高考數(shù)學第九章平面解析幾何第8課時雙曲線更多資料關(guān)注微博高中學習資料庫

1、第九章平面解析幾何第8課時雙 曲 線1. 若雙曲線方程為x22y21，則它的左焦點的坐標為_答案：解析： 雙曲線方程可化為x21， a21，b2. c2a2b2，c.左焦點坐標為.2. 雙曲線1的漸近線方程為_答案：y±2x解析： a2，b4，雙曲線的漸近線方程為y±2x.3. 若雙曲線y21的一個焦點為(2，0)，則它的離心率為_答案：解析：依題意得a214，a23，故e.4. (選修11P39習題2(2)改編)雙曲線的焦點在 x軸上，虛軸長為12，離心率為，則雙曲線的標準方程為_. 答案：1解析：焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為1.由題意，得解得 焦點在x軸上的雙曲線

2、方程為1.5. 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x21的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3PF14PF2，則PF1F2的面積等于_答案：24解析：由P是雙曲線上的一點和3PF14PF2可知，PF1PF22，解得PF18，PF26.又F1F22c10，所以PF1F2為直角三角形，所以PF1F2的面積S×6×824.1. 雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距2. 雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖

3、形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：x軸，y軸_對稱中心：(0，0)對稱軸：x軸，y軸_對稱中心：(0，0)頂點頂點坐標：A1(a，0)，A2(a，0)頂點坐標：A1(0，a)，A20，a漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長A1A22a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B22b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長.a，b，c的關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)3. 等軸雙曲線實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標準方程為x2y2(0)，離心率e，漸近線方程

4、為y±x題型1求雙曲線方程 例1已知雙曲線的離心率等于2，且經(jīng)過點M(2，3)，求雙曲線的標準方程解：若雙曲線方程為1(a>0，b>0)，由已知可得2，即c2a.又M(2，3)在雙曲線上，1, 4b29a2a2b2. c2a， b23a2，代入得a21，b23.雙曲線方程為x21.同理，若雙曲線方程為1，則雙曲線方程為1.已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程為y±x，若頂點到漸近線的距離為1，求雙曲線方程解：由題意知：右頂點坐標為(a，0)，其到漸近線的距離為d1，故a2.又漸近線方程為y±x，所以b，所以雙曲線方程為1.題型2求

5、雙曲線的基本量例2已知雙曲線的焦點在x軸上，兩個頂點間的距離為2，焦點到漸近線的距離為.(1) 求雙曲線的標準方程；(2) 寫出雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程解：(1) 依題意可設(shè)雙曲線的方程為1(a>0, b>0)，則2a2, 所以a1.設(shè)雙曲線的一個焦點為(c, 0), 一條漸近線的方程為bx ay 0，則焦點到漸近線的距離db，所以雙曲線的方程為x21.(2) 雙曲線的實軸長為2，虛軸長為2，焦點坐標為(， 0), (， 0)，離心率為，漸近線方程為y±x.如圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：1(a，b0)的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與

6、C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若MF2F1F2，則C的離心率是_答案：解析：設(shè)雙曲線的焦點坐標為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0) B(0，b)， F1B所在的直線為1.雙曲線漸近線為y±x，由得Q.由得P， PQ的中點坐標為.由a2b2c2得，PQ的中點坐標可化為.直線F1B的斜率為k， PQ的垂直平分線為y.令y0，得xc， M， F2M.由MF2F1F2得2c，即3a22c2， e2， e.題型3與橢圓、拋物線有關(guān)的基本量例3已知雙曲線過點(3，2)，且與橢圓4x29y236有相同的焦點(1) 求雙曲線的標準方程；(2) 求以雙曲線的右準線為

7、準線的拋物線的標準方程解：(1) 由題意，橢圓4x29y236的焦點為(±，0)，即c，設(shè)所求雙曲線的方程為1，雙曲線過點(3，2)，1, a23或a215(舍去)故所求雙曲線的方程為1.(2) 由(1)可知雙曲線的右準線為 x. 設(shè)所求拋物線的標準方程為y22px(p>0)，則p，故所求拋物線的標準方程為y2x. 雙曲線C與橢圓1有相同的焦點，直線yx為C的一條漸近線求雙曲線C的方程解：設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，由橢圓方程1，求得兩焦點為(2，0)、(2，0)，對于雙曲線C：c2.又yx為雙曲線C的一條漸近線，解得 a21，b23.雙曲線C的方程為x2

8、1.1. 已知雙曲線C：1的焦距為10，P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為_答案：1解析： 1的焦距為10， c5.又雙曲線漸近線方程為y±x，且P(2，1)在漸近線上，1，即a2b.由解得a2，b.2. 若雙曲線1的離心率e2，則m_答案：48解析：根據(jù)雙曲線方程1知a216，b2m，并在雙曲線中有a2b2c2，離心率e24m48.3. 已知雙曲線x2y21，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF2，則PF1PF2_答案：2解析：不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，因為PF1PF2，所以(2)2PFPF，又因為PF1PF22，所以(PF1PF2)24，可得2PF1

9、·PF24，則(PF1PF2)2PFPF2PF1·PF212，所以PF1PF22.4. 已知雙曲線1的右焦點為(3，0)，則該雙曲線的離心率為_答案：解析：由題意知c3，故a259，解得a2，故該雙曲線的離心率e.5. 已知雙曲線1(a0，b0)與拋物線y28x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若PF5，則雙曲線的漸近線方程為_答案：y±x解析：設(shè)點P(m，n)，依題意得，點F(2，0)，由點P在拋物線y28x上，且PF5得由此解得m3，n224.于是有由此解得a21，b23，該雙曲線的漸近線方程為y±x±x.6. 已知橢圓1(abc

10、0，a2b2c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，bc為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且PT的最小值為(ac)，則橢圓的離心率e的取值范圍是_答案：解析：因為PT(bc)，而PF2的最小值為ac，所以PT的最小值為.依題意有，(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又b0，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21，聯(lián)立，得e.1. 雙曲線1上一點P到右焦點的距離是實軸兩端點到右焦點距離的等差中項，則P點到左焦點的距離為_答案：13解析：由a4，b3

11、，得c5.設(shè)左焦點為F1，右焦點為F2，則|PF2|(acca)c5，由雙曲線的定義，得|PF1|2a|PF2|8513.2. 已知ABC外接圓半徑R，且ABC120°，BC10，邊BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊，則過點A且以B、C為焦點的雙曲線方程為_答案：1解析： sinBAC， cosBAC，AC2RsinABC2××14，sinACBsin(60°BAC)sin 60°cosBACcos60°·sinBAC××， AB2RsinACB2××6, 2a|ACAB|1468， a

12、4，又c5， b2c2a225169，所求雙曲線方程為1.3. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程(1) 與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(3，2)；(2) 與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)解：解法1：(1) 設(shè)雙曲線的方程為1，由題意，得解得a2，b24.所以雙曲線的方程為1.(2) 設(shè)雙曲線方程為1.由題意易求得c2.又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2) 2，a212，b28.故所求雙曲線的方程為1.解法2：(1) 設(shè)所求雙曲線方程為(0)，將點(3，2)代入得，所以雙曲線方程為.(2) 設(shè)雙曲線方程為1，將點(3，2)代入得k4，所以雙曲線方程為1.4. 已知雙曲線1的離心率為2，

13、焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F(xiàn)1為左焦點(1) 求雙曲線的方程；(2) 若F1AB的面積等于6，求直線l的方程解：(1) 依題意，b，2a1，c2，雙曲線的方程為：x21.(2) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)2(2，0)，直線l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k±時，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F(xiàn)1AB的面積S·2|k|·|x1x2|2|k|·12|k|·6k48k290k21k±1，所以直線l的方程為y±(x2)1. 應用雙曲線的定義需注意的問題在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”若定義