古希臘的幾何學(xué).

1、古希臘的幾何學(xué)：幾何學(xué)源於埃及（測(cè)量農(nóng)田）卻在希臘發(fā)揚(yáng)光大畢達(dá)哥拉斯時(shí)代（Pythagoras）610 - 500 B.C.fl柏拉圖時(shí)代（PIato）399 - 300 B.C.亞歷山大時(shí)代（Alexandria）329 220 B.C【包含：歐基里德（Euclid ）、阿基米德Archimedes） ,etc】畢達(dá)哥拉斯定理：（中國(guó)人知此定理約與畢氏同時(shí)在 540 B.C.東周）（在畢氏定理之前，埃及、巴比倫和中國(guó)，已懂得利用特殊三角形來(lái)切割方型石塊，從事築廟、建 城陵）、畢達(dá)哥拉斯時(shí)代（Pythagoras） 610 - 500 B.C :在畢氏之後的百年間是所謂古希臘數(shù)學(xué)的黃金年 代（

2、499 400 B.C.）主要結(jié)果：1 .平面幾何學(xué)基礎(chǔ)的建立：etc。平行理論三角形的內(nèi)角和，多邊形的面積，比例問(wèn)題，圓內(nèi)角與弧長(zhǎng)，2 .數(shù)論的發(fā)展：奇偶觀念，數(shù)的比例 etc。3 .圓面積的探討：首創(chuàng)兩圓面積比為其對(duì)應(yīng)直徑平方比（在此並不知圓面積公式，更不知n為何物）4 .立體幾何學(xué)的興起：建立了透視畫(huà)的理論正多面體有5種（射影幾何） 在當(dāng)時(shí)已知有4種正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體（利用代數(shù)的方法可證明只有此 5種）-II 3|2正多面體共有五個(gè)，均由古希臘人發(fā)現(xiàn)：名稱構(gòu)成面面邊幾何數(shù)據(jù)所屬點(diǎn)群正四面體等邊三角形表面積：倆晶匕1-732護(hù)體積：厲口A咅疋面角角度:Qircos

3、Td群立方體（正六面體）正八面體正十二面體外接球半徑:內(nèi)接球半徑：0.204a12對(duì)偶多面體：正四面體體積： 二面角角度:正方形等邊三角形正五邊形1212123020外接球半徑:內(nèi)接球半徑:90T乎位丸0-866.對(duì)偶多面體：正八面體表面積：2血&= 3.464Z2-體積：0.471a面角角度:A 10923'外接球半徑:內(nèi)接球半徑:nr COOS凈 P 0.40S.對(duì)偶多面體：立方體表面積：3/25 + 10£q2A 7.663g"體積:|(15+怎 20.65a二面角角度:arcccs外接球半徑:Oh群Oh群Ih群15正二十面體等邊三角形203012弋

4、1.401a內(nèi)接球半徑:/50 + 225比 L114對(duì)偶多面體：正二十面體表面積：8.66(fe-體積：善(3 + 仁 2A&2a丄已面角角度:MCCOS外接球半徑:a4Ih群0.951a內(nèi)接球半徑:弋 0.756G對(duì)偶多面體:正十二面體用途 因?yàn)檎嗝骟w的形狀的骰子會(huì)較公平，所以正多面體骰子經(jīng)常出現(xiàn)於角色扮演遊戲 正四面體、立方體和正八面體，亦會(huì)自然出現(xiàn)於結(jié)晶體的結(jié)構(gòu)。正多面體經(jīng)過(guò)削角操作可以得到其他對(duì)稱性類似的結(jié)構(gòu)，比如著名的球狀分子碳六十空間結(jié)構(gòu)就是正十 二面體經(jīng)過(guò)削角操作得到的，因此可以知道，碳六十分子所屬的對(duì)稱性群也是與正十二面體相同的Jh群C60的球棍模型C540的球棍模

5、型由於正多面體和由正多面體衍生的削角正多面體大多有很好的空間堆積性質(zhì)，即可以在空間中緊密堆 積，因此常常選擇正多面體形或者削角正多面體形的盒子作為分子模擬計(jì)算的周期邊界條件除了上面提到的正扁面體，還有一種由正三角形構(gòu)成的三面形構(gòu)成五角十是面體不是角拉圖體體它黃 屬的對(duì)稱性群也不是正十二面體的Ih群而是與立方體相同的 Oh群。象徵意義 柏拉圖視四個(gè)元素為原子，其形狀如正多面體中的其中四個(gè)。?火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體。?空氣是用正八面體製的，可以粗略感受到，它極細(xì)小的結(jié)合體十分順滑。?當(dāng)水放到人的手上，它會(huì)自然流出，那它就應(yīng)該是由很多小球所組成，好像正二十面體。 ? 一般來(lái)說(shuō)，

6、一個(gè)非常不像球體的立體一一立方體，往往會(huì)表示地球 剩下沒(méi)有用的正多面體一一正十二面體，柏拉圖以不清晰的語(yǔ)調(diào)寫(xiě)：神使用正十二面體以整理整個(gè)天 空旳星座。（提瑪友斯55）柏拉圖的學(xué)生亞里士多德添加了第五個(gè)元素 aith er （希臘文:'A 0 ? P 拉丁文:aether、中文:以太），並認(rèn)為天空是用此組成，但他沒(méi)有將以太和正十二面體連繫。約翰內(nèi)斯開(kāi)普勒依隨文藝復(fù)興建立數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)，將五個(gè)正多面體對(duì)應(yīng)五個(gè)行星一一水星、金星、 火星、木星和土星，同時(shí)它們本身亦對(duì)應(yīng)了五個(gè)經(jīng)典元素。5 .無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)巴比倫人：x2=2沒(méi)有有理數(shù)解，卻有線段解。有理數(shù)解（包含整數(shù)、負(fù)數(shù)、 分?jǐn)?shù)）古希臘三

7、大幾何作圖問(wèn)題在數(shù)學(xué)的歷史上有三個(gè)問(wèn)題始終以可驚的力量堅(jiān)定了兩千多年。初等幾何學(xué)到現(xiàn)在至少已有了三千 年的歷史，在這期間努力於初等幾何學(xué)之發(fā)展的學(xué)者們?cè)?jīng)遇到過(guò)很多的難題，而始終絞著學(xué)者腦汁的 卻就是這三個(gè)問(wèn)題：立方倍積，化圓為方和三等分角，而這三個(gè)問(wèn)題，也就被合稱為古希臘三大幾何問(wèn)題。（1）立方倍積問(wèn)題：求作一個(gè)正立方體，使其體積為邊長(zhǎng)為1的正立方體的2倍。（2）方圓問(wèn)題：求作一個(gè)正方形，使其面積和半徑為1的圓面積相等。（3）三等分角問(wèn)題：三等分任意已知角。有關(guān)立方倍積問(wèn)題：關(guān)於立方倍積的問(wèn)題有一個(gè)神話流傳：當(dāng)年希臘提洛斯（Delos）島上瘟疫流行，居民恐懼也向島上的守護(hù)神阿波羅（Apoli

8、o ）祈禱，神廟裡的預(yù)言修女告訴他們神的指示：“把神殿前的正立方 形祭壇加到二倍，瘟疫就可以停止?！庇纱丝梢?jiàn)這神是很喜歡數(shù)學(xué)的。居民得到了這個(gè)指示後非常 高興，立刻動(dòng)工做了一個(gè)新祭壇，使每一稜的長(zhǎng)度都是舊祭壇稜長(zhǎng)的二倍，但是瘟疫不但沒(méi)停止， 反而更形猖獗，使他們都又驚奇又懼怕。結(jié)果被一個(gè)學(xué)者指出了錯(cuò)誤：稜二倍起來(lái)體積就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。大 家都覺(jué)得這個(gè)說(shuō)法很對(duì)，於是改在神前並擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個(gè)祭壇，可是瘟疫仍不見(jiàn) 消滅。人們困擾地再去問(wèn)神，這次神回答說(shuō)：你們所做的祭壇體積確是原來(lái)的二倍，但形狀卻並不 是正方體了，我所希望的是體積二倍，而形狀仍是正方體。居民們恍然大

9、悟，就去找當(dāng)時(shí)大學(xué)者 柏拉圖請(qǐng)教。由柏拉圖和他的弟子們熱心研究，但不曾得到解決，並且耗費(fèi)了後代許多數(shù)學(xué)家們的腦汁。而 由於這一個(gè)傳說(shuō)，立方倍積問(wèn)題也就被稱為提洛斯問(wèn)題。X體積=而此問(wèn)題即是解2=X3的代數(shù)問(wèn)題。那請(qǐng)問(wèn)X=21/3的長(zhǎng)度是否可以用圓規(guī)直尺所畫(huà)出呢?說(shuō)明：設(shè)原立方體的邊長(zhǎng)為1,要作出的立方體邊長(zhǎng)為x，則x要滿足，這個(gè)方程式?jīng)]有有理根，當(dāng)然就沒(méi)有尺規(guī)作圖的x了。有關(guān)化圓為方問(wèn)題：方圓的問(wèn)題與提洛斯問(wèn)題是同時(shí)代的，由希臘人開(kāi)始研究。有名的阿基米得把這問(wèn)題化成下述的形 式：已知一圓的半徑是r，圓周就是2n r，面積是nr2。由此若能作一個(gè)直角三角形，其夾直角的兩 邊長(zhǎng)分別為已知圓的周長(zhǎng)2

10、nr及半徑r，則這三角形的面積就是1 2-X (2 n r)心nr 2與已知圓的面積相等。由這個(gè)直角三角形不難作出同面積的正方形來(lái)。但是如何作2這直角三角形的邊nr長(zhǎng)度。即如何作一線段使其長(zhǎng)等於一已知圓的周長(zhǎng)，這問(wèn)題阿基米德可就解不出 了。G=n r2有關(guān)三等分角問(wèn)題：西元前五、六百年間希臘的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)想到了二等分任意角的方法，二等分一個(gè)已知角既是這麼容易，很自然地會(huì)把問(wèn)題略變一下：三等分怎麼樣呢？這樣，這一個(gè)問(wèn)題就這麼非常自然地出現(xiàn)了。對(duì)於特別角45°、900、1350、1800等角可以三等分， 但是任意的角並不可以三等分,接著我們來(lái)看看如何將900角三等分。將90°

11、角三等分。某一角/ A= 900?！竟?fàn)例】【已知】【求作】 【作法】?jī)芍本€將/ A三等分。步驟一：以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑化弧，交角的兩邊於C兩點(diǎn)。BACE兩點(diǎn)。步驟二：分別以B、C為圓心，AB為半徑化弧，交BC於步驟三：連接AD、AE，則AD、AE將/A三等分。作圖不注:1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家凡齊爾（1814-1848）首次運(yùn)用了代數(shù)的方法嚴(yán)格證明了這個(gè)問(wèn)題是尺規(guī) 可能的，至此這個(gè)才算獲得解決。但由於對(duì)他的研究，使人們發(fā)現(xiàn)了一些特殊的曲線，如圓錐曲線、蚌 線、蔓葉線等，促進(jìn)了圓錐曲線理論的建立和發(fā)展。人們還發(fā)現(xiàn)，只要不受尺規(guī)作圖工具的約束，倍立 方體的問(wèn)題是可以解決的。二、399330 B.C

12、. Plato （柏拉圖）時(shí)代：Plato :數(shù)學(xué)並不一定是要看得到摸得著只要能夠想像得到便可。純粹數(shù)學(xué)是形而上的美妙的、有深度 的，而應(yīng)用數(shù)學(xué)是形而下的是粗糙的、膚淺的。（由於他的主張，往後兩百年到阿基米德，沒(méi)有數(shù)學(xué)家做應(yīng)用數(shù)學(xué)，也因而使純粹數(shù)學(xué)的幾何部份 有了輝煌的成就） 柏拉圖式的愛(ài)情=純精神上的愛(ài)情一脈相承：柏拉圖（427347BC）亞里斯多德（370322B.C.）蘇格拉底（400-399 B.C.）、Alexandria 時(shí)代：代表人物：Euclid（歐基里德），Archimedes（阿基米德）etc.Euclid為人誠(chéng)實(shí)，謙虛而且仁慈，是 Plato學(xué)院的高材生。Plato學(xué)院的

13、學(xué)生要學(xué)算術(shù)、幾何、天文和調(diào)和等四項(xiàng)，在此四方面Euclid都有巨著，尤其Element 一書(shū)是有史以來(lái)流傳久廣之作（影響之大只有聖經(jīng)可比）Ptolpmy （托勒密）三世，有次問(wèn)Euclid是否有比學(xué)Element更簡(jiǎn)單的捷徑可以通往幾何王國(guó)？ Euclid答：沒(méi)有王者之路可以通往幾何王國(guó)。有個(gè)人跟Euclid學(xué)幾何，學(xué)了第一個(gè)定理便問(wèn) Euclid這個(gè)定理有何用處？ Euclid馬上叫他的 傭人拿了三便士給他，要他走路，因?yàn)槠鋵W(xué)也必要有所代價(jià)。太現(xiàn)實(shí)的追求近利的人，不適合 學(xué)數(shù)學(xué)。所以基本上，Euclid仍深受Plota所影響。Euclid（歐基里德）的Elements 共有13冊(cè)：16冊(cè)講

14、的是平面幾何7 8 9冊(cè)整數(shù)論10冊(cè)不可測(cè)問(wèn)題1 1、12、13冊(cè)立體幾何（現(xiàn)行國(guó)內(nèi)初高中的幾何都取材於此書(shū)）第一冊(cè)：平面幾何（三角形全等、大角對(duì)大邊、平行線性質(zhì),etc.最後是畢氏定理。） 第二冊(cè)：包含14個(gè)定理（沒(méi)有一列入教科書(shū)中）第12定理：在鈍角三角形中餘弦定理成立。設(shè)C中，AB= C, BC= a, AC= b。過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線，垂足為 D,如果D在AC內(nèi)部，貝U BD的長(zhǎng) 度為asin C, DC的長(zhǎng)度為acosC, AD的長(zhǎng)度為b - acosC。根據(jù)勾股定理:/XXb-a os Ca an C V1 gc 、c (a sinC)" + (b a cos C)&quo

15、t;= a'sill'C + & -2flbcos.C + 'rt'" cte'C/ a'siir C + COS' C、+ b? -Jc' = " + 滬一2a6 cos O如果D在AC的延長(zhǎng)線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。第13定理：在銳角三角形中餘弦定理亦成立。(上面這兩個(gè)定理往後開(kāi)創(chuàng)了三角這塊園地)第三、四冊(cè)，主要討論圓的性質(zhì)：第三冊(cè)：包含37個(gè)定理。第四冊(cè)：討論圓的內(nèi)接和外切多邊形的圖形性質(zhì)。第五冊(cè)：討論數(shù)的比例問(wèn)題。第六冊(cè)：討論三角形、平行四邊形和其它多邊形中邊長(zhǎng)比例的問(wèn)題。 第

16、七、八、九冊(cè)：和之半)整數(shù)論的探討，如奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合成數(shù)、完成數(shù)(一數(shù)等於它所有正因數(shù)如：6t_,28 1 2 4 7 14 282輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)之最大公約數(shù)。.求許多數(shù)之最小公倍數(shù)。質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè)。我們數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)lemmai :every integer n>1 is either a prime or a product of primes pf of lemma :利用數(shù)學(xué)歸納法n=2 O.K.assume 對(duì)任何正整數(shù)k , 1<k<nk不是質(zhì)數(shù)就是質(zhì)數(shù)的乘積當(dāng)k = n若k = n 為質(zhì)數(shù) O.K.k = n不是質(zhì)數(shù)，表示有正的因

17、數(shù)d ,1<d<nsuch that n = cXd , 其中1<cvn利用(* )可知，c不是質(zhì)數(shù)即是質(zhì)數(shù)的乘積，同時(shí)d不是質(zhì)數(shù)即是質(zhì)數(shù)的乘積, 因此n = c Xd為質(zhì)數(shù)的乘積。(*)【Theoren】 ：(Euclid)沒(méi)有最大質(zhì)數(shù)的存在。(i.e.質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)無(wú)限多個(gè))P.f.：若存在最大質(zhì)數(shù)Pn，則所有質(zhì)數(shù)之個(gè)數(shù)必為有限，以P 0,Pi,Pn表示所有質(zhì)數(shù)之集合。let P = P 0 Xp 4 X Xp n + 1P > P i i=0,1,2,.,n 故p不為質(zhì)數(shù)-但是，Pi不是P的因數(shù)，且P不是質(zhì)數(shù)的乘積，由lemma可知p必為質(zhì)數(shù)-(2)(1)與(2)矛盾，

18、因此不存在最大的質(zhì)數(shù)。1:任何一點(diǎn)到另一點(diǎn)必可做一直線。2:直線可以任意延長(zhǎng)。3:可以任意點(diǎn)為圓心任意長(zhǎng)為半徑作用。4:直角皆相等。費(fèi)馬螺線a第十冊(cè)：討論不可測(cè)問(wèn)題，包含115個(gè)定理，如能否利用圓規(guī)直尺作出等 第冊(cè)：討論立體幾何。第十二冊(cè)：含18個(gè)定理，利用窮盡法（與現(xiàn)在的極限不同）證明兩圓面積比即為半徑平方比，及探討 角錐、圓錐、圓柱之體積。第十三冊(cè)：討論5個(gè)正立方體。正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。以上13冊(cè)之elements,Euclid 用了五個(gè)公設(shè)，五個(gè)公理與 23個(gè)定義來(lái)公理化整個(gè)古希臘幾何。Euclid 的五個(gè)公設(shè)：公設(shè)公設(shè)公設(shè)公設(shè)* 公設(shè)5:（平行公設(shè)）過(guò)

19、線外一點(diǎn)恰有一線與已知直線平行。Archimedes（阿基米德，250B.C.）Archimedes , Newt on. Gauss合稱有史以來(lái)三大數(shù)學(xué)家。事蹟與成就：1. 流體靜力原理：檢查金冠是否為純金。2. 利用桿槓原理造了一個(gè)單人便可操作的機(jī)械順利將船行下水典禮。3. 利用桿槓原理發(fā)明了不少兵器將強(qiáng)大的羅馬軍隊(duì)擋在Syracuse（西拉克斯；西西里島上的古都市）達(dá)三年之久。（在一個(gè)酗酒節(jié)的晚上，希臘軍民飲酒狂歡之際，羅馬軍隊(duì)趁機(jī)攻城掠地，有位羅馬士兵撞見(jiàn)在地面上畫(huà)弄幾何圖形的Archimedes.要他去見(jiàn)羅馬將軍，阿基米德表示等他作完這題再說(shuō)，士兵見(jiàn)他不從，氣而殺之。）4. 他認(rèn)為很

20、多人大為驚歎贊賞的器械上成就，只是簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)的應(yīng)用而已，可見(jiàn)其對(duì)形而下之物 的評(píng)價(jià)遠(yuǎn)低於富美感的純數(shù)學(xué)，這點(diǎn)與 Plato相同。5. 球的表面積為其大圓面積的四倍。6. 發(fā)明螺線，用以證明三分角和方圓問(wèn)題。螺線: 射線oA以0為圓心，以逆時(shí)針?lè)较蜃鞫ㄋ俣刃D(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P由0出發(fā)以定速度向 的軌跡稱為螺線。Apollonius（阿波羅尼斯210B.C.）天文學(xué)之父Apollonius為Euclid的學(xué)生，本身除為數(shù)學(xué)家也是一天文學(xué)家因?qū)μ祗w有正確的看法, 其影響使得天文學(xué)能一日千里。Euclid與Apollonius 將古希臘數(shù)學(xué)加以整理，其中 Euclid 以Eelement為代表做作，Apollo

21、nius以”二次錐線”為代表作，”二次錐線”此書(shū)共8冊(cè)，含487個(gè)定理，影響十七世紀(jì)Fermat（菲瑪）代數(shù)解析幾何的興起。Heron（黑龍60 A.D.）:任一三角形面積與邊長(zhǎng)之關(guān)係。約在公元前100年左右，其實(shí)就已經(jīng)有海龍公式的出現(xiàn)，海龍公式：三角形面積二Js（s a）（s b）（s c），其中s=- （a b c），在此a、b、c分別代表三角形三邊的長(zhǎng)度。 2古希臘幾何的衰?。?19B.C.400A.D.）西漢東晉:除了此時(shí)政治的迂腐和經(jīng)濟(jì)的蕭條，比較合理的說(shuō)法。（一）代數(shù)幾何的困難：常常只用線段、面積來(lái)表達(dá)幾何的外表，無(wú)法更深入其中不承認(rèn)四次方是更高以上的數(shù)，畫(huà)地 自限。（二）著作的不可讀性：習(xí)慣用口頭證