函數(shù)的應(yīng)用(高一新教材A版必修第一冊(cè))

1、8函數(shù)的應(yīng)用自主預(yù)習(xí)。據(jù)新Ml匚新知初探口常見(jiàn)的幾類(lèi)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型J(x)=ax+b(af Z?為常數(shù)，aWO)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+ca, b,。為常數(shù)，aWO)分段函數(shù)模型/)=了G), xD力(x), xD2J(X)，xGD”Lt初試身手1. 一個(gè)矩形的周長(zhǎng)是40,則矩形的長(zhǎng)y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為（）A. y=20x,0x10B. y=202x0r20C. y=40x,010D. y=402;0v20答案A2. 一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間，變化的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是（）A. 一次函數(shù)模型C,分段函數(shù)模型B.二次函數(shù)

2、模型D.無(wú)法確定C 由s與，的圖象，可知，分4段，則函數(shù)模型為分段函數(shù)模型.3. 某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷(xiāo)售，能賣(mài)出50個(gè)；若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，其銷(xiāo)售 量就減少2個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè) 元.60 設(shè)漲價(jià)x元，銷(xiāo)售的利泗為y元,貝i y=（50+x-45）（50-2x）= -Zv2+40a + 250=一2。- 10）2+450,所以當(dāng)x=10,即銷(xiāo)售價(jià)為60元時(shí)，y取得最大值.合作探究。提素養(yǎng)H . Ni一次函數(shù)模型的應(yīng)用類(lèi)型1【例1】某廠(chǎng)日生產(chǎn)文具盒的總成本N元）與日產(chǎn)量M套）之間的關(guān)系為y=6x+30000.而出廠(chǎng)價(jià)格為每套12元，要使該廠(chǎng)不虧本，至

3、少日生產(chǎn)文具盒（）A. 2 000 套B. 3 000 套C. 4 000 套D. 5 000 套D 因利潤(rùn)z=12x-（6x+30 000）,所以z=&-30 000,由zNO解得x25 000,故至少日生產(chǎn)文 具盒5000套.邈建也卷1. 一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí)，本著“問(wèn)什么，設(shè)什么，列什么”這一原則.2. 一次函數(shù)的最值求解一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式以十20（或W0）,解答時(shí)，注意系數(shù)的正負(fù)，也可以 結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值.頷跟蹤訓(xùn)練L1 .如圖所示，這是某通訊公司規(guī)定的打某國(guó)際長(zhǎng)途電話(huà)所需要付的電話(huà)費(fèi)M元）與通話(huà)時(shí)間,（分 鐘）之間的函數(shù)關(guān)系圖象.根據(jù)

4、圖象填空：通話(huà)2分鐘，需要付電話(huà)費(fèi) 元；通話(huà)5分鐘，需要付電話(huà)費(fèi) 元；如果f23,則電話(huà)費(fèi)武元）與通話(huà)時(shí)間/（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為. 3.6 6 y=1223）由圖象可知，當(dāng)fW3時(shí)，電話(huà)費(fèi)都是3.6元. 由圖象可知，當(dāng)/=5時(shí)，y=6,需付電話(huà)費(fèi)6元.易知當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)(336), (5,6),待定系數(shù)求得y=12(/N3).二次函數(shù)模型的應(yīng)用峽嗎7例2 某水果批發(fā)商俏售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋(píng)果，假設(shè)每箱售價(jià)不得低于50元且不得高于 55元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷(xiāo)售，平均每天銷(xiāo)售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每 天少銷(xiāo)售3箱.(1)求平均每天的銷(xiāo)售量)，(箱)與箱售單價(jià)x(元/

5、箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)3(元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每箱蘋(píng)果的售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？思路點(diǎn)撥本題中平均每天的銷(xiāo)售量)，(箱)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元/箱)是一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系，雖然 50,55, xGN,但仍可把問(wèn)題看成一次函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題；平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)訕(元)與銷(xiāo)售單價(jià) x(元/箱)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系，可看成是一個(gè)二次函數(shù)模型的應(yīng)用題.解(1)根據(jù)題意，得)，=903(、-50),化簡(jiǎn)，得)，=一3、+240(5055,2.(2)因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)=平均每天的銷(xiāo)售量X每箱銷(xiāo)售利潤(rùn).所以 w=(a

6、- 40)(-3x+240) = -3x2+360x-9 600(50x55, xN).(3)因?yàn)?w= -3a2+360a9 600= -3(x-60)2+1 200,所以當(dāng)x60時(shí)，w隨x的增大而增大.又50WxW55, a-GN,所以當(dāng)x=55時(shí)，力有最大值，最大值為1125.所以當(dāng)每箱蘋(píng)果的售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)，且最大利泗為1125元.愚|比埃二次函數(shù)模型的解析式為g(x)=aY+A.+c(aWo).在函數(shù)建模中，它占有重要的地位.在根據(jù)實(shí)際 問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值， 從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.二次函數(shù)求最

7、值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來(lái)解答.心跟蹤訓(xùn)練2 . A, B兩城相距100 km,在兩地之間距A城x km處D地建一核電站給A, B兩城供電，為保 證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km,已知每個(gè)城市的供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電 量之積成正比，比例系數(shù)2=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.(1)把A, B兩城月供電總費(fèi)用)，(萬(wàn)元)表示成x(km)的函數(shù)，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用最小.解(1)由題意設(shè)甲城的月供電費(fèi)用為)，1,則yi=2X20.設(shè)乙城的月供電費(fèi)用為)，2,則V2=2X IOX(IOO-x)2,甲、乙兩城月供電總費(fèi)用

8、y=AX20x2+/lX10X(100-x)2.V2=0.25,/ y=5爐+1( 100 一必(1090).(2)由 y=5x2+|(100-x)2 = v-500A + 25 00015( lOOf , 50 000 一_rJ，則當(dāng)時(shí)，y最小.1 00故當(dāng)核電站建在跑4城 km時(shí)，才能使供電總費(fèi)用最小.分段函數(shù)模型的應(yīng)用、婁型3【例3】 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需 要增加投資0.25萬(wàn)元，經(jīng)預(yù)測(cè)可知，市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù) 量為/(單位：百件)時(shí)，箱售所得的收入約為51一1十萬(wàn)元).(1)若該公司的年產(chǎn)量

9、為M單位：百件)，試把該公司生產(chǎn)并俏售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)表示為年 產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大？解(1)當(dāng)05時(shí)，產(chǎn)品只能售出500件.(5%)一(0.5+0.25刈，(045),所以人工)=5),9+4.75x0.5, (05).(2)當(dāng) 05 時(shí),y)v12-0.25X5= 10.75(萬(wàn)元).故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年所得利泗最大.展件方法1 .分段函數(shù)的“段” 一定要分得合理，不重不漏.2 .分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.3 .分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.。跟蹤訓(xùn)練4 .已知A、8兩地相距150千

10、米，某人開(kāi)汽車(chē)以6。千米/時(shí)的速度從A地到8地，在8地停留 1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地.(1)把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x(千米)表示為時(shí)間小時(shí))的函數(shù)；(2)求汽車(chē)行駛5小時(shí)與A地的距離.解(1)汽車(chē)以6。千米/時(shí)的速度從4地到8地需2.5小時(shí)，這時(shí)x=60f;當(dāng)2.5f3.5時(shí)，x= 150:汽車(chē)以50千米/時(shí)的速度返回4地需3小時(shí)，這時(shí)工=15050(13.5).所求函數(shù)的解析式為(603 0WW2.5,x= 150, 2.5OW3.5, l-50r+325, 3.5W65(2)當(dāng)/ = 5 時(shí)，x=-50X5 + 325 = 75,即汽車(chē)行駛5小時(shí)離4地75千米.!課堂小績(jī)?nèi)?1

11、 .解有關(guān)函數(shù)的應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮選擇哪一種函數(shù)作為模型，然后建立其解析式.求解析式 時(shí)，一般利用待定系數(shù)法，要充分挖掘題目的隱含條件，充分利用函數(shù)圖形的直觀(guān)性.2 .數(shù)學(xué)建模的過(guò)程圖示如下：(實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)當(dāng)數(shù)學(xué)模型)一推理或演算(實(shí)際問(wèn)%的解數(shù)學(xué)模型的解當(dāng)堂達(dá)標(biāo)以基1 .思考辨析甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系如圖所示，判斷下列說(shuō)法的對(duì)錯(cuò).(1)甲比乙先出發(fā).()乙比甲跑的路程多.()甲、乙兩人的速度相同.()(4)甲先到達(dá)終點(diǎn).()答案(1)X (2)X X (42 .向高為的水瓶中注水，注滿(mǎn)為止.如果注水量V與水深/?的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那 么水瓶的形狀是()0 0

12、B SABCDB 圖反映隨著水深的增加，注水量U增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，這反映水瓶中水上升的液面越來(lái)越小.3 .某人從4地出發(fā)，開(kāi)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度經(jīng)2小時(shí)到達(dá)8地，在8地停留2小時(shí)，則 汽車(chē)離開(kāi)4地的距離)，(單位：千米)是時(shí)間單位：小時(shí))的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是.(803 04W2,答闔 V=il60, 21 000得，x,故每天至少需要賣(mài)出234張門(mén)票.課后作業(yè)函數(shù)的應(yīng)用（建議用時(shí)：60分鐘）合格基礎(chǔ)練一、選擇題1.某廠(chǎng)日產(chǎn)手套的總成本y（元）與日產(chǎn)量N雙）之間的關(guān)系為）=5x+40 000.而手套出廠(chǎng)價(jià)格為每 雙10元，要使該廠(chǎng)不虧本至少日產(chǎn)手套（）A. 2000 雙B. 4000

13、雙C. 6000 雙D. 8000 雙D 由5x+40 000W10x,得x28000,即日產(chǎn)手套至少8 000雙才不虧本.2.甲、乙、丙、丁四輛玩具賽車(chē)同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)并做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，丙車(chē)最 先到達(dá)終點(diǎn).丁車(chē)最后到達(dá)終點(diǎn).若甲、乙兩車(chē)的圖象如圖所示，則對(duì)于丙、丁兩 車(chē)的圖象所在區(qū)域，判斷正確的是（）a.丙在in區(qū)域，丁在I區(qū)域B.丙在I區(qū)城，丁在111區(qū)域 C.丙在H區(qū)域，丁在I區(qū)域 D.丙在III區(qū)域，丁在【區(qū)域A 由圖像，可得相同時(shí)間內(nèi)丙車(chē)行駛路程最遠(yuǎn)，丁車(chē)行駛路程最近，即丙在W區(qū)域，丁在1區(qū)域，故選A.3.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為：y=4x, IWxvI

14、O, Zv+10, lOWxvlOO, xN L5x, G100,其中7代表擬錄用人數(shù)代表面試人數(shù).若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為（）A. 15B. 40C. 25D. 130C 令 y=60.若4x=60,則x=1510,不合題意：若2x+10 = 60,則x=25,滿(mǎn)足題意；若 1.5x=60, x=40介、產(chǎn)亙安份-工義100%）由原來(lái)的增加到。+10）%,則r的值等于（）A. 12B. 15C. 25D. 50B 設(shè)原銷(xiāo)售價(jià)為小 原進(jìn)價(jià)為x,可以列出方程組：“100%=島gx(1 8%) .x(l 8%)X100% =10+r解這個(gè)方程組，消去m %,可得廠(chǎng)=1515.

15、一個(gè)人以6 m/s的速度去追停在交通燈前的汽車(chē)，當(dāng)他離汽車(chē)25 m時(shí)。，交通燈由紅變綠，汽 車(chē)以1 m/s2的加速度勻加速開(kāi)走，那么（）A.此人可在7 s內(nèi)追上汽車(chē)B.此人可在10 s內(nèi)追上汽車(chē)C.此人追不上汽車(chē)，其間距最少為5 mD.此人追不上汽車(chē)，其間距最少為7 mD 設(shè)汽車(chē)經(jīng)過(guò)fs行駛的路程為sm,則s=S，車(chē)與人的間距d=（s+25）6/=S 6/+25=； 。一6+7.當(dāng)，=6時(shí)，”取得最小值7.二、填空題6 .經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品的日銷(xiāo)售量（單位：件）和價(jià)格（單位：元/件）均為時(shí)間/（單位：天）的函數(shù).日 銷(xiāo)售量為/=2/+100,價(jià)格為g）=f+4,則該種商品的日銷(xiāo)售額5（單位：元

16、）與時(shí)間，的函數(shù)解析 式為5（。=.2+108+400, reN 日銷(xiāo)售額=日銷(xiāo)售量x價(jià)格，故 5=/（/漢9（/） =。+100岡/+4） = 2尸+108/ +400, WN.7 .把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的 最小值是cm2.2/3 設(shè)一個(gè)三南形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4x)cm,兩個(gè)三角形的面積和為 5=乎片+乎(4-工)2=理(X-2)2+2小22S，這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是25cm?.8.國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為：不超過(guò)800元的不納稅；超過(guò)800元而不超過(guò)4 000元的按 超出800元部分的14%納稅

17、：超過(guò)4 000元的按全稿酬的11.2%納稅.某人出版了一書(shū)共納稅42。元, 這個(gè)人的稿費(fèi)為 元.3 800 若這個(gè)人的稿費(fèi)為4 000元時(shí)，應(yīng)納稅(4 000800)XI4%=448(元).又.420V448,此人的稿費(fèi)應(yīng)在800到4 000之間，設(shè)為x, A(x-800)X 14%=420,解得x =3 800 元.三、解答題9,某校校長(zhǎng)暑假將帶領(lǐng)該校市級(jí)三好學(xué)生去北京旅游.甲旅行社說(shuō)：“如果校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張， 則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠”.乙旅行社說(shuō)：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)，全部按票價(jià)的6折(即按全票價(jià)的60% 收費(fèi))優(yōu)惠”.若全票價(jià)為240元.(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x人，甲旅行社收費(fèi)為y甲元，乙旅行社收

18、費(fèi)為丁乙元，分別寫(xiě)出兩家旅行社的收費(fèi) y甲，)，乙與學(xué)生數(shù)工之間的解析式；(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣？(3)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠？解(1)，甲=120x+240(xN+),y l = (a-+ l)X240X60% = 144(x+ 1 )(xN+).(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即當(dāng)學(xué)生數(shù)為4人時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣.(3)當(dāng)xv4時(shí)，乙旅行社更優(yōu)惠；當(dāng)入4時(shí)，甲旅行社更優(yōu)惠.10. 一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長(zhǎng)分別是40 cm與60 cm,現(xiàn)在將它剪成一個(gè)矩形， 并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角，問(wèn)怎樣剪才能使剩下的殘料最少？

19、并求出此時(shí)殘料的面積.解設(shè)直角三角形為ABC, AC=40, 8c=60,矩形為CDEF,如圖所示，設(shè)CO=x, CF=y, 則由得票=黑，即二77TL解得,.=40%,匕 D du y 60xJ記剩下的殘料面積為S,則S=1x60X40-=1r-40x+l 200=-3O)2+600(0x60), 4JJ故當(dāng) x=30 時(shí)，Smm = 600,此時(shí) y=20,所以當(dāng)x=30,)，=20時(shí)，剩下的殘料面積最小為600cmZ等級(jí)過(guò)關(guān)練1 .在股票買(mǎi)賣(mài)過(guò)程中，經(jīng)常用兩種曲線(xiàn)來(lái)描述價(jià)格變化情況：一種是即時(shí)價(jià)格曲線(xiàn))，=/(x),另 一種是平均價(jià)格曲線(xiàn))，=g。)，如f(2)=3表示股票開(kāi)始買(mǎi)賣(mài)后2小

20、時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元；g(2) = 3表 示2小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元.下面給出了四個(gè)圖象，實(shí)線(xiàn)表示)，=/W，虛線(xiàn)表示y=g(x),其中可 能正確的是()C 根據(jù)即時(shí)價(jià)格與平均價(jià)格的相互依賴(lài)關(guān)系，可知，當(dāng)即時(shí)價(jià)格升高時(shí)，對(duì)應(yīng)平均價(jià)格也升 高；反之，當(dāng)即時(shí)價(jià)格降低時(shí)，對(duì)應(yīng)平均價(jià)格也降低，故選項(xiàng)C中的圖象可能正確.2 .一個(gè)體戶(hù)有一批貨，如果月初售出可獲利100元，再將本利都存入銀行，已知銀行月息為2.4%. 如果月末售出，可獲利120元，但要付保管費(fèi)5元.這位個(gè)體戶(hù)為獲利最大，則這批貨()A.月初售出好B.月末售出好C.月初或月末售出一樣D.由成本費(fèi)的大小確定D 設(shè)這批貨物成本費(fèi)為x元，若月初售出

21、時(shí)，到月末共獲利為100+Q+100)X2.4%：若月末售出時(shí)，可獲利為1205=115(元).可得 100+(x+100)X2.4%-115 = 2.4%X(x-525).當(dāng)成本費(fèi)大于525元時(shí)，月初售出好；當(dāng)成本費(fèi)小于525元時(shí)，月末售出好；當(dāng)成本費(fèi)等于 525元時(shí)，月初或月末售出均可.3 .已知直角梯形ABC。，如圖(1)所示，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，由沿邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x, ZXAB尸的面積為/(x).如果函數(shù)y=/(x)的圖象如圖(2)所示，則A8C的面積為(2)16 由題中圖象可知8C=4, CD=5, D4 = 5,所以 48=5+/?=5 + 3 = 8.所以 Smbc=9x8X4=16.4 .如圖所示，在矩形ABC。中，已知48=13, BC