高考數(shù)學(xué)壓軸題集錦——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用三

1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)壓軸題集錦導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（三）1.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.2.已知函數(shù)（），（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，若（）是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，試問曲線在點(diǎn)處的切線能否與軸平行？請(qǐng)說明理由.3.已知函數(shù)（）（1）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且過點(diǎn)有且只有兩條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值.4.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：，5.已知函數(shù)f（x）=ax+b在點(diǎn)（e，f（e）處的切線方程為y=ax+2e（）求實(shí)數(shù)b的值；（）若存在xe，e2，滿足f（x）+e，求實(shí)數(shù)a的取值范圍6.已知函數(shù)的圖像在處的切線

2、過點(diǎn).（1）若函數(shù)，求的最大值（用表示）；（2）若，證明：.7.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8.設(shè)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值. 9.設(shè)函數(shù).（1）若對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，證明對(duì)任意的正整數(shù)，.10.已知函數(shù)（且），為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值11.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，且有兩個(gè)極值，其中，求的最小值.12.已知函數(shù)f

3、（x）=lnx+x22ax+1（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若存在x0（0，1，使得對(duì)任意的a（2，0，不等式2mea（a+1）+f（x0）a2+2a+4（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍13.已知函數(shù)f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間；（3）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍14.已知函數(shù)，（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若直線是函數(shù)圖像的切線，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若與的圖像有兩個(gè)

4、交點(diǎn)，求證：15.某工藝品廠要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號(hào)的長方形材料如圖2所示，其周長為4m，這種材料沿其對(duì)角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況如圖，ABCD（ABAD）為長方形的材料，沿AC折疊后交DC于點(diǎn)P，設(shè)ADP的面積為，折疊后重合部分ACP的面積為（）設(shè)m，用表示圖中的長度，并寫出的取值范圍；（）求面積最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長和寬？（）求面積最大時(shí)，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)材料的長和寬？16.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)f（x）=（

5、lnxk1）x（kR）（1）當(dāng)x1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值（2）若對(duì)于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，求k的取值范圍（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1x2e2k19.已知函數(shù)（）.（）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；（）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（）證明：當(dāng)時(shí)，.20.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在上的值域；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.22.已知函數(shù)在上為增函數(shù)，且.（）求函數(shù)在其定義域內(nèi)的極值；（）若在上至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案1.

6、（1）函數(shù)的定義域?yàn)?由，得.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，則時(shí)，時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng).當(dāng)，即時(shí)，又，所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn).綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.另解：函數(shù)的定義域?yàn)?由，得.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故時(shí)，函數(shù)取得最大值.因，兩圖像有交點(diǎn)得，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）要證明當(dāng)時(shí)，即證明當(dāng)時(shí)，即.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.于是，當(dāng)時(shí)，.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.于是，當(dāng)時(shí)，.顯然，不等式、中的等號(hào)不

7、能同時(shí)成立.故當(dāng)時(shí)，.2.（）(1)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，(2) 當(dāng)時(shí)， 有() 假設(shè)在處的切線能平行于軸.由假設(shè)及題意得：由-得，即由得，令，.則上式可化為， 設(shè)函數(shù)，則, 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.于是，當(dāng)時(shí)，有，即與矛盾. 所以在處的切線不能平行于軸. 3.（）由題由得（）所以因?yàn)檫^點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有兩條，令切點(diǎn)是，則切線方程為由切線過點(diǎn)，所以有整理得所以,即為所求4.（）（）顯然時(shí)有，只需證時(shí)，由于所以當(dāng)時(shí)，.綜上，5.解：（）f（x）=ax+b，x（0，1）（1，+），求導(dǎo)，f（x）=a，則函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e）處切線方程y（eex+b）=a（xe），即y=ax+e+b，由

8、函數(shù)f（x）在（e，f（e）處的切線方程為y=ax+2e，比較可得b=e，實(shí)數(shù)b的值e；（）由f（x）+e，即ax+e+e，則a在e，e2，上有解，設(shè)h（x）=，xe，e2，求導(dǎo)h（x）=，令p（x）=lnx2，x在e，e2時(shí)，p（x）=0，則函數(shù)p（x）在e，e2上單調(diào)遞減，p（x）p（e）=lne20，則h（x）0，及h（x）在區(qū)間e，e2單調(diào)遞減，h（x）h（e2）=，實(shí)數(shù)a的取值范圍，+6.（1）由，得，的方程為，又過點(diǎn)，解得.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故.（2）證明：，令，令得；令得.在上遞減，在上遞增，解得：.7.（1）當(dāng)時(shí)，從而曲線在處的切線為，即.（2）對(duì)任意的，都有成

9、立，從而對(duì)，從而在遞減，遞增，.又，則.下面證明當(dāng)時(shí)，在恒成立.，即證.令，則，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而在遞減，遞增，從而時(shí)，在恒成立.8.（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f（x）=ex-a， 若a0，則f（x）=ex-a0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-，+）上單調(diào)遞增 若a0，則當(dāng)x（-，lna）時(shí)，f（x）=ex-a0；當(dāng)x（lna，+）時(shí)，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增（2）由于a=1，令，令，在單調(diào)遞增， 且在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 由，又所以的最大值為2 9.（1）由,得的定義域?yàn)?因?yàn)?/p>

10、對(duì)x,都有，是函數(shù)的最小值，故有 解得 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增為最小值（2）又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，或在上恒成立若，則在上恒成立,即=恒成立,由此得；若,則在上恒成立,即=恒成立因在上沒有最小值，不存在實(shí)數(shù)使恒成立 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)令，則當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減又，當(dāng)時(shí)，恒有，即恒成立故當(dāng)時(shí)，有 而，取，則有· 所以結(jié)論成立 10.解：（）當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，；時(shí)，而，即（），令，得，則當(dāng)時(shí)，極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，則，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以此方程無解當(dāng)時(shí)，極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

11、且當(dāng)和時(shí)，都有，所以，即（）（*）設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，所以方程（*）有且只有一解綜上，時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)11.(1)由題意得F(x)= x2alnx. x0,=,令m（x）=x2ax+1，當(dāng)時(shí)F(x)在（0，+單調(diào)遞增；當(dāng)a1時(shí)，令，得x1=, x2=x(0,)()()+F(x)的單增區(qū)間為(0,)，()綜上所述，當(dāng)時(shí)F(x)的單增區(qū)間為（0，+）當(dāng)a1時(shí)，F(xiàn)(x)的單增區(qū)間為(0,)，() （2）h(x)= x2alnx, h/(x)=,(x>0),由題意知x1,x2是x2+2ax+1=0的兩根，x1x2=1, x1+x2=2a,x2=,2a=,=2()令H(x)

12、=2(), H/(x)=2()lnx=當(dāng)時(shí)，H/(x)<0, H(x)在上單調(diào)遞減，H(x)的最小值為H()=,即 的最小值為.12.解：（I）f（x）=lnx+x22ax+1，f'（x）=+2x2a=，令g（x）=2x22ax+1，（i）當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閤0，所以g（x）0，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)0a時(shí)，因?yàn)?，所以g（x）0，函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)a時(shí)，x在（，）時(shí)，g（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，）和（，+）時(shí)，g（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；（II）由（I）知當(dāng)a（2，0，時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1上單調(diào)

13、遞增，所以當(dāng)x（0，1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=22a，對(duì)任意的a（2，0，都存在x0（0，1，使得不等式a（2，0，2mea（a+1）+f（x0）a2+2a+4成立，等價(jià)于對(duì)任意的a（2，0，不等式2mea（a+1）a2+4a20都成立，記h（a）=2mea（a+1）a2+4a2，由h（0）0得m1，且h（2）0得me2，h'（a）=2（a+2）（mea1）=0，a=2或a=lnm，a（2，0，2（a+2）0，當(dāng)1me2時(shí)，lnm（2，0），且a（2，lnm）時(shí)，h'（a）0，a（lnm，0）時(shí)，h'（a）0，所以h（a）最小值為h（lnm）=lnm（2ln

14、m）0，所以a（2，lnm）時(shí)，h（a）0恒成立；當(dāng)m=e2時(shí)，h'（a）=2（a+2）（ea+21），因?yàn)閍（2，0，所以h'（a）0，此時(shí)單調(diào)遞增，且h（2）=0，所以a（2，0，時(shí)，h（a）0恒成立；綜上，m的取值范圍是（1，e213.解：（1）f（x）=ax+x2xlna，f（x）=axlna+2xlna，f（0）=0，f（0）=1即函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為0，圖象在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程為y=1；（3分）（2）由于f'（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna0當(dāng)a1，y=2x單調(diào)遞增，lna0，所以y=（ax1）lna單

15、調(diào)遞增，故y=2x+（ax1）lna單調(diào)遞增，2x+（ax1）lna2×0+（a01）lna=0，即f'（x）f'（0），所以x0故函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；當(dāng)0a1，y=2x單調(diào)遞增，lna0，所以y=（ax1）lna單調(diào)遞增，故y=2x+（ax1）lna單調(diào)遞增，2x+（ax1）lna2×0+（a01）lna=0，即f'（x）f'（0），所以x0故函數(shù)f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；綜上，函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間（0，+）；（8分）（3）因?yàn)榇嬖趚1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，所以當(dāng)x1，1時(shí)，|（f（x）ma

16、x（f（x）min|=（f（x）max（f（x）mine1，（12分）由（2）知，f（x）在1，0上遞減，在0，1上遞增，所以當(dāng)x1，1時(shí)，（f（x）min=f（0）=1，（f（x）max=maxf（1），f（1），而f（1）f（1）=（a+1lna）（+1+lna）=a2lna，記g（t）=t2lnt（t0），因?yàn)間（t）=1+=（1）20所以g（t）=t2lnt在t（0，+）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，所以當(dāng)t1時(shí)，g（t）0；當(dāng)0t1時(shí)，g（t）0，也就是當(dāng)a1時(shí)，f（1）f（1）；當(dāng)0a1時(shí)，f（1）f（1）（14分）當(dāng)a1時(shí)，由f（1）f（0）e1alnae1ae，當(dāng)0a1時(shí)，由f（

17、1）f（0）e1+lnae10a，綜上知，所求a的取值范圍為a（0，e，+）（16分）14.（1）解：h（x）=f（x）g（x）=，則，h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，對(duì)x0，都有，即對(duì)x0，都有，.2分，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是；.3分（2）解：設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即，亦即，令，由題意得， ，令，則，.6分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故的最小值為1；.7分（3）證明：由題意知，兩式相加得兩式相減得即，即，. 9分不妨令，記，令，則，在上單調(diào)遞增，則，則，又，即，.10分令，則時(shí)，在上單調(diào)遞增又，則，即.12分15.（）由題意，,，.1分設(shè)，則，由ADPCB

18、9;P，故PA=PC=xy，由PA2=AD2+DP2，得即：.3分（）記ADP的面積為，則.5分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)材料長為，寬為時(shí)，最大.7分（）于是令.9分關(guān)于的函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)材料長為，寬為時(shí)，最大.12分16.（1）時(shí)，所以在處的切線方程為（2）存在，即：在時(shí)有解；設(shè)，令，所以在上單調(diào)遞增，所以1°當(dāng)時(shí)，在單調(diào)增，所以，所以2°當(dāng)時(shí)，設(shè)，令，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，所以所以設(shè)，令，所以在上單調(diào)遞增，所以所以在單調(diào)遞增，所以，所以所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，不合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.（1）因?yàn)?，依題意得為方程的兩不等正實(shí)數(shù)

19、根，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）得，兩式相加得，故兩式相減可得，故所以等價(jià)于，所以所以，即，所以，因?yàn)?，令，所以即，令，則在上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以符合題意當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增故在上單調(diào)遞減，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以所以在上單調(diào)遞減，故不符合題意綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.解：（1）f（x）=（lnxk1）x（kR），x0， =lnxk，當(dāng)k0時(shí)，x1，f（x）=lnxk0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+），無單調(diào)減區(qū)間，無極值；當(dāng)k0時(shí)，令lnxk=0，

20、解得x=ek，當(dāng)1xek時(shí)，f（x）0；當(dāng)xek，f（x）0，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，ek），單調(diào)減區(qū)間是（ek，+），在區(qū)間（1，+）上的極小值為f（ek）=（kk1）ek=ek，無極大值（2）對(duì)于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，f（x）4lnx0，即問題轉(zhuǎn)化為（x4）lnx（k+1）x0對(duì)于xe，e2恒成立，即k+1對(duì)于xe，e2恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，則，t（x）在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞增，故t（x）min=t（e）=e4+4=e0，故g（x）0，g（x）在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）max=g（e2）=2，要使k+1對(duì)于xe，e2恒成立，只要k+1g（x）max，k+12，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，+）證明：（3）f（x1）=f（x2），由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ek）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ek，+）上單調(diào)遞增，且f（ek+1）=0，不妨設(shè)x1x2，則0x1ekx2ek+1，要證x1x2e2k，只要證x2，即證，f（x）在區(qū)間（ek，+）上單調(diào)遞增，f（x2）f（），又f（x1）=f（x2），即證f（x1）