高中數(shù)學 1．2 應用舉例教案2 新人教版必修5

1、課題: §1.2解三角形應用舉例第一課時教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學生的實際情況，采用“提出問題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學

2、的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力教學重點實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解教學難點根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖教學過程.課題導入1、復習舊知復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設置情境請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角

3、形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。.講授新課（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解例題講解(2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距

4、離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東6

5、0，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。解略：a km例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應用正弦定理得 AC = = BC = = 計算出AC和BC后，再在

6、ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。.課堂練習課本第14頁練習第1、2題.課時小結(jié)解斜三角形應用題的一般步驟：（1）

7、分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.課后作業(yè)課本第22頁第1、2、3題板書設計授后記課題: §1.2解三角形應用舉例第二課時授課類型：新授課教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題過程與方法：本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫

8、圖、想圖，幫助學生逐步構(gòu)建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導討論歸納，目的不在于讓學生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力教學重點結(jié)合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題教學難點能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件教學過程.課題導入提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題.講授新課范例

9、講解例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精

10、確到1 m)師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB =解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=將測量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = 177 (m)CD =BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢？生：若在ACD中求CD，可先求出AC。師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC？生：同

11、理，在ABC中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略）例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？生：在BCD中師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？生：BC邊解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC = 7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度約為1047米.課堂練習課本第17頁練習第1、2

12、、3題.課時小結(jié)利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?課后作業(yè)1、 課本第23頁練習第6、7、8題2、 為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？答案：20+(m)板書設計授后記課題: §1.2解三角形應用舉例第三課時授課類型：新授課教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過

13、綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。教學重點能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系教學難點靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題教學過程.課題導入創(chuàng)設情境提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和

14、角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。.講授新課范例講解例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)學生看圖思考并講述解題思路教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊

15、，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。生：上臺板演方位圖（上圖）教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手

16、練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為

17、AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因為sinBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解