一元二次方程難題解析

1、百度文庫讓每個人平等地提升自我8一元二次方程難題解答(一)oL己知m是方程x2-x-2=0的一個根，則代數(shù)式(加2一?)(加一+1)的值是m解：:m是方程/一工2=0的一個根2，產(chǎn)一?-2=0即，一?=2."?，()方程兩邊除以加得：，一1一一=0m22m-=1/.(in2-in)(mf1)=2x(1+1)=4mm2.已知x是方程/一2。16工+1=0的一個根，求代數(shù)式2/40314+1286-的值cr+解：元=。是方程/一2016田+1=。的一個根./-2018+1=0，/-2016(7=-1或/+1=2018，12016a2-2仆”，2016r/22cr-40314+1-=2a-

2、4032a+a+-a2+2016a=2(120164)+4+14=2x(-l)+l=-l3.關于m的方程八一島n2=0的一個根為2,求/+?的值。解：由題意得：z=2把z=2代入方程得：4療一22一2=0整理得：2277+1=0方程兩邊除以得：一2"+'=0nn+=2V7方程兩邊平方得：H2+2+4=284.己知(/+14)2=36,求的值。nr解：v(/w2+_L-4)2=36./+上一4=±6nrnr.，+=10或.?2+r=-2(舍去)nrnrm = i2>/2(.)2+2=10即(m-)2=85 .用換元法解下列方程：(1)，-1)2-3。2-1)=0

3、解：設/_1=丁，則原方程為y2-3y=0)0-3)=0/.y,=0y2=3當 y = 0時，x2-l = 0x = ±當 y = 3 時，x2-1=3x = ±2二原方程的解為=1x2=-1x3=2x4=-26 .設X、)，為實數(shù)，求/+2個+2)3-4)，+5的最小值，并求出此時工與y的值。解：x2+2xy+2y2-4y+5=(x2+2xy+y2)+(y2-4y+4)+1=(x+y)2+(y-2)2+lv (x+y)2>0 (y-2尸 NO/. (x+y)2+(y-2)2 + l>lx+v=0x=2當即時，該式的最小值為1y-2=0y=27 .關于x的方程?

4、(工+/?尸+攵=0(加、h、k均為常數(shù),-0)的解是再=3占=2,求方程7(x+/?-3)2+k=O的解。解：m(x+h)2+k=0(x+hy=-x+h=mj+以7-h-fl=2kIkm(x+h-3)2+攵=0(x+-31=x+/?-3=±)-mVmx=-h±+3Xj=-3+3=0x2=2+3=58 .對于*,我們作如下規(guī)定：ab=a2-b2+2,試求滿足(2x+l)*x=10的x的值。解:由題意得：(2工+1尸一/+2=104x2+4x+1-x2+2=03/+4x-7=0(x-1)(3x+7)=07x-1=03x+7=0.二%=1x1=-9 .解含絕對值的方程：解方程：

5、x2-|x-l|-l=0解：當不一1之0時，即xni,卜一1|=X一1原方程化為工2-1一1)-1=0即/一工=0解得：玉=0x2=X>1»故=0(舍去)x2=1是原方程的解當X1V0時，即XV1,上一1|=1一工原方程化為小一(1一幻一1=。即/+工一2=0解得：玉=1x2=-2x<1,故玉二1(舍去)x2=-2是原方程的解綜上所述，原方程的解為玉=1,/=-210 .解方程：x2+X-2(x+-)=xX解:配方得：(x+i)2-2(x+l)-3=0XX設X+J.=y,原方程可化為），2一2%一3=0,解得y=3%=-1X當=3時，a+=3,即x?-3x+l=0,解得工

6、=二x2當力=一1時，工+'=-1，即/一天+1=0,方程無實數(shù)解0x經(jīng)檢驗：2x,=±E是原方程的解。22io11.解方程：=2x-lr-2x12解：x2-2x-.+1=0廠一2x17設i2x=y,則原方程可化為y二+1=0,貨+y-12=0,解得：y=Y%=3當乃=-4時，x2-2x=M,即一一2%+4=0,此方程無實數(shù)解當，2=3時，x2-2x=3,即/一2%一3=0,解得：x,=3,x2=-經(jīng)檢驗：玉=3,x2=-l是原方程的解。17.已知關于戈的一元二次方程（"+。）/+2"+（一。）=0,其中a、b、c分別為4ABC三邊的長。（1）如果x=T是

7、方程的根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷aABC的形狀，并說明理由：（3）如果ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根。解：（1）把x=l代入方程得：a+c-2b+a-c=O：.2a-2Z?=0即a=Z?ABC為等腰三角形（2）=（2b）2-4（+c）（a-。）=4b2-4（d2-c2）=4Z?2-4a2+4c2又.方程有兩個相等的實數(shù)根:,4b2-4a2+4c2=0b2+c2=a2，ABC為直角三角形（3）當。=b=c時，原方程化為/+工=。解得：*=ox2=_i18.已知關于大的方程的方程（6+1+2（"?l）x1=0（1），為何值時

8、，原方程是一元二次方程？（2）川為何值時，原方程是一元一次方程？/+后。o_n解乂1）由題意得：I，/_i=2解得='當機時，原方程為一元二次方程（2）當原方程是一元一次方程時，川的值應分三種情況討論：7+6=0解得加=_石2（吁1）H0/-1=1解得加=±/m+V3+2（加-1）工0J”？-1=0一一解得7=-12（/72-1）0綜上所述：當?=-、6，一1,-、歷或、歷時，原方程是一元一次方程。19.用配方法求二次三項式的最大值與最小值1 - 23 - 2>-3 - 2-21 - 2-X2(（1）當x為何值時，代數(shù)式2/2工一1有最小值？并求出最小值2廠2x1=2(

9、廠一x)1=2(廠x+44=2(x-)2-v2(a-1)2>02221?二當x=上時，代數(shù)式2/-2工一1有最小值一二22(2)當入為何值時，代數(shù)式3/6X+4有最大值？并求出最大值解：一3/一6工+4=-3(/+2x+l-l)+4=-3(x+l)2+7一3。+1)2<0/.-3(x+1)2+7<7,當工=-1時，代數(shù)式有最大值7.2a-<20.若。滿足不等式組11_，則關于X的方程(a-2)/一(2。一1»+。+=0的根的>022情況是解：解不等式組得aV3./。2則方程為一元二次方程A=(2aI)2-4(t/-2)(a+)=2/+5,/a<3/

10、.2t/+5<-1HPA<02關于X的一元二次方程沒有實數(shù)根。21.關于X的一元二次方程x2+=Tx-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。>-1>0p-1解由題意得：j,1:.k>A=(VTl)2+4>0k>-522 .關于x的方程"浸+x2+1=0有以下三個結(jié)論：當?=0時，方程只有一個實數(shù)根:當?W0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；無論加取何值時，方程都有一個負數(shù)解：其中正確的是解：當?=。時，原方程為x+l=0a=-1方程只有一個實數(shù)根當7工0時，=1-4m(-m+1)=4m2-4m+1=(2m-I)2>0方程有兩個實數(shù)根百

11、度文庫讓每個人平等地提升自我14當7=0時，x=-l當?工0時，x=一1±.2l1)=T±(2l1)2m2m=1-1占=1.無論/取何值時，方程都有一個負數(shù)解m23 .關于x的方程(-6)/一8x+6=0有實數(shù)根，則整數(shù)。的最大值是3解：當=6時，原方程為8x+6=0x=-4當。工6時，=6424(。-6)=-24/+20820，整數(shù)。的最大值是824 .已知關于x的一元二次方程(工一3)。-2)=|小求證：對于任意實數(shù)？，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的一個根是1,求的值及方程的另一個根。解：(1)(x-3)(五-2)=帆x25x+6-|/w|=0A=(-5)2

12、4(6|/n|)=4|/n|+1>0/.對于任意實數(shù)7,方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)把x=l代入原方程得:(l-3)(l-2)=|m|m=±2，原方程為(x3)(x2)=2x2-5x+4=0玉=1x2=4/.in=±2»方程的另一根為x=425 .已知關于x的方程(3攵+1口+22+2女=0,(1)求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根：(2)若等腰三角形ABC的一邊長4=6,另兩邊、c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長。解：1)=(3+1)2-4(2k2+2女)=922+6女+18女*8k=攵22攵+1=伏一1尸20無論女取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)

13、根x、=2k x2=k + 3k+l±J(k-»3k+l±(k-l)(2)x=1=當=。時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即2%=4+1k=b=c=2.2+2v6二不能構(gòu)成三角形。當腰長為6時，2k=6k=3Z+l=4=6+6+4=16或+1=6k=52%=10，Cubc=6+6+10=22綜上所述：。取故=16或2226 .若關于X的方程V-（?+5）忖+4=7恰好有3個實數(shù)根，則實數(shù)m=解：此一（+5）忖+4-?=0.方程恰好有3個實數(shù)根/.|4>0凡=0：.4-m=0m=427 .若關于x的方程.+2（。+2）x+a=0有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍解：當。=

14、0時，原方程為4x=0方程有解x=0當工0時，=2伍+2）-4/=4ci2+8i/+8-4a2=8a+8.方程有實數(shù)根.84+820a>-l綜上所述：a>-28.如果關于入的一元二次方程女f-J2A+1x+1=。有兩個不相等的實數(shù)根,則z的取值范圍k豐。解：由題意得：|2k+120解得：-1<女<，且kwO22=（-j2k+l）2-8k>029.設方程k2+av|=4只有3個不相等的實數(shù)根，求的值和相應的3個根。解：/+ax=4期二+ax=T/.x2+ar4=0如'+«x+4=0=/+16>0，第一個方程有兩個不相等的實數(shù)根=/-16v原方

15、程只有3個不相等的實數(shù)根，)=0即。2-16=0a=±4當。=4時，x2+4x-4=0sKx2+4a+4=0%)=-2+272x2=-2-141x3=-2當時，x2-4x-4=0gJU2-4A-+4=0%=2+2、5x2=2-22七=2綜上所述：。=±4,當。=4時，n=2+2、5x2=-2-22x3=-2當時，=2+2行=2-2、5歷=22、30.已知函數(shù)y=二和y=入+1伙工0）,（1）若這兩個函數(shù)圖象都經(jīng)過點（1,。），求。和攵的x值。（2）當攵取何值時，這兩個函數(shù)總有公共點？2解：(1).函數(shù)y=-經(jīng)過點(1,)a=2.該點為(1,2)x2 y =(2) y X y

16、 = kx+.2=k+k=1：.kr+x2=0v兩個函數(shù)總有公共點.方程有實數(shù)解7wo1+8kNO31.已知關于x的一元二次方程/十（2攵+1口+公一2=。的兩根為內(nèi)和，且（再一2）（內(nèi)一電）=。，求攵的值。解：（M-2）（內(nèi)一勺）=。1.X2=0Xj-x2=0當為=2時,把覆=2代入原方程得:4+2（2k+1）+/一2=0整理得：攵2+依+4=0解得：k=-2當事一占=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即=(2攵+1-一4(公2)=09Q解得：k=-綜上所述：攵=2或一二4431.(1)已知：=T-q-q?=0,且pqWl,求的值。q解：由二_一=0,-q-q1=0qW0又pq手I：.pq._q

17、_/=o可化為d)2_L_=o2一-1=0與(32-,-1=0是同解方程qqqq即"il = iq和L是方程x2-x-l=0的兩個不相等的實數(shù)根:.p+-=若，一1=0,1-1=0且_1工！，求-4+的值。nrinnmnnrif解：Li=o與_Li=o是同解方程，且J_r_Lnrm-nmnm n nm(3)若 2tn2 5 m 1 = 0,.!,L為方程Yx1=0的兩個不相等的實數(shù)根mn,+-T=(+)2-=1-(-2)=3nrirninmn±+*-2=0且，求(?一)？的值。rrn解：wo二方程-2=0兩邊乘以得：22-5-1=。irn二2m2-5?-1=0與22-5-1=0是同解方程小、為方程2/-5工一1=0的兩個不相