傅里葉變換拉普拉斯變換的物理解釋及區(qū)別

1、傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處 理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)） 或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個(gè)連續(xù)的信號(hào)可以看作是一個(gè)個(gè)小信號(hào)的疊加，從時(shí)域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號(hào)，將信號(hào)這么分解后有助于處理。我們?cè)瓉韺?duì)一個(gè)信號(hào)其實(shí)

2、是從時(shí)間的角度去理解的，不知不覺中，其實(shí)是按照時(shí)間把信號(hào)進(jìn)行分割，每一部分只是一個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)信號(hào)值，一個(gè)信號(hào)是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個(gè)疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個(gè)小信號(hào)是一個(gè)時(shí)間域上覆蓋整個(gè)區(qū)間的信號(hào)，但他確有固定的周期，或者說， 給了一個(gè)周期，我們就能畫出一個(gè)整個(gè)區(qū)間上的分信號(hào)，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對(duì)應(yīng)的曲線，就像給出時(shí)域上每一點(diǎn)的信號(hào)值一樣，不過如果信號(hào)是周期的話，頻域的更簡(jiǎn)單，只需要幾個(gè)甚至一個(gè)就可以了，時(shí)域則需要整個(gè)時(shí)間軸上每一點(diǎn)都映射出一個(gè)函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表示形式映射到一個(gè)頻域表示形式；逆

3、傅里葉變換恰好相反。這都是一個(gè)信號(hào)的不同表示形式。它的公式會(huì)用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個(gè)方面。幅度是表示這個(gè)頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義頻域的相位與時(shí)域的相位有關(guān)系嗎信號(hào)前一段的相位（頻域） 與后一段的相位的變化是否與信號(hào)的頻率成正比關(guān)系。傅里葉變換就是把一個(gè)信號(hào)，分解成無數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號(hào)。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號(hào)。想一想這個(gè)問題：給你很多正弦信號(hào)，你怎樣才能合成你需要的信號(hào)呢答案 是要兩個(gè)條件，一個(gè)是每個(gè)正弦波的幅度，另一個(gè)就是每個(gè)正弦波之間的相位差。 所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了

4、吧，頻域上的相位，就是每個(gè)正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號(hào)的頻率域分析，一般我們把電信號(hào)描述成時(shí)間域的數(shù)學(xué) 模型，而數(shù)字信號(hào)處理對(duì)信號(hào)的頻率特性更感興趣， 而通過傅立葉變換很容易得 到信號(hào)的頻率域特性。傅里葉變換簡(jiǎn)單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號(hào)考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號(hào)組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基 本正弦（余弦）信號(hào)中振幅較大（能量較高）信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無 章的信號(hào)中的主要振動(dòng)頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時(shí)，通過傅里葉變換做頻譜分析， 根據(jù)各級(jí)齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對(duì)比，可以快速判斷哪級(jí)齒輪損 傷。拉普拉斯變換，是工程數(shù)學(xué)中常用的一

5、種 積分變換。它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立 的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變 換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中 的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容 易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的 分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè) 主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來描述 系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)

6、圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、 根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能 性。拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上 ， 轉(zhuǎn)換 為 復(fù)頻域( s 域 )上來表示；在 線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用?；氐秸}，傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個(gè)最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時(shí)域內(nèi)絕對(duì)可積的信號(hào)才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數(shù)信號(hào)exp(-x)是衰減最快

7、的信號(hào)之一，對(duì)信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后，很容易滿足絕對(duì)可積的條件。因此將原始信號(hào)乘上指數(shù)信號(hào)之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，在18 世紀(jì)計(jì)算機(jī)還遠(yuǎn)未發(fā)明的時(shí)候， 意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數(shù)信號(hào)為exp(0)o也即是說拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，是一種更普遍的表達(dá)形式。在進(jìn)行信號(hào)與系統(tǒng)的分析過程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結(jié)果，然后再得到傅里葉變換這種特殊的結(jié)果。 這種由普遍到特殊的解決辦法，已經(jīng)證明在連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的分析中能夠帶來很大的方便2 傅氏變換與拉

8、氏變換的比較研究傅立葉變換與拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)、物理以及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用。由(一)可知兩種變換的性質(zhì)有很多相似之處，故兩者在求解問題時(shí)也會(huì)有許多類似。另外，由于傅氏變換的積分區(qū)間為, ，拉氏變換的積分區(qū)間為 0,， 兩者又會(huì)在不同的領(lǐng)域中有著各自的應(yīng)用。下面我們通過一些具體的例子對(duì)兩種變換的應(yīng)用做一些比較研究。兩種積分變換在求解廣義積分中的應(yīng)用傅氏變換與拉氏變換都可以用來求解一些用普通方法難以求解的廣義積分，下面舉例說明：1例1求函數(shù)f (t) 0t 1 ,、一，解：由(1-1)式有f(t)f ( )e S d ei%3 11f( )ei3d e%3121120i co i

9、coe e i”e d wi wsin % 一(cos 3t + isin wt)d wwsin 3cos3td wwsin 3cos wt , 一，、d w , (t1) w當(dāng)t1時(shí)，傅里葉積分收斂于f( 1 0)f(0) 1,根據(jù)以上的結(jié)果可以寫22成sin 3cos 3t d w =f(t),1,2t 1t= 1的傅里葉積分表達(dá)式。 其它sin wcoswt , d w萬，t 17,"10,t1兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應(yīng)用例1求解積分方程g(t) h(t) f( )g(t )d其中h(t), f (t)都是已知的函數(shù)，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里葉變換都存在

10、。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，故首先應(yīng)考慮用傅里葉積分變 換法求解。積分項(xiàng)內(nèi)是函數(shù)f(t)與g(t)的卷積，對(duì)方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性質(zhì)便可以很方便的求解該問題。解：設(shè) Fg(t) G(w),Ff(t) F(,Fh(t) Hg)由卷積定義可知f( )g(t )d f(t) g(t)。因此對(duì)原積分方程兩邊取傅里葉變換，可得G(«) H( F ( G( «)因此有G(co)HQ)1 F(由傅里葉逆變換求得原積分方程的解為g(t)G(gei% 3H( i 心e d w1 F(3總結(jié)本文以上內(nèi)容舉例分析了傅里葉變換與拉普拉斯變換在解決問題中的應(yīng)用， 兩種變換存在許多相似的

11、地方，也存在一些不同的地方。從()中我們可以看出， 用傅里葉變換在求解問題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在(，)內(nèi)滿足絕對(duì)可積(|f(t) )這個(gè)條件。該條件的限制是非常強(qiáng)的，以致于常見的函數(shù)，如 常數(shù)、多項(xiàng)式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個(gè)條件。我們按如下方式對(duì)傅氏變 換進(jìn)行改造：對(duì)于任何函數(shù) f(t),我們假定在t 0時(shí)f(t) 0 ,聯(lián)想到指數(shù)衰減函數(shù)e t (B 0)所具有的特點(diǎn)，那么，只要 B足夠的大，函數(shù)f(t)e ,的傅氏變換就有可能存在，即i cotFf (t)e 3f(t)e % dt ° f(t)e (陽(yáng) dt根據(jù)傅氏逆變換得到a 1f(t)e 3 Ff(t)ee dco

12、記s 0 ioF(s) Ff(t)e '并注意到ds id于是便可得到F(s) 0 f(t)e stdt1 B i st f(t)F(s)eds2 i B i以上兩式便是()中的拉普拉斯變換及其逆變換。由此可以看出，拉氏變換可以看成是一種特殊的傅里葉變換7 0傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，如文中所述，都能夠在解決廣義積 分、微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問題中得到應(yīng)用。但是兩者之間也 存在著差異。從另一個(gè)角度講，傅氏變換與拉氏變換相對(duì)于兩種不同的積分變換20 0所謂 積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(x),乘上一個(gè)確定的二元函數(shù)K(x,p), 然后計(jì)算積分，即bF(p)

13、 f (x)K(x, p)dx a這樣，便變成了另一個(gè)函數(shù)類 B中的函數(shù)F(p),其中的積分域是確定的。F(p)稱為f (x)的像函數(shù)，f (x)稱為F(p)的像原函數(shù)；K(x, p)是p和x的已知函數(shù)，稱為積分變換的核，K(x,p)的不同形式?jīng)Q定著變換的不同名稱。下面我們列表 說明兩者的不同：積分變換名稱積分域積分核定義公式逆父換公式傅里 葉變 換(,)i t eFf (t)e i tdtf2F( )eitd拉普變換0,)st eF(s)0 f (t)estdt1 f(t) 2 iB isti F(s)e ds p 1兩者之間的差異首先表現(xiàn)在積分域上， 積分域的不同限制了拉氏變換在某些 問題中的應(yīng)用，在處理問題時(shí)首先應(yīng)考慮到這一點(diǎn)。兩者之間的差異在信號(hào)處理 中的表現(xiàn)得尤為顯著：傅里葉變換將時(shí)域函數(shù)f(t)變換