2014年上海初三二模數(shù)學圓壓軸題分類

1、1.（2014靜安，青浦24）已知O的半徑為3,P與O相切于點A,經(jīng)過點A的直線與O、P分別交于點B、C,cosBAO=13,設P的半徑為x,線段OC的長為y.(1)求AB的長;(2)如圖,當P與O外切時,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;(3)當OCA=OPC時,求P的半徑. 解:(1)在O中,作ODAB,垂足為D,在RtOAD中,cosBAO=ADOA=13,AD=13AO=1,BD=AD=1,AB=2AD=2.(2)連接OB、PA、PC,P與O相切于點A,點P、A、O在一直線上.PC=PA,OA=OB,PCA=PAC=OAB=OBA,PCOB.ACAB=PAAO,AC=PAA

2、BAC=2x3,OD2=OA2-AD2=32-12=8,CD=AD+AC=23x+1,OC=OD2+CD2=(23x+1)2+8,y=134x2+12x+81,(定義域為x0).(3)當P與O外切時,BOA=OCA,CAO=POC,OACOCP.OAOC=OCOP,OC2=OAOP,19(4x2+12x+81)=3(3+x),x1=0(不符合題意,舍去),x2=154,這時P的半徑為154,如圖:當P與O內(nèi)切時,CAOPAC,ACPA=AOAC,23xx=323x 解得:x=274這時P的半徑為274,P的半徑為154或274.2.（2014年奉賢25）已知:如圖1,在梯形ABCD中,A=90

3、,ADBC,AD=2,AB=3,tanC=12,點P是AD延長線上一點,F為DC的中點,聯(lián)結(jié)BP,交線段DF于點G.(1)若以AB為半徑的B與以PD為半徑的P外切,求PD的長;(2)如圖2,過點F作BC的平行線交BP于點E,若設DP=x,EF=y,求y與x的函數(shù)關系式并寫出自變量x的取值范圍;聯(lián)結(jié)DE和PF,若DE=PF,求PD的長. 解:(1)在直角三角形ABP中,AD=2,AB=3,DP=x,BP=32+(2+x)2,以AB為半徑的B與以PD為半徑的P外切,BP=AB+PD,32+(2+x)2=3+x,解得:x=2,PD的長為2時,以AB為半徑的B與以PD為半徑的P外切.(2)聯(lián)結(jié)DE并延

4、長交BC于點M,F為DC的中點,EFBC,DE=EM,CM=2EF,ADBC,DEPMEB,DP=BM,過D作DHBC于點H,tanC=12,DH=3,CH=6,AD=BH=2,BC=8,DP=x,EF=y,BC=BM+CMx+2y=8,y=8-x2(0x8);ADEF,DE=PF,當DP=EF時,四邊形DEFP為平行四邊形.y=x,x=83,當DPEF時,四邊形DEFP為等腰梯形,過E作EQAP于點Q,DQ=x-y2.EQAB,BE=PE,AQ=2+x2,DQ=2+x2-2,x-y2=2+x2-2,解得:x=4,PD的長為83或4.3.（2014年虹口25）如圖,扇形OAB的半徑為4,圓心角

5、AOB=90,點C是AB上異于點A、B的一動點,過點C作CDOB于點D,作CEOA于點E,聯(lián)結(jié)DE,過O點作OFDE于點F,點M為線段OD上一動點,聯(lián)結(jié)MF,過點F作NFMF,交OA于點N.(1)當tanMOF=13時,求OMNE的值;(2)設OM=x,ON=y,當OMOD=12時,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;(3)在(2)的條件下,聯(lián)結(jié)CF,當ECF與OFN相似時,求OD的長. 解:(1)如圖1,AOB=90,CEOA,CDOB,四邊形ACDO是矩形,DE=OC=4,OFDE,OF2=DFFE,tanMOF=13,DFOF=13,即DF=13OF,OF2=13OFFE,即OFF

6、E=13,MFO+OFN=NFE+OFN=90,MFO=NFE,MOF+ODE=NEF+ODE=90,MOF=NEF,OMFENF,OMNE=OFEF=13,即OMNE=13,(2)如圖2,連接MN,設OM=x,ON=y,OMOD=12,即OD=2OM,OFD是直角三角形,OM=MD=MF=x,MON=MFN=90,MN是ONF的角平分線,MN是OF的中垂線,ON=NF,可得FON=NFO,FON+NEF=NFO+NFE,NEF=NFE,ON=NE=NF=y,DE=OC=4,在RtDOE中,OD2+OE2=DE2(2x)2+(2y)2=42,即y2=4-x2(0x2),(3)如圖3,ECFOF

7、N,OFON=ECEF,利用DOE的面積,12OEOD=12DEOFOD=2x,OE=2y,DE=4,122y2x=124OF,解得,OF=xy,OE=2y,EF=OE2-OF2=4y2-(xy)2=y4-x2,由(2)y2=4-x2,EF=y2,CE=OD=2x,xyy=2xy2,解得y=2,代入x2+y2=4,得x=2,OD=2x=22,ECFONF,ECON=EFOF,利用DOE的面積,12OEOD=12DEOF,OD=2x,OE=2y,DE=4,122y2x=124OF,解得,OF=xy,OE=2y,EF=OE2-OF2=4y2-(xy)2=y4-x2,由(2)y2=4-x2,EF=y

8、2,CE=OD=2x,2xy=y2xy,解得,y=2x,代入x2+y2=4,得x=233,OD=2x=433,綜上所述OD的長為22或433.4.（2014年黃浦25）如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=2,A=60.(1)求證:BDBC;(2)延長CB至G,使BG=BC,E是邊AB上一點,F是線段CG上一點,且EDF=60,設AE=x,CF=y.當點F在線段BC上時(點F不與點B、C重合),求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;當以AE為半徑的E與以CF為半徑的F相切時,求x的值. 解:(1)過點D作DHAB,垂足為H,在RtAHD中,AH=ADcosA=BCcosA=1,AHAD

9、=12,BCCD=12,AHAD=BCCD,即AHBC=ADCD.又C=A=60,AHDCBD,CBD=AHD=90,BDBC;(2)ADBC,ADB=DBC=90,BDH+HDA=90,A+HDA=90,BDH=A=60,EDF=60,BDH=EDF,即EDH+BDE=FDB+BDE,EDH=FDB,又EHD=CBD=90,EHDFBD,DHBD=EHBF,323=x-12-y,y=4-2x(1x2);連接EF,分三種情況:1當點F在線段BC(點F不與點B、C重合)上時,EHDFBD,DHBD=DEDF.即DHDE=BDDF.又BDH=EDF,BDHFDE,DEF=90,在RtEDH中,DE

10、=EH2+DH2=x2-2x+4,EF=DEtan60=3DE=3x2-6x+12,i)當E與F內(nèi)切時,|x-(4-2x)|=3x2-6x+12,解得,x1=9+576(舍),x2=9-576(舍);ii)當E與F外切時,x+(4-2x)=3x2-6x+12.解得x1=1(舍),x2=-2(舍);2點F與點B重合時,即x=1時,兩圓外切;3當點F在線段BG(點F不與點B重合)上時,易得CF=4-2x,且BDHFDE仍然成立,EF=3x2-6x+12,由1計算可知x=9-576時兩圓內(nèi)切.綜上所述,當x=1時,兩圓外切,當x=9-576時,兩圓內(nèi)切.6.（2014年普陀25）如圖,已知在等腰AB

11、C中,AB=AC=5,BC=6,點D為BC邊上一動點(不與點B重合),過點D作射線DE交AB于點E,BDE=A,以點D為圓心,DC的長為半徑作D.(1)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數(shù)關系式,并寫出定義域;(2)當D與邊AB相切時,求BD的長;(3)如果E是以E為圓心,AE的長為半徑的圓,那么當BD為多少長時,D與E相切？ 解:(1)如圖,B=B,BDE=A,BDEBAC,BDBA=BEBC,AB=AC=5,BC=6,BD=x,AE=y,x5=5-y6,即y=5-65x,0x6,且0y5,0x256,綜上所述,y關于x的函數(shù)關系式及其定義域為:y=5-65x(0x256);(2)如圖,假

12、設AB與D相切于點F,連接FD,則DF=DC,BFD=90,過點A作AGBC于點G,則BGA=90,在BFD和BGA中,BFD=BGA=90,B=B,BFDBGA,DFAG=BDBA,又AB=AC=5,BC=6,AGBC,BG=12BC=3,AG=AB2-BG2=52-32=4,6-BD4=BD5,解得BD=103,(3)由(1)知,BDEBAC,BDBA=DEAC,即BDDE=BAAC=1,BD=DE,如圖2,當D與E相外切時.AE+CD=DE=BD,由(1)知,BD=x,AE=y,y關于x的函數(shù)關系式是y=5-65x,5-65x+6-x=x,解得,x=5516,符合0x256,BD的長度為

13、5516.如圖3,當D與E相內(nèi)切時.CD-AE=DE=BD,由(1)知,BD=x,AE=y,y關于x的函數(shù)關系式是y=5-65x,6-x-5+65x=x,解得,x=54,符合0x256,BD的長度為54,綜上所述,BD的長度是5516或54.7.（2014年徐匯25）如圖,已知MON兩邊分別為OM、ON, sinO=35且OA=5,點D為線段OA上的動點(不與O 重合),以A為圓心、AD為半徑作A,設OD=x.(1)若A交O的邊OM于B、C兩點,BC=y,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;(2)將A沿直線OM翻折后得到A.若A與直線OA相切,求x的值;若A與以D為圓心、DO為半徑的D

14、相切,求x的值. 解:(1)作AHOM于H,如圖1,在RtOAH中,OA=5,sinAOH=AHOA=35,AH=3,AHBC,CH=BH=12BC=12y,OD=x,AD=5-x,在RtACH中,AC=5-x,AH=3,CH=12y,(12y)2=(5-x)2-32,y=2x2-10x+16(0x2);(2)作AEOA于E,如圖,A沿直線OM翻折后得到A,AH=AH=3,A的半徑為5-x,在RtOAH中,OH=OA2-AH2=4,A與直線OA相切,AE=5-x,HAO=EAA,RtOAHRtAAE,OA:AA=OH:AE,即5:6=4:(5-x),x=15;當D與A外切時,作AGOA于G,連

15、結(jié)AD,如圖3,A與以D為圓心、DO為半徑的D相切,AD=x+5-x=5,HAO=GAA,RtOAHRtAAG,AHAG=OHAG=OAAA,即3AG=4AG=56,AG=185,AG=245,DG=AG-AD=185-(5-x)=x-75,在RtAGD中,AG2+GD2=AD2,(245)2+(x-75)2=52,整理得x2-145x=0,解得x1=0(舍去),x2=145,當D與A內(nèi)切時,同理作圖求解得x=8615OA(舍去)x的值為145.8.（2014年楊浦18）如圖,扇形OAB的圓心角為2,點P為弧AB上一點,將此扇形翻折,當點O和點P重合時折痕恰巧過點B,且ABPB=65,則正切值

16、為_. 解:BE為折痕,作OCAB于C,交弧AB于D,如圖,ABPB=65,設AB=6t,PB=5t,點O和點P重合時折痕恰巧過點B,BP=BO=5t,OCAB,AC=BC=12AB=3t,AD=BD,BOD=12AOB=122=,在RtBOC中,OC=OB2-BC2=4t,tanBOC=BCOC=3t4t=34,即tan=34.故答案為34.9.(2014年楊浦25)已知AM平分BAC,AB=AC=10,cosBAM=45.點O為射線AM上的動點,以O為圓心,BO為半徑畫圓交直線AB于點E(不與點B重合).(1)如圖(1),當點O為BC與AM的交點時,求BE的長;(2)以點A為圓心,AO為半

17、徑畫圓,如果A與O相切,求AO的長;(3)試就點E在直線AB上相對于A、B兩點的位置關系加以討論,并指出相應的AO的取值范圍. 解:(1)AM平分BAC,AB=AC,AMBC,cosBAM=45,AB=10,cosB=35,BO=6,AO=8,作OHAE,O為圓心,BH=EH,在RtBOH中,BHBO=cosB,BH=635=185,BE=2BH=365.(2)A與O相切,AO為A半徑,A與O只可能相內(nèi)切,且A在O的內(nèi)部,OA=OB-OA,OB=2OA,設OA=x,則OB=2x,作BPAM,則AP=8,BP=6,OP=8-x,在RtBPO中,OP2+BP2=OB2,即(8-x)2+62=4x2

18、,3x2+16x-100=0,x=-82913,(負舍),OA=x=-8+2913.(3)過AB中點作AB的垂線交AM于點O1,可得AO1=254,過B作AB的垂線交AM于點O2,可得AO2=252,當0AO254時,點E在BA的延長線上,當254AO252時,點E在線段AB上,當AO252時,點E在AB的延長線上.10.（2014年長寧24）如圖,在直角坐標平面內(nèi),四邊形OABC是等腰梯形,其中OA=AB=BC=4,tanBCO=3.(1)求經(jīng)過O、B、C三點的二次函數(shù)解析式;(2)若點P在第四象限,且POCAOB相似,求滿足條件的所有點P的坐標;(3)在(2)的條件下,若P與以OC為直徑的

19、D相切,請直接寫出P的半徑. 解:(1)四邊形OABC是等腰梯形,其中OA=AB=BC=4,tanBCO=3,O(0,0),B(6,23),C(8,0),設經(jīng)過O、B、C三點的二次函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c,則c=036a+6b+c=2364a+8b+c=0,解得a=-36,b=433,c=0;過O、B、C三點的二次函數(shù)解析式為:y=-36x2+433x;(2)有兩種情況,如圖1,當PO=PC時,tanBCO=3,AOC=BCO=60,OAB=120,OA=AB=4,AOB=ABO=30,POCAOB,OA=AB,PO=PC,POC=PCO=30,P(4,-433),如圖2,當PC=OC時,POCAOB,OA=OB,CO=PC,OPC=COP=30,OC=PC=8,PCD=60,PD=43,CD=4,P(12,-43),(3)P的半徑是4+433或47-4;如圖,PD=433,P的半徑為4+433或4-433.如圖,作QMOP,POC=30,QM=12OQ=14OC=2,OM=23,P(12,-43),OP=83,PM=OP-OM=63,PQ=PM2+QM2=47,P的半徑為47-4或47+4,綜上,P的半徑為4+433或4-433或47-4或47+4.11.（2014閘北24）已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+4的圖像與x