五邊形密鋪的介紹

1、其基本的組合方式如下。 我現(xiàn)在想：這按照上面的這種五邊形的組合方式來設(shè)計一個程序，讓這些全等的五邊形按照上圖的方式組合在一起，當(dāng)其中一個五邊形的量變化時，其它的五邊形跟著變化，是否還有其它的角度和邊長的五邊形情況呢？不知電腦程序能否直觀的演示這類圖形，這就是我現(xiàn)在想最先用這種方法來尋找。 我用幾何畫板演示了如下的圖形，效果不好。 相應(yīng)的概念介紹：什么是平面密鋪理論 平面密鋪，直觀來說就是用不同的幾何形狀完全覆蓋一個二維平面，而且圖形沒有重疊。 或者實際上來看，就是鋪瓷磚 （利用正六邊形，正三角形，正方形的密鋪）（利用正六邊形，正三角形，正方形的密鋪） 正五邊形不能密鋪平面。 證明：首先，假設(shè)能

2、夠密鋪平面，考慮任何一個正五邊形，以下情況不會出現(xiàn)： 否則在如圖邊與頂點(diǎn)交匯處的一部分，不能放入另一個正五邊形鋪滿。 否則在如圖邊與頂點(diǎn)交匯處的一部分，不能放入另一個正五邊形鋪滿。 所以如果能鋪滿，應(yīng)該是邊對邊，點(diǎn)對點(diǎn)，但是我們來思考一下某一個頂點(diǎn)， 正六邊形能密鋪平面 證明：顯然。 當(dāng)我們尋找其他的正n邊形時，我們不妨用簡單的數(shù)學(xué)來思考一下前面的結(jié)論。正五邊形不能密鋪平面是因為其內(nèi)角整數(shù)倍不能形成360度.對于一般的正n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)*180度當(dāng)我們尋找其他的正n邊形時，我們不妨用簡單的數(shù)學(xué)來思考一下前面的結(jié)論。正五邊形不能密鋪平面是因為其內(nèi)角整數(shù)倍不能形成360度.對于一般的正

3、n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)*180度 一個內(nèi)角的大小為度.其若能密鋪平面，其內(nèi)角度數(shù)某整數(shù)倍為360度，即整除360，得 ,從而,即n-2被4整除，所以n-2=1，2，4. n=3，4，6 于是結(jié)合前面的分析有 5. 正n邊形中，只有正三角形，正方形，正6邊形能密鋪平面，其余正n邊形不能做到。 這就是為啥只有這幾種常見的瓷磚了 看來，對于正多邊形單密鋪問題，我們已經(jīng)有了完美的答案 然而，不規(guī)則的密鋪能否實現(xiàn)？數(shù)學(xué)家于是又著手于這個問題的解決，誰知道是一個大坑 三.我們?yōu)槭裁搓P(guān)注不規(guī)則五邊形？ 雖然這個多邊形平面單密鋪問題從公元前就已經(jīng)出現(xiàn)，可是其的圓滿解決方案遲遲沒有出現(xiàn)。 這一等，就等到1

4、963年。 1963年是什么時候呢？相對論已經(jīng)成熟的應(yīng)用于生活，計算機(jī)技術(shù)已經(jīng)開始發(fā)展，希爾伯特問題提出已經(jīng)過去幾十年，數(shù)學(xué)在泛函分析，數(shù)論，PDE，拓?fù)鋵W(xué)，ODE極限環(huán)理論等等分支上已經(jīng)取得了很多成就，然而這個多邊形單密鋪問題還在繼續(xù)等待著人類去挖掘。 在1963，數(shù)學(xué)家證明只有三種其他不同的六邊形密鋪，我查了查如下： 對于不規(guī)則五邊形密鋪的研究，要從德國數(shù)學(xué)家Karl Reinhardt說起 我們都知道1900年，Hilbert在巴黎數(shù)學(xué)家大會上提出了23個最重要的問題供二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?nèi)パ芯?，這就是著名的"希爾伯特23個問題"。 來來來，讓我們看看第18個問題: 如

5、何用全等多面體構(gòu)造空間？由德國數(shù)學(xué)家比勃馬赫（1910）、萊因哈特（1928）作出部分解決。 萊因哈特是誰？就是我們要談到的這位： Karl Reinhart(1895-1941) Karl Reinhart是一位有著獨(dú)特想象力的幾何學(xué)家，性格幽默，勇敢，大膽。他酷愛幾何研究，對多邊形的研究更是非常了得。 他在University of Marburg上過一年大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，之后一戰(zhàn)便爆發(fā)戰(zhàn)爭期間，他在中學(xué)擔(dān)任過老師，也做著名數(shù)學(xué)家 David Hilbert的助教，從Hilbert那里學(xué)到了很多知識，也正是Hilbert激勵了他繼續(xù)研究他所熱愛的數(shù)學(xué)。（Hilbert是最喜歡的數(shù)學(xué)家之一，頗有

6、長者風(fēng)范） 其貢獻(xiàn)有解決了 極大面積n邊形（所有邊長均為1的多邊形中面積最大的多邊形）問題的特殊情況，提出了Smoothed octagon （可能是具有最小背包密度即打包整理最浪費(fèi)空間的平面對稱圖形）。 其還有一個重要的發(fā)現(xiàn)是： 憑借出色的平面幾何功底與直覺，他發(fā)現(xiàn)了前5種不同的 五邊形密鋪方式，開啟了一個新的研究方向。它們分別是： 1:利用兩個五邊形拼成了一個類似平行四邊形的圖案，然后類比我們之前的平行四邊形密鋪方式 2:類比之前的一般四邊形密鋪方式，形成一個可拼接的結(jié)構(gòu) 3：將正六邊形密鋪方式恰當(dāng)分割即可3：將正六邊形密鋪方式恰當(dāng)分割即可 4：類似2 5：這個很難想到，大概是借鑒了花瓣的

7、形成方式和六邊形密鋪方式，將正六邊形的各邊改成棱角狀然后劃分成6個五邊形 當(dāng)你以為五邊形研究會一帆風(fēng)順的進(jìn)行下去時，又過了毫無新發(fā)現(xiàn)的50年甚至大家都產(chǎn)生了其實就只有這5種的感覺 6,7,8 （ Kershner 1968 ） 科學(xué)分析給出新方式 這次由Kershners在美國數(shù)學(xué)月刊上發(fā)的一篇詳細(xì)分析的文獻(xiàn)給出，有理有據(jù)使人信服 On Paving the Plane on JSTOR 不得不說這3種五邊形密鋪方式非常奇怪，因而有一定難度。不得不說這3種五邊形密鋪方式非常奇怪，因而有一定難度。 6：像是平行四邊形密鋪的另一種變體 7，8：已經(jīng)不能三言兩語說清其中的結(jié)構(gòu)了 然后這位 Kersh

8、ner想必也是費(fèi)了一番功夫，用一大段論證了只可能存在這8種五邊形平面密鋪方式，然后事實大家都知道了 10 （ James 1975） 站在 Kershner的肩膀上 在閱讀了上面這位老兄的文章后，1975年Richard E. James III 經(jīng)過思考找到了又一種 所謂喜聞樂見的自打臉： 10：這個挺像先強(qiáng)行用拼成的五邊形構(gòu)成一個類似的四邊形去鋪平面，然后用同一種五邊形去填補(bǔ)留下的縫隙，然后通過計算角度解方程使其能填滿。10：這個挺像先強(qiáng)行用拼成的五邊形構(gòu)成一個類似的四邊形去鋪平面，然后用同一種五邊形去填補(bǔ)留下的縫隙，然后通過計算角度解方程使其能填滿。 等會，你可能會有疑問，為什么是10不

9、是9，9難道被誰吃了么？ 那是因為突然出現(xiàn)了一位神乎其神的研究者在默默無聞地研究這個問題， 9，11，12，13 （Marjorie Rice 1975-1977） 家庭主婦也愛數(shù)學(xué) 馬喬里·賴斯（Marjorie Rice）當(dāng)時是50多歲的家庭主婦，家住在California.她從科學(xué)美國人雜志中看到了 James 的文章，感覺很有趣 Rice覺得在家閑著也是沒有事做，不如無聊研究看看吧，于是她成為了一名平面密鋪理論的業(yè)余的數(shù)學(xué)家于是，她開始培養(yǎng)其自己的業(yè)余愛好：只受過高中教育，沒關(guān)系，有大把空余時間涂涂畫畫。只受過高中教育，沒關(guān)系，有大把空余時間涂涂畫畫。 有些符號不理解，沒關(guān)系

10、，那就創(chuàng)造自己的符號系統(tǒng)與研究方法。 于是至1977前，她發(fā)現(xiàn)了五十多種多邊形密鋪方式（不止是單密鋪），包括4種新的五邊形密鋪方式 經(jīng)過教授 Doris Schattschneider 驗證了其獨(dú)特的數(shù)學(xué)符號體系后，向數(shù)學(xué)家們表明了這一些發(fā)現(xiàn)的正確性 我們來看看翻譯后版本： 這確定是一個人想出來的么這個結(jié)構(gòu)基元排列感覺略復(fù)雜，都是8個五邊形拼出來的圖形，大概就是先拼接再組合，形成4種不同的模式這確定是一個人想出來的么和之前的相比，更加古怪奇怪了。 所以還是不自找麻煩去簡單分析別人2年得到的成果了，這絕對不是簡單的涂涂畫畫就可以得到的 所以美國家庭主婦閑下來真可怕恐怕James和kershner

11、看見后內(nèi)心也是復(fù)雜無比的心情 14 （Rolf Stein 1985） 21世紀(jì)前最后一次新發(fā)現(xiàn) 看起來是三個八邊形互相扣在一起形成一個結(jié)構(gòu)基元(lattice)，然后結(jié)構(gòu)基元(lattice)之間互相扣著，綠線的劃分是為了恰好得到了六個全等的五邊形，具體角度應(yīng)該是由方程解出?？雌饋硎侨齻€八邊形互相扣在一起形成一個結(jié)構(gòu)基元(lattice)，然后結(jié)構(gòu)基元(lattice)之間互相扣著，綠線的劃分是為了恰好得到了六個全等的五邊形，具體角度應(yīng)該是由方程解出。 分析了這么多，我們發(fā)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)基元(lattice)在密鋪理論的重要性，可以先確定結(jié)構(gòu)基元，再去試圖劃分得到所需的五邊形，具體角度和邊長可以再列方程解出。 還有僅借助人力枚舉法不太可取，進(jìn)度太慢。也正如我所說的這樣，1985到上個月，都沒有新的密鋪方式發(fā)現(xiàn)。 15 Mann/McLoud/Von Derau (2015) 計算機(jī)大法好 借助計算機(jī)的枚舉，前一陣子數(shù)學(xué)家得到了最新的第15種，為什么說這第15種很重要，我想原因也在于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和將計算機(jī)程序引入枚舉工作的新思想。 12個五邊形湊成的結(jié)