橢圓和雙曲線的類似的基本題型prt

1、橢圓和雙曲線的類似的基本題型X2222解法二：由題知橢圓9L 1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為4（引5,0），而欲求橢圓和它有相x解法二：由題知雙曲線16L 1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2/50），而欲求雙曲線與4同的焦點(diǎn)，故可設(shè)欲求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2 x 52L 1(m0)，則有:m它有相同的焦點(diǎn),2故可設(shè)欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：20 m2仝 1(m0),m941 m 10，所以所求方程為:5mmx21521104-1 m 8，所以欲求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:mx2124注：以上兩題屬于共焦點(diǎn)的同類曲線問(wèn)題，雖然用了兩種解法，但是原理都是一樣的，即利用有相同的焦點(diǎn)坐標(biāo)。但是值得體會(huì)的是橢圓和雙曲線對(duì)這類題目 的解法也有很多

2、相似之處。3、（橢圓）求過(guò)點(diǎn)A（5, 3，B（ 8罟）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（雙曲線）求過(guò)點(diǎn) A（2j7,3）, B（ 7,氐邁）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)欲求橢圓的方程為 Ax2 By21（A0, B 0），則依題意有解：設(shè)欲求雙曲線的方程為Ax2By21（AB 0），則依題意有25 A 64 A27 B 1箸B 1可解得 11003628 A 9 B 1 49 A 72 B 1 可解得:Ab丄25175從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2x1002y- 136從而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2x252y- 175注：以上兩題雖然是求兩個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)方程，但是我們可以發(fā)現(xiàn)，在用待定系數(shù)法對(duì)方程的假設(shè)上，兩個(gè)是一樣

3、的，只是條件有所不同，并且這兩個(gè)方程這樣寫(xiě)出并沒(méi)有規(guī)定所求曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，如果用常規(guī)解法，則要討論焦點(diǎn)在X軸上和焦點(diǎn)在 丫軸上兩種情形，而用這種設(shè)法就可以避免這類討論。這是解這類有曲線上兩點(diǎn)確定，不能判斷焦點(diǎn)所在的位置的標(biāo)準(zhǔn)方程的很簡(jiǎn)潔的方法。而且針對(duì)橢圓和雙曲線，兩者又有很多相似的地方，值得回味。2x4、（橢圓）已知橢圓 a21( a b 0) , F1, F2為焦點(diǎn)，P為橢圓上 bx2（雙曲線）已知雙曲線 a2丫2 1(a 0,b 0), F1, F2 為焦點(diǎn)，P 為雙b一一占八、5曲線上一點(diǎn),X證明:2FiF2c2c22c 2aF1P I?|F2 P|F1PF2.2.b sin2b

4、 tanFiPFiPF2F2P2|FiP|?|F2P|?cos F1PF2科FjP |?|f2 p|? 1FiP |?|f2p? 1 cos F1PF24a2 4c22b2試證:證明:S FiPF22b cot2F1PF221 cos FjPF?cos F1PF21jFi p|?|F2 p|?s in F1PF22b21 cos F-i PF2込 b2tanF1PF2F2Ocos F-i PF212 1 cos F-i PF22FiP*XFiPI |F2p|/S222c 2aF2p2 2FiP ?F2p?cos F1PF2cos F1PF2FiF1p?F2 P? 1 cos RPF24c2 4

5、a22b221 cos F1PF2cos F1PF21而 Sfw -|Fip?F2p?sin FiPF2b2sin F1PF2b2 cotF1PF21 cos F1PF2注：以上兩題的結(jié)論在今后的選擇和填空中可以直接應(yīng)用，而且在歷年的高考中都有直接應(yīng)用的題目。2x5、求橢圓921被點(diǎn)Q(2,1)平分的弦AB所在的直線方程4解：設(shè) A(xi, yi), B(X2 , y2)，則有:2Xi-2求雙曲線42X292y24YO2b2-?sin2 1 cos Fi PF22止 1被點(diǎn)Q(3,1)平分的弦AB所在的直線方程42Xi解：設(shè) A(xi, yi), B(x2，y2)，則有：4-2灶 1 C2)F

6、2F1PF24462 2X1 X29_2 2y1y204(Xi X2)(XiX2)(yi y2)(yiy)而X1 X22y1 y221代入式,得:4(X1X2)2( y1y2)yiy2XiX2而恰好是弦AB所在直線得斜率值，所以直線AB得方程為： 討2)即：8X 9y 250，而由點(diǎn)Q(2,1)在橢圓內(nèi)部可知即為所求。6(Xi2 2X1X24X2)2 2y1y2 04X1 X22y1 y222( yiy2)44而恰好是弦ABy13(X3)即：3xy802 X(3x8)248x248x641444217所以，所求直線3Xyi(XiX2)(XiX2)y2X1X2(yiy2)(yi y)所在直線得斜

7、率值，所以直線AB得方程為： 再將與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：22x 12x17080與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意，即8式為所求。注：以上兩題也可以用常規(guī)解法來(lái)做，橢圓和雙曲線的解法也類似，但是計(jì)算過(guò)程相對(duì)麻煩許多，而且道理也簡(jiǎn)單易懂，在此略去不寫(xiě)了。這種解法由于是將 點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)而不求，代入方程作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式巧妙的求出直線斜率，從而簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題。這種方法稱為“點(diǎn)差法”。但是這種方法對(duì)于橢圓只需要驗(yàn)證題目中給出的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部就可以保證所求直線為所求。而對(duì)于雙曲線，則要在求出直線方程后與雙曲線方程聯(lián)立，用判別式來(lái)判斷所求直線是否與雙曲 線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。如果有則是所求直線，若沒(méi)有

8、，則所求方程不滿足。這些驗(yàn)證是必要的，尤其是對(duì)雙曲線，因?yàn)橛袝r(shí)用這種方法得到的直線和雙曲線根 本就沒(méi)有交點(diǎn)。這里就不舉例了。2 2226（橢圓）已知橢圓專二1內(nèi)有一點(diǎn)P（1, 1），F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，橢圓上（雙曲線）已知雙曲線 X23一點(diǎn)M，使得MP2|MF2 I的值最小，求 M的坐標(biāo)1解：由題可知橢圓的離心率為丄，如右圖1：2iY1, MP 1MF2解X由題可知雙曲線的離心率為1，有一點(diǎn)Q（3,2），F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，雙曲線Y上一點(diǎn)M，使得的值最小，求M的坐標(biāo)如右圖1:有:怦|MN1才 |MN| 2|MF圖1lY有:MF2|2|MN|MNmf2所以：|MP| 2|MF|MP|MN|，故最小值所以：|MP| 1MF2|MP|MN|，故最小值F1是當(dāng)M,P,N三點(diǎn)共線（見(jiàn)圖2）,并且當(dāng)點(diǎn)M在P,N之F1CPF是當(dāng) M , PXN三點(diǎn)共（見(jiàn)圖2），并且當(dāng)點(diǎn)M在P,N之 M時(shí)取得。此時(shí)點(diǎn) M的縱坐標(biāo)和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相同間時(shí)取得。此時(shí)點(diǎn) M的縱坐標(biāo)和點(diǎn) P的縱坐標(biāo)相2為2，將y 2代入雙曲線方程可得：x同為1，將y1代入橢圓方程可得:，舍去負(fù)值,3得點(diǎn)M坐標(biāo)為（池，1）即為所求。3舍去負(fù)值,得點(diǎn)M坐標(biāo)為（M21,?）即為所求。3FiPNF2PNF2圖2圖