南通市2020屆高三數(shù)學(xué)一調(diào)有答案

1、(第 9 題圖)南通市 2020 屆高三第一次調(diào)研測試、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分.1.已知集合 U=1,2, 3, 4，M=1,2，N=2, 3，則E(MUN)=.2復(fù)數(shù)1 i2(i 是虛數(shù)單位)的虛部為.(1 i)-3設(shè)向量 a，b 滿足：|a| 1, a b |，a b 2 2，則|b|.4.在平面直角坐標系 xOy 中，直線x (m 1)y 2 m與直線mx 2y 8互相垂直的充要條件是 m=5.函數(shù)f(x) cosx(sinx cosx)(x R)的最小正周期是 .nn6.在數(shù)列an中，若對于 n N*，總有ak=2n- 1,貝Uak2= .k 1k

2、17.拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標有1，2，3，4 的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為 x, y,則x為整數(shù)的概率是.8.為了解高中生用電腦輸入漢字的水平，隨機抽取了部分學(xué)生進行每分鐘輸入漢字個數(shù)測試，下圖是根據(jù)抽樣測試后的數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中每分 鐘輸入漢字個數(shù)的范圍是50，150，樣本數(shù)據(jù)分組為50，70),70，90)， 90，110)，110，130)，130，150，已知樣本中每分鐘輸入漢字個數(shù)小于90 的人數(shù)是 36,則樣本中每分鐘輸入漢字個數(shù)大于或等于70 個并且小于 130 個的人數(shù)是 .9.運行如圖所示程序框圖后，輸出的結(jié)果是.(第 9 題圖)頻

3、率10 關(guān)于直線m, n和平面,有以下四個命題:若mil , n ，/，貝 Um/n;若mil n, m , n，貝 U;若I m, m / n，貝 Un 且n /;若m n, I m，貝 Un或n.其中假命題的序號是.2x 2 x x 011.已知函數(shù)f(x)2，若f(2 a2) f(a)，則實數(shù) a 的取值范圍是.2x x,x 0,12. 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在 x 軸上，以其兩個焦點和短軸的兩個端點 為頂點的四邊形是一個面積為 4 的正方形，設(shè) P 為該橢圓上的動點，C D 的坐標分別是2, 0 ,2, 0，則 PC- PD 的最大值為 .13. 設(shè)面積為 S 的平面四邊形的第

4、 i 條邊的邊長記為 a (i=1，2, 3, 4)，P 是該四 邊形內(nèi)任意一點，P 點到第 i 條邊的距離記為 hi,若牛 守 導(dǎo)書k,則4(ihi) 2S.類比上述結(jié)論，體積為 V 的三棱錐的第 i 個面的面積記為 S(i=1，i 1k2, 3, 4)，Q 是該三棱錐內(nèi)的任意一點，Q 點到第 i 個面的距離記為 H，則相 應(yīng)的正確命題是：若S1等號S4k,則.14.在平面直角坐標系 xOy 中，設(shè)直線y3x2m和圓x2y2n2相切，其中 m,n N , 0 |m n | 1,若函數(shù)f (x) mx 1n的零點x(k, k 1), k Z，貝Uk= 【填空題答案】1.4；21;.2;3.2;

5、4.2.3;5.n;6.1n14 1;71-8 . 90;9. 10;10.；11.(2,1);12. 4;13 .4(iHi)乎;i 1k14.0 .三角形 ABC 為等邊三角形.3【解】（1）由mn-得，cos（A C） cosB二、解答題：本大題共 6 小題，共 90 分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.15.（本小題滿分 14 分）在厶 ABC 中, a，b，c 分別是角n - . （1）2向量m cos(A C)，1和n (1 cosB)滿足mA、B、C 所對的邊，且 b2=ac.求sinAsinC的值；（2）求證:又 B=n(A+C)，得 cos(A C)cos(A+C

6、)=即cosAcosC+s inAsinC(cosAcosCsinAsisinAsinC=3.4【證明】（2）由 b2=ac 及正弦定理得sin2B sin AsinC，故sin2B于是cos2B以cosB -，故B2由余弦定理得-4，n32b所以如丄或1.因為cosB持11c22accosB，即b2accos(AC)0,所b2=ac , 所以2 2ac a cac,得 a=c.因為B丄，3所以三角形 ABC 為等邊三角形.ACD AC=ADE.A14 分16.（本小題滿分DP 2AB F 為 CD 的中點.（1） 求證：AF/平面 BCE （2） 求證：平面 BCEL 平面 CDE【證明】（

7、1）因為 AB 丄平面 ACD DE!平面 ACD 所以 AB/ DECFD（第 161取 CE 的中點 G,連結(jié) BG GF 因為 F 為CD的中點，所以 GF/ ED/ BA, GF=1ED214 分）如圖，已知 AB 丄平面 ACD DE!平面從而 ABGF 是平行四邊形，于是 AF / BG.4 分因為 AF 平面 BCE BG 平面 BCE 所以 AF/平面 BCE . 7分(2)因為 AB 丄平面 ACD AF 平面 ACD所以 AB 丄 AF,即 ABGF 是矩形，所以 AF 丄 GF.9 分又 AC=AD,所以 AF 丄 CD.11 分而 cm GF= F,所以 AF 丄平面

8、GCD 即卩 AF 丄平面 CDE.因為 AF/ BG 所以 BGL 平面 CDE.因為 BG 平面 BCE 所以平面 BCEL 平面 CDE.14 分17.(本小題滿分 15 分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且asa1334,S39.(1) 求數(shù)列an的通項公式及前n項和公式；(2) 設(shè)數(shù)列bn的通項公式為bn亠，問：是否存在正整數(shù) t，使得b1,b2,bmant(m3, m N)成等差數(shù)列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，請說明 理由.【解】(1 )設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d.由已知得34,即a18d17,解得a1,ad3,d2.a5a133a29,6 分4 分.故an2n

9、1, Snn2.(2)由(1)知bn2n 12n 1 t.要使 d,b2,bm成等差數(shù)列，必須2b2bm，即11 分3 分31 2m 13 t 1 t 2m 1 t8 分.整理得m因為 m, t 為正整數(shù)，所以 t 只能取 2, 3, 5.當t 2時，m 7；當t 3時，m 5；當t 5時，m 4.故存在正整數(shù) t，使得 0,b2,bm成等差數(shù)列.15 分18.(本小題滿分 15 分)某地有三個村莊，分別位于等腰直角三角形 ABC 勺三個頂 點處，已知 AB=AC=6km 現(xiàn)計劃在 BC 邊的高 A0 上一點 P 處建造一個變電站.記 P 到三個村莊的距離之和為 y. (1)設(shè)PBO函數(shù)關(guān)系式

10、;(2)變電站建于何處時，它到三個小區(qū)的距離之和最小?【解】(1)在Rt AOB中，AB6,所以O(shè)B=OA=3.2.所以ABC衛(wèi)由題意知0.44所以點 P 到 A、B、C 的距離之和為P把 y 表示成 的A2 分O(第 18 題圖)y 2PB PA 2(3 2 3 2tan )cos3.2 4cos故所求函數(shù)關(guān)系式為y 322 sin 0 cos(2)由(1 )得y 3 22sin 12cos令y 0即sin評，y 0; 當y 0.所以當時，y 43 2乙仝丄取得最小值,cos此時OP血(km)，即點 P 在 OA 上距 O 點 76 km 處.11 分3 分c1.【答】變電站建于距 0 點.

11、6 km 處時，它到三個小區(qū)的距離之和最小.15 分2 219. (本小題滿分 16 分)已知橢圓C：占+孚=1a bD.若圓. 10 分曲線x22mx y24ym24 0與 D 有公共點，試求實數(shù) m 的最小值.【解】(1)由離心率e，得三a又點B( 1,3)在橢圓C寺E2，八)2b1.解得(3)+( 1)2十 a b2y12故 所2x1.4212，b 4，求 橢 圓 方由A(2,0)，B( 1,3)得直線 I 的方程為y(2)曲線x22mx y24y m240，1即圓(x m)2(y 2)28，其圓心坐標為G(m，2)，半徑r 2 2，表示圓心在直ab0的離心率為身，過右頂點 A的直線 I

12、 與橢圓 C 相交于 A、B 兩點，且B( 1,3).(1)求橢圓C 和直線 I 的方程;(2)記曲線C 在直線I 下方的部分與線段AB 所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為由于要求實數(shù) m 的最小值，由圖可知，只須考慮m 0的情形.c1.設(shè)eG與直線 I 相切于點 T,則由|a 2 2|22，得m 4,. 12分當m 4時，過點G( 4,2)與直線 I 垂直的直線I的方程為x y 6 0,解方程組xy 6 0得T(2，4).x y 2014 分因為區(qū)域 D 內(nèi)的點的橫坐標的最小值與最大值分別為1, 2，所以切點T D,由圖可知當eG過點 B 時，m 取得最小值，即2 2(1m)( 3 2)8,解得口

13、皿山7 1.16 分(說明：若不說理由，直接由圓過點B 時，求得 m 的最小值，扣 4 分)20. (本小題滿分 16 分)已知二次函數(shù) g ( X)對任意實數(shù)X 都滿足g X 1 g 1 x x22x 1，且g 11.令f (x) g x -1mln x申(m R,x 0).2 8(1) 求 g(x)的表達式；(2) 若x 0使f(x) 0成立，求實數(shù) m 的取值范圍；(3) 設(shè)1 m e,H (x) f (x) (m 1)x,證明：對 為，X21,m，恒有|H (xj H區(qū))| 1.【解】(1)設(shè)g x ax2bx c,于是22a x 122c 2 x 12,所以c1.又g 11，則b2所

14、以g x121xx 1.2 24 分(2)f (x)g x 1mln x 81x2mln x(m R,x 0)當 m0 時， 由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f (x )的值域為 R;當 m=0 時，2f(x) -20對x0f(x) 0恒成立；6 分當 mC時， 由f(X)mx0 xx匚，列表:x(0,J m(7m,)f (x)一0+f(x)減極小增這時，f (X)minf ( m) m mln . m.mmln . m 0,f(x)min02em 0.m 0分所以若x 0,f (x) 0恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是(e,0.故x 0使f(x)0成立, 實數(shù) m 的取值范圍(,eU 0,10(3)因為對

15、x1, m，于是|H(xi) H(X2)| H(1)12|H(xJ H(X2)| 1-m2記h(m) =m In m (122mH (x)xH(m)12m2mln m11mln m-1m0,In m2212所以H(x)在1,m內(nèi)單調(diào)遞減.2 0.2m12 分m e)則h(m)1 1生32 m 2m22所以函數(shù)h(m)1m In m221 11m 33在1,2m0,e是單調(diào)增函數(shù),1.10 分所以變換后的曲線方程為2 2x 2xy 2y14 分所以h(m) h(e) - 1 2 2e16 分附加題部分21. 【選做題】在 A, B, C, D 四小題中只能選做 2 題，每小題 10 分，共計 2

16、0 分解 答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修 4 1 幾何證明選講如圖，AB 是。0的直徑，C F 為。0上的點，且 CA 平分/ BAF 過點 C 作 CDLAF交 AF 的延長線于點 D.求證：DC 是OO的切線.【證明】連結(jié) OC 所以/ OACMOCA 又因為 CA 平分/ BAF 所以/ OACMFAC 于是/ FAC=/ OCA 所以 OC/AD.又因為 CELAF，所以 CELOC故 DC 是OO的切線. .10 分B選修 42 矩陣與變換變換 T 是繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)扌的旋轉(zhuǎn)變換， 求曲線2x22xy y21在變換 T 作用下所得的曲線方程.即x22xy 2y21

17、，e 3 e 12e0，故命題成立【解】變換 T 所對應(yīng)變換矩陣為M01，設(shè)y是變換后圖像上任一點,與之對應(yīng)的變換前的點是X。y。，則Mx0 x，代入2x22x0yy21，y,nBxC.選修 44 參數(shù)方程與極坐標(本題滿分 10 分)已知圓Oi和圓02的極坐標方程分別為2,222 cos(n)2.4(1) 把圓Oi和圓02的極坐標方程化為直角坐標方程；(2) 求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.【解】(1 )224，所以x2y24;因為22 2 cosn2,4所以222 cos cosnsin sinn2，所以x2y22x 2y20 .544分(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直

18、線方程為x y 1.化為極坐標方程為cossin1，即sinn血.An1042分D.選修 45 不等式證明選講(本題滿分 10 分)已知m 0, a, b R，求證:2 2 2a mba mb1 m1 m 【解】因為 m 0，所以 1m 0 ,所以要證a12 2 2mb a mbm1m即證(a mb)2(1 m)(a2mb2), 即證m(a22ab b2) 0,22 2即證(a b)20，而(a b)20顯然成立，故 琵皿a皿. . 101 m1 m分【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.22. 動點 P 在 x 軸與直

19、線 I : y = 3 之間的區(qū)域(含邊界)上運動，且到點 F (0，1) 和直線 I 的距離之和為 4.(1)求點 P 的軌跡 C 的方程；(2)過點Q(0, 1)作曲線 C 的切線，求所作的切線與曲線 C 所圍成區(qū)域的面積.【解】(1)設(shè)P(x, y)，根據(jù)題意，彳得,x2(y 1)2+ 3 y = 4,化簡，得 y = - x24(y3).(2)設(shè)過 Q 的直線方程為 y = kx 1,代入拋物線方程，整理得 X2 4kx + 4= 0.2由厶=16k 16 = 0.解得 k = 1.于是所求切線方程為 y=x 1 (亦可用導(dǎo)數(shù)求得切線方程)切點的坐標為(2, 1), (-2, 1).2由對稱性知所求的區(qū)域的面積為S=2034.10 分23.如圖，直三棱柱 ABC- ABG 中，底面是等腰直角三角形,A 吐 BC=/2, BB = 3, D 為 AG 的中點，F(xiàn) 在線段AA上.(1)AF 為何值時，CF 丄平面 B1DF?