人相遇時(shí)哥哥比弟弟一共多行的：再求出每分鐘哥哥比弟弟多行的：求出相遇的時(shí)間：求出家到學(xué)校的路程：習(xí)題： 甲乙兩人同時(shí)從A地到B地，甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米，甲到達(dá)B地后立即返回A地。在離B地3.2千米的地方相遇。求A、B兩地間的距離。甲乙兩人上午7時(shí)同時(shí)從A地到B地去，甲每小時(shí)比乙快8千米。上午11時(shí)到達(dá)B地后立即返回。在B地24千米處與乙相遇。求A、B兩地相距多少千米？例五： 甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)去，第一次在離A地75米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，到達(dá)目的地后返回，第二次相遇離B地55千米處， A、B相

45、距多少千米？分析：第一次相遇時(shí)，甲和乙一共走了一個(gè)全程，這時(shí)甲走了75千米；第二次相遇時(shí)，甲和乙兩車前后一起合走了3個(gè)全程，甲應(yīng)該走了75×3=225千米。這時(shí)甲離B地55千米，也就是甲走了一個(gè)全程多55千米。所以，一個(gè)全程就是225-55=150千米。 先求“第二次相遇時(shí)，甲乙合走了三個(gè)全程，甲獨(dú)走了”：再求出一個(gè)全程的路程：練習(xí)題：1、小汽車從甲地開(kāi)往乙地，大客車從乙地開(kāi)往甲地。兩車同時(shí)開(kāi)出，到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后立即返回。第一次相遇距乙地80千米，第二次相遇距甲地90千米。甲乙兩地相距多少千米？2、甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距A地80千米出相遇。各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后立即返回

46、。途中又距A地60千米出相遇，A、B兩地相距多少千米？3、甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度，同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，第一次在離A地80千米處相遇；各自到達(dá)對(duì)方處后立即返回，第二次在離A地50千米處相遇。兩地相距多少千米？列車過(guò)橋問(wèn)題知識(shí)體系：列車過(guò)橋是一類特殊的行程問(wèn)題，它需要考慮列車的長(zhǎng)度，分為三類情況。一、列車過(guò)電桿：列車通過(guò)電桿所行的路程=列車長(zhǎng)二、列車過(guò)橋：外車通過(guò)橋所行的路程=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)三、列車行進(jìn)中的人行人與列車相向而行：列車通過(guò)人所行路程=列車長(zhǎng)一所行路程行人與列車同向而行：列車通過(guò)人所行路程=列車長(zhǎng)十人所行路程一般數(shù)量關(guān)系：（1）路程=橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)（2）車速=（橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）

47、47;通過(guò)時(shí)間（3）通過(guò)時(shí)間=（橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)）÷速度（4）橋長(zhǎng)=車速×通過(guò)時(shí)間車長(zhǎng)（5）車長(zhǎng)=車速×通過(guò)時(shí)間橋長(zhǎng)典型例題：例1、 一列火車全長(zhǎng)300米，每秒行17米，通過(guò)一座長(zhǎng)550米的橋，需要多長(zhǎng)時(shí)間。分析：列車通過(guò)大橋，就是從火車頭上橋算起到車尾離開(kāi)橋?yàn)橹?，即“火車所行的路?橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)”。題目中列車通過(guò)長(zhǎng)550米的大橋，共走了550+300=850米。已知平均速度，可以求出過(guò)橋花的時(shí)間。先求出列車過(guò)橋的路程：在求出過(guò)橋所需的時(shí)間： 習(xí)題：一列長(zhǎng)280米的火車以15米/秒的速度通過(guò)一座橋梁花去一分半鐘，問(wèn)這座橋有多長(zhǎng)。一列長(zhǎng)225米的火車以40千米/時(shí)的速度通過(guò)

48、一條長(zhǎng)2.975千米的隧道，共需要多長(zhǎng)時(shí)間？一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車頭開(kāi)上橋至車尾離開(kāi)橋共需要3分鐘，這列火車長(zhǎng)多少米？ 例二：一列火車通過(guò)鐵路旁一根電桿花去15秒，用同樣的速度通過(guò)一座大橋花去70秒。已知這列火車每小時(shí)行64.8千米，求大橋的長(zhǎng)度。 分析：火車通過(guò)大橋花去70秒，也就是火車行了橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)的距離花去70秒；火車通過(guò)電線桿花去15秒，也就是火車行了自身長(zhǎng)花去15秒。所以，火車行完橋長(zhǎng)只花去（ ）秒。又知道火車的行進(jìn)速度，從而可求出橋長(zhǎng)。 先求出火車每秒的速度： 在求出火車通過(guò)大橋的時(shí)間：求出大橋的長(zhǎng)度：答：橋長(zhǎng)（ ）米。習(xí)題一列火車通過(guò)一座長(zhǎng)1000米的大橋需65秒，如果用同樣的速度通過(guò)一座長(zhǎng)730的睡到則要50秒。求這列火車前進(jìn)的速度和火車的長(zhǎng)度。有一座鐵路橋長(zhǎng)1000米，一列火車從橋上通過(guò)，測(cè)的火車從開(kāi)始上橋到完全下橋共用120秒，已知整列火車完全在橋上的時(shí)間是80秒，這列火車的速度和長(zhǎng)度分別是多少？一列火車通過(guò)