不等式知識點歸納(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上新課標回歸教材不等式1、不等式的性質:名稱不等式名稱不等式對稱性(充要條件)傳遞性可加性(充要條件)同向不等式可加性:異向不等式可減性:可乘性同向正數(shù)不等式可乘性:異向正數(shù)不等式可除性:乘方法則開方法則倒數(shù)法則常用結論(充要條件)注:表中是等價關系的是解、證明不等式的依據(jù),其它的僅僅是證明不等式的依據(jù).典例:1)對于實數(shù)中,給出下列命題:; ;.其中正確的命題是 . 2)已知,則的取值范圍是;3)已知,且則的取值范圍是.2、不等式大小比較的常用方法:(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果;(2)作商(常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);(3)分析法;(

2、4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數(shù)的單調性;(7)尋找中間量或放縮法;(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.典例:1)設,比較的大小答案:當時, (在時取“=”);當時,(在時取“=”);2)已知,試比較的大小.( 答:)3)設,試比較的大小(答:);4)比較1+與的大小.答:當或時,1+;當時,1+;當時,1+5)若,且,比較的大小.(答:) 3.利用重要不等式求函數(shù)最值:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”.典例:1)下列命題中正確的是( B )A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最小值是2 D.的最小值是; 2)若,則的最小值是;3)已知,且,

3、則的最小值為18;變式:已知,則的最小值為 18 ;:已知,且,則的最大值為 1 ;:已知,且,則的最小值為 9 ;4.常用不等式有:(1)當時取=號)(2)當時取=號)上式從左至右的結構特征為:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“積兩倍”.(3)真分數(shù)性質定理:若,則(糖水的濃度問題).典例:若,滿足,則的取值范圍是.5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法.比較法的步驟是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小,然后作出結論.)常用的放縮技巧有:(右邊當時成立) 典例:1)已知,求證: ;2)已知,求證:;3)已知,且,求證:;4)若是不全相等的正

4、數(shù),求證:;5)若,求證:;6)求證:.6.常系數(shù)一元二次不等式的解法:判別式圖象法步驟:(1)化一般形式:,其中;(2)求根的情況:;(3)由圖寫解集:考慮圖象得解.典例:解不等式.(答:)注:解一元二次不等式的過程實際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉換過程,從中我們不難看出“三個二次”關系是核心,即一元二次不等式解集定值端點(非正負無窮大)是對應一元二次方程(函數(shù))的根(零點).典例:若關于的不等式的解集為,解關于的不等式.(答:)7.簡單的一元高次不等式的解法:標根法:其步驟是:(1)分解成若干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正;(2)將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上,從

5、最大根右上方依次通過每一點畫曲線(奇穿偶回);(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集.典例:1)解不等式.(答:或);2)不等式的解集是;3)設函數(shù)、的定義域都是,且的解集為,的解集為,則不等式的解集為;4)要使?jié)M足關于的不等式(解集非空)的每一個的值至少滿足不等式和中的一個,則實數(shù)的取值范圍是.8.分式不等式的解法:分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正,最后用標根法求解.解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母.典例:1)解不等式(答:);2)關于的不等式的解集為,則關于的不等式的解集為.

6、注:和一元二次不等式一樣,不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值.9.絕對值不等式的解法:(了解)(1)分域討論法(最后結果應取各段的并集)典例:解不等式;(答:);(3)利用絕對值的定義;(3)數(shù)形結合;典例:解不等式;(答:)(4)兩邊平方典例:若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍為10、含參不等式的解法:通法是“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎,分類討論是關鍵”注意:解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是”.按參數(shù)討論,最后應按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應求并集. 典例:1)若,則的取值范圍是;2)解不等式.(答:時,;時,或;時,或)含參

7、數(shù)的一元二次不等式的解法:三級討論法.一般地,設關于的含參數(shù)的一元二次形式的不等式為:.(1)第一級討論:討論二次項系數(shù)是否為零;(2)第二級討論:若時,先觀察其左邊能否因式分解,否則討論的符號;(3)第三級討論:若時,先觀察兩根大小是否確定,否則討論兩根的大小.注意:每一級的討論中,都有三種情況可能出現(xiàn),即“>”,“=”,“<”,應做到不重不漏.典例:1)解關于的不等式.答:當時,;當時,;當時,;當時,當時,2)解關于的不等式.答:當時,;當時,當時,;當時,;當時,提醒:解不等式是求不等式的解集,最后務必有集合的形式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題:不等式恒成

8、立問題的常規(guī)處理方式？常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題,也可抓住所給不等式的結構特征,利用數(shù)形結合法.1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上典例:1)設實數(shù)滿足,當時,的取值范圍是;2)不等式對一切實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍; 3)若對滿足的所有都成立,則的取值范圍;4)若不等式對于任意正整數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是5)若不等式對恒成立,則的取值范圍2).能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.注意:若方程有解,則等價于典例:1)已知在實數(shù)集上的解集不是空集,求實數(shù)的取值范圍2)已知函數(shù)的定義域為.若,求實數(shù)的取值范圍.(答:)若方程在內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.(答:)3). 恰成立問題若不等式在區(qū)間