《復變函數》作業(yè)題

1、復變函數復習題一 判斷題1 若z0是f(z)的 m階零點，則z0是1/f(z)的 m 階極點.()2 若 lim f(z)存在且有限，則z0是函數的可去奇點.()z z03 若f(z)在單連通區(qū)域D 內解析，則對D 內任一簡單閉曲線C 都有 f(z)dz 0.()C4 若函數f(z)是單連通區(qū)域D 內的解析函數，則它在D 內有任意階導數.()5 若函數f(z)在區(qū)域D 內的解析，且在D 內某個圓內恒為常數，則在區(qū)域D 內恒等于常數.()6 若函數f(z)在z0 處解析，則它在該點的某個鄰域內可以展開為冪級數.()7 若函數f(z)在z0 可導，則f(z)在z0解析.()8 若f(z)在區(qū)域D

2、內解析，則|f(z)|也在D 內解析 .()9 若冪級數的收斂半徑大于零，則其和函數必在收斂圓內解析.()10 如z0是函數f(z)的本性奇點，則lim f(z)一定不存在.()z z011 若函數f(z)在z0 處解析，則它在該點的某個鄰域內可以展開為冪級數.()12 若 lim f (z)存在且有限，則z0是函數f(z)的可去奇點.()z z011113 存在一個在零點解析的函數f(z)使f ( 1 ) 0且 f ( 1 )1 ,n 1,2, ()n 12n 2n14 若數列 zn 收斂，則Re zn 與 Im zn 都收斂 .()15 若冪級數的收斂半徑大于0，則其和函數必在收斂圓內解析

3、.()16 若f(z)在區(qū)域D 內解析，則對D 內任一簡單閉曲線C 都有 f(z)dz 0 .()C17 如果z0是f(z)的可去奇點，則lim f (z) 一定存在且等于零.()z z018 若函數f(z)是區(qū)域D 內的解析函數，則它在D 內有任意階導數.()19 若函數 f(z) 在單連通區(qū)域D 內的每一點均可導，則它在D 內有任意階導數.()20 若函數f(z)在區(qū)域D 內解析且f '(z) 0，則 f(z)在 D 內恒為常數.()21 如果z0是f(z)的極點，則lim f (z)一定存在且等于無窮大.()z z022 如果z0 是f(z)的本性奇點，則lim f (z) 一定

4、不存在.()z z023 若 lim f (z)存在且有限，則z0是函數的可去奇點.()z z024 若 z 是函數 f(z)的可去奇點，則Resf(z) 0.()11 若 C是單位圓周，n是自然數，則1 n dz .C ( z z0 )dz2 |z z0| 1(z z0)n .13 設 f (z)2 ，則 f ( z) 的孤立奇點有.z14 冪級數nxn 的收斂半徑為n05 若 z0是f(z)的m 階零點且m>0，則z0是f'(z)的 零點 .z6 Res(en ,0) ，其中 n 為自然數.z7 公式eix cos x i sin x 稱為 .8 冪級數nxn 的和函數為.n

5、09 方程2z5 z3 3z 8 0 在單位圓內的零點個數為.110 函數 f (z)2 的冪級數展開式為.1z11 若 z0是f(z)的m 階零點且m>1，則z0是f'(z)的 零點 .212 冪級數n2zn 的收斂半徑為.n0ze13 Res( 2,1) .z114 函數 f (z) z的不解析點之集為.15 級數 2 ( 1) n zn 的收斂半徑為 .n016 cosnz在 | z | n( n 為正整數)內零點的個數為.17 函數 f (z) 6sin z3 z3(z6 6) 的零點 z 0的階數為.設 a 為函數 f (z)(z)(z)的一階極點，且(a) 0, (a

6、) 0, (a) 0，則 Re s f (z) .za18 設 a為函數 f(z)的 m 階極點，則Res f (z) .z a f (z)19 若 z a為函數 f ( z)的一個本質奇點，且在點 a的充分小的鄰域內不為零，則 z a是的 奇點 .f (z)20 設 z a 為 f (z) 的極點，則lim f (z) .za21 設 f (z) zsin z，則 z 0是f (z)的 階零點 .122 設 f(z) 2 ，則 f(z) 在 z 0的鄰域內的泰勒展式為1zz23 設 f ( z) e 2 ，則 f ( z) 在 z 0處的留數為.z24 求函數 sin(2z )的冪級數展開式

7、. zcos zdz.025 設 z a為 f(z)的可去奇點，則lim f(z)為 .za226 設 f(z) z2 (ez1)，則 z 0是 f(z)的 階零點 .127 設 f(z) 1 z2 ，則 f(z) 在 z 0的鄰域內的泰勒展式為1i z28 zez dz .1129 設 f (z) z sin ，則 f (z) 在 z 0處的留數為.z1 設 f(z) (z 1)(z 2)，求 f(z)在 D z:0 | z| 1內的羅朗展式.30 求 f(z) (z 1)(z 2) 在 2 |z| 內的羅朗展式.z 11dze sin zdz31 求 |z| 12 i |z| 3(z 1)

8、(z 4) .5 求函數z 在 1 | z| 2內的羅朗展式.(z 1)(z 2)1|z| 1 coszdz.ize7 求 Res( 2 ,i).1zz e8 設 f (z)2 ，求 Res( f (z), ).z119 求函數ez在 0 |z| 內的羅朗展式.sin z31011121314求函數sin6z 在 0 | z | 內的羅朗展式.z2zdz.|z| 2 (9z2)(z i)z e設 f(z) e2 ，求 Res( f ( z),0). z2利用留數定理計算積分：dx ,(a 1).0 a cosx32 71i).設 f(z) 371 d ，其中 C z :| z| 3，試求 f

9、'(1Cz15 求函數z 120在 2 | z | 內的羅朗展式.(z 1)(z2 2)116 利用留數定理計算積分1 2 dx.0 2 sin2 x217 利用留數定理計算積分4xx 2 2 dx .x4 10x2 9z e18 設 f (z)2 ，求 Res( f (z), i).z1izeR es (2 , i ).19 求1 z20 求下列函數的奇點，并確定其類型(對于極點要指出它們的階)21 計算下列積分1)3)5)(7)21222324251)tan2 z；19z|z| 4 (z21)4(z42)3dz72z3 2 dz|z| 2 (z2 1)3(z2 2)5z 2 dz;|z| 2 z(z 1)2;sinz|z| 2(z 2)z求Rze0szn 1.dz;2求下列冪級數的收斂半徑.n11)nzn1計算積分2x4dx.1x試求 f (z)計算積分1在zz22d0 5 3cos設 是函數f(z)的可去奇點且1ez 12)ez1.2)4)6)(8)2)n1d21 cosx2dx22 2( a 0)(222x a)2sin z2 dz|z| 4 z2 (z 1).z222 dz|z| 4 z2 (z 3)( 1)nznn!1 的鄰域內的泰勒展開式.lim f (z