2015高考數學（理）（第五章 5.1平面向量的概念及線性運算）一輪復習題

1、§5.1平面向量的概念及線性運算1向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度為單位1的向量非零向量a的單位向量為±平行向量如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02 向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba. (2)結合律：(ab)ca(bc

2、).減法求兩個向量差的運算三角形法則aba(b)數乘求實數與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當>0時，a的方向與a的方向相同；當<0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3 向量共線的判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數，使得ba，則向量b與非零向量a共線1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量(×)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關()(3)已知兩向量a，b，若|a|1，|b|1，則|ab|2.(×)(4)在ABC中，D

3、是BC的中點，則()()(5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上(×)(6)當兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()2(2012·四川)設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()AabBabCa2bDab且|a|b|答案C解析表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選項易知C滿足題意3已知O是ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，且20，那么()A.B.2C.3D2答案A解析由20可知，O是底邊BC上的中線AD的中點，故.4已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足0，則實數的值為_答案2

4、解析如圖所示，由，且0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此2，則2.5設a、b是兩個不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點共線，則實數p的值為_答案1解析2ab，又A、B、D三點共線，存在實數，使.即，p1.題型一平面向量的概念辨析例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是_思維啟迪正確理解向量的概念，向量共線和點共線的區(qū)別，向量相等的定義是解題關鍵答案解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且

5、，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.故“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件正確ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.思維升華(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數圖

6、像的移動混為一談(4)非零向量a與的關系：是a方向上的單位向量給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實數)，則必為零，為實數，若ab，則a與b共線其中錯誤命題的個數為()A1 B2C3 D4答案C解析錯誤兩向量共線要看其方向而不是起點與終點正確因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數，故可以比較大小錯誤當a0時，不論為何值，a0.錯誤當0時，ab，此時，a與b可以是任意向量題型二平面向量的線性運算例2(1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么等于()A.B.C.D.(2

7、)在ABC中，c，b，若點D滿足2，則等于()A.bcB.cbC.bcD.bc思維啟迪結合圖形性質，準確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減法運算的關鍵答案(1)D(2)A解析(1)在CEF中，有.因為點E為DC的中點，所以.因為點F為BC的一個三等分點，所以.所以，故選D.(2)2，22()，32，bc.思維升華(1)解題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果(1)已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足20，則等于(

8、)A2B2C.D(2)設P是ABC所在平面內的一點，2，則()A.0 B.0C.0 D.0答案(1)A(2)B解析(1)由20得220，22.(2)如圖，根據向量加法的幾何意義有2P是AC的中點，故0.題型三共線向量定理及應用例3設兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點共線；(2)試確定實數k，使kab和akb共線思維啟迪解決點共線或向量共線的問題，要結合向量共線定理進行(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線(2)解kab與akb共線，存在實數，使kab(ak

9、b)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210.k±1.思維升華(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當且僅當120時成立，否則向量a、b不共線(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若a，b，則等于()A.abB.abC.abD.ab(2)已知向量a、b、c中任意兩個都不共線，并且ab與c共線，bc與a共線，那么a

10、bc等于()AaBbCcD0答案(1)B(2)D解析(1)如圖，由題意知，DEBE13DFAB，ab(ab)ab.(2)ab與c共線，ab1c.又bc與a共線，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a，即，abccc0.方程思想在平面向量的線性運算中的應用典例：(12分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點M，設a，b.試用a和b表示向量.思維啟迪(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領，要盡可能地轉化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解規(guī)范解答解設manb，則manba(m1)

11、anb.ab.3分又A、M、D三點共線，與共線存在實數t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三點共線，與共線10分存在實數t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.12分溫馨提醒(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清晰，但解題過程復雜，有一定的難度(2)易錯點是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數法求解(3)數形結合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關問題時，多數習題要結合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向

12、量最重要的方法與技巧如本題易忽視A、M、D三點共線和B、M、C三點共線這個幾何特征(4)方程思想是解決本題的關鍵，要注意體會.方法與技巧1向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”2可以運用向量共線證明線段平行或三點共線如且AB與CD不共線，則ABCD；若，則A、B、C三點共線失誤與防范1解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意

13、零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯誤A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)一、選擇題1下列命題中正確的是()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D有相同起點的兩個非零向量不平行答案C解析由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆

14、否命題入手來考慮，假設a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C.2已知a2b，5a6b，7a2b，則下列一定共線的三點是()AA、B、CBA、B、DCB、C、DDA、C、D答案B解析2a4b2A、B、D三點共線3已知ABC和點M滿足0，若存在實數m使得m成立，則m等于()A2 B3 C4 D5答案B解析由已知條件得.如圖，因此延長AM交BC于D點，則D為BC的中點延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E、F分別為AC、AB的中點，即M為ABC的重心()，即3，

15、則m3.4已知點O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內角A等于()A30° B60° C90° D120°答案B解析由0，知點O為ABC的重心，又O為ABC外接圓的圓心，ABC為等邊三角形，A60°.5在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若，則等于()A1 B.C.D.答案D解析，2，即.故.二、填空題6設向量e1，e2不共線，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，給出下列結論：A，B，C共線；A，B，D共線；B，C，D共線；A，C，D共線，其中所有正確結論的序號為_答案解析4e12e2，

16、3e1，由向量共線的充要條件ba(a0)可得A，C，D共線，而其他無解7在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_.(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.8在ABC中，已知D是AB邊上一點，若2，則_.答案解析由圖知，且20.×2得：32，.三、解答題9已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共線，向量c2e19e2.問是否存在這樣的實數、，使向量dab與c共線？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d與c共線，則應有實數k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在這樣的實數、，

17、只要2，就能使d與c共線10如圖所示，在ABC中，D、F分別是BC、AC的中點，a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求證：B，E，F三點共線(1)解延長AD到G，使，連接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)ba(b2a)(2)證明由(1)可知，因為有公共點B，所以B，E，F三點共線B組專項能力提升(時間：30分鐘)1設O在ABC的內部，D為AB的中點，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為()A3 B4 C5 D6答案B解析D為AB的中點，則()，又20，O為CD的中點，又D為AB中點，SAOCSADCSABC，則4.2O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：，0，)，則P的軌跡一定通過ABC的()A外心 B內心 C重心 D垂心答案B解析作BAC的平分線AD.，· (0，)，·，.P的軌跡一定通過ABC的內心3如圖所示，在ABC中，點O是BC的中點過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn的值為_答案2解析O是BC的中點，()又m，n，.M，O，N三點共線，1.則mn2.4設a，b是兩個不共線的非零向量，若a與b起點相同，tR，t為何值時，a，tb，(ab)三向量的終點在一