2010年高三數(shù)學(xué)試題匯編 第十三章 導(dǎo)數(shù) 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第十三章 導(dǎo)數(shù)二 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【考點(diǎn)闡述】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值函數(shù)的最大值和最小值【考試要求】（3）理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【考題分類(lèi)】（一）選擇題（共2題）1.（江西卷理12）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱(chēng)軸與水面垂直）勻速地升出水面,記時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為()，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為 A BCD【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，重點(diǎn)考查的是對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力和應(yīng)用能力。最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒(méi)有變化，導(dǎo)數(shù)取

2、零，排除C；總面積一直保持增加，沒(méi)有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，選擇A。2.（山東卷文8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為（A）13萬(wàn)件 (B)11萬(wàn)件 (C) 9萬(wàn)件 (D)7萬(wàn)件【答案】C【解析】令導(dǎo)數(shù)，解得；令導(dǎo)數(shù)，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在處取極大值，也是最大值，故選C。 【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。（二）解答題（共35題）1.（安徽卷理17）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。 ()

3、求的單調(diào)區(qū)間與極值；()求證：當(dāng)且時(shí)，。2.（安徽卷文20）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！久}意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【解題指導(dǎo)】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形，利用導(dǎo)數(shù)等于0得極值點(diǎn)，通過(guò)列表的方法考查極值點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極值.【思維總結(jié)】對(duì)于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究單調(diào)性或極值，利用導(dǎo)數(shù)為0得可能的極值點(diǎn)，通過(guò)列表得每個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值點(diǎn).3.（北京卷理18）已知函數(shù)()=In(1+)-+(0)。()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，

4、(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當(dāng)時(shí)， 由于所以曲線處的切線方程為。即（II）當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，得;因此，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，；即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，.的遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得；因此，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，；即函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。4.（北京卷文18）設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個(gè)根分別為1，4。（）當(dāng)a=3且曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求的解析式；（）若在無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。5.（福建卷理20）（）已知函數(shù)，其圖象記為曲線。（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，曲

5、線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段、與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值；（）對(duì)于一般的三次函數(shù)，請(qǐng)給出類(lèi)似于（）（ii）的正確命題，并予以證明?！久}意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。【解析】（）（i）由得=，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。（ii）曲線C與其在點(diǎn)處的切線方程為得，即，解得，進(jìn)而有，用代替，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，可得和，又，所以因此有。（）記函數(shù)的圖象為曲線，類(lèi)似于（）（ii）的

6、正確命題為：若對(duì)任意不等式的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段證明如下：因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，故可將曲線的對(duì)稱(chēng)中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，因而不妨設(shè)，類(lèi)似（i）（ii）的計(jì)算可得，故。6.（福建卷文22）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)P(0,f(0)處的切線方程為.（）求實(shí)數(shù)a，b的值；（）設(shè)是上的增函數(shù). （）求實(shí)數(shù)m的最大值； （）當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線能與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.7.（廣東卷文21）已知曲線，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)（n=1,2,）.（1）試寫(xiě)出曲線在點(diǎn)處的

7、切線的方程，并求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若原點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求試點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)與為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，與是滿(mǎn)足（2）中條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，證明：8.（湖北卷理17）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。（）求k的值及f(x)的表達(dá)式。（）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，

8、并求最小值。9.（湖北卷理21）已知函數(shù)f(x)=ax+c(a0)的圖象在點(diǎn)（1,f(1)）處的切線方程為y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)x在1,上恒成立，求a的取值范圍；()證明：1+(n+1)+)(n1).10.（湖北卷文21）設(shè)函數(shù)，其中a0，曲線在點(diǎn)P（0，）處的切線方程為y=1（）確定b、c的值（）設(shè)曲線在點(diǎn)（）及（）處的切線都過(guò)點(diǎn)（0,2）證明：當(dāng)時(shí)，（）若過(guò)點(diǎn)（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。11.（湖南卷理21）數(shù)列中，a1=a，a n+1是函數(shù)的極小值點(diǎn)（）當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)； （）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在

9、，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥恳字?(1)故在（2）（3）12（湖南卷文21）已知函數(shù)其中a<0,且a-1.（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）設(shè)函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使在a,-a上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。13.（江蘇卷20）設(shè)使定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)求證：函數(shù)具有性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定，且，若|<|,求的取值范圍解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探索

10、、分析與解決問(wèn)題的綜合能力。滿(mǎn)分16分。（1）(i)時(shí)，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號(hào)相同。當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，而，對(duì)于，總有，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；（方法二）當(dāng)時(shí)，對(duì)于， 所以，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對(duì)任意的都有>0，所以對(duì)任意的都有，在上遞增。又。當(dāng)時(shí)，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二

11、）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設(shè)。當(dāng)時(shí)，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。14.（江西卷理19）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值為，求的值考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí)。 【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域?yàn)椋?，2）單調(diào)性的處理，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成。當(dāng)a=1時(shí)，令當(dāng)為增區(qū)間；當(dāng)為減函數(shù)。區(qū)間上的最值問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的

12、比較得到，確定待定量a的值。當(dāng)有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點(diǎn)取到。15.（江西卷文17）設(shè)函數(shù).（1）若的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在,求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)極值單調(diào)性等知識(shí)【解析】（1）由已知有，從而，所以；（2）由，所以不存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù).值范圍。17.（遼寧卷文21）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）設(shè)，證明：對(duì)任意，。解：() f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)

13、1a0時(shí)，令0,解得x=.當(dāng)x(0, )時(shí), 0；x(，+)時(shí)，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于4x14x2 , 即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2(0,+) ，.18.（全國(guó)卷理20）已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： .【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí),通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問(wèn)題

14、,考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力，同時(shí)也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.【解析】 （）， ,題設(shè)等價(jià)于.令，則當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，是的最大值點(diǎn)， 綜上，的取值范圍是.()有（）知，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以19.（全國(guó)卷文21）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求的極值;（II）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍解：（）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)減，在內(nèi)單調(diào)增，在時(shí)，有極小值. 所以是的極小值.20.（全國(guó)新卷理21）設(shè)函數(shù)。若，求的單調(diào)區(qū)間；若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍解：（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得.從而當(dāng)時(shí)

15、，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍為.21.（全國(guó)新卷文21）設(shè)函數(shù)（）若a=，求的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng)0時(shí)0，求a的取值范圍解：（）時(shí)，。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。故在，單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少。（）。令，則。若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x0時(shí)0，即0.若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)0，即0. 綜合得的取值范圍為22.（全國(guó)卷理22）設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類(lèi)討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【參考答案】【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對(duì)考

16、生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱。作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.23.（全國(guó)卷文21）已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍?！痉治觥勘绢}考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)與方程的知識(shí)。（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可求得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可求得減區(qū)間。（2）求

17、出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在（2，3）內(nèi)有極值，即為在（2，3）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即可根據(jù)，即可求出a的取值范圍?！窘馕觥渴綗o(wú)解，式的解為， 因此的取值范圍是.24.（山東卷理22）已知函數(shù) （）當(dāng)a時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性： （）設(shè)g(x)=x2-2bx+4.當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)任意x1（0，2），存在x2，使，求實(shí)數(shù)b的取值范圍?！窘馕觥?)原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+，因?yàn)?=，所以當(dāng)時(shí)，令得，所以此時(shí)函數(shù)在（1，+上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)函數(shù)在（0，+是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令=得，解得（舍去），此時(shí)函數(shù)在（1，+上是增函數(shù)；在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令=得，解得，此時(shí)函數(shù)在（1，上是增函

18、數(shù)；在（0，1）和+上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令=得，解得，此時(shí)函數(shù)在1）上是增函數(shù)；在（0，）和+上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由于，令=得，可解得0，此時(shí)函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)；在（1，+上是減函數(shù)。（）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)取值范圍是?！久}意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了同學(xué)們分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的

19、關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識(shí)或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。（標(biāo)準(zhǔn)答案）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)變換思想，以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決新情境、新問(wèn)題的能力。解：（）因?yàn)?，所?，令 ， 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； 當(dāng)， 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，由于， ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：（）因?yàn)閍=，由（）知，=1，=3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在

20、（0，2）上的最小值為。由于“對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，同樣與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，解不等?-4b，可得綜上，b的取值范圍是。25.（山東卷文21）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想。【解析】解：（） 當(dāng) 因此， 即 曲線 又 所以曲線（）因?yàn)?， 所以 ， 令 當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=-x+1，x（0，+），所以 當(dāng)x(0，1)時(shí)，g

21、(x)>0，此時(shí)f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，由f(x)=0，即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 當(dāng)a=1/2時(shí)，x1= x2, g(x)0恒成立，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在（0，+）上單調(diào)遞減; 當(dāng)0<a<1/2時(shí)，1/2-1>1>0x(0，1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減x(1，1/a-1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)f(x)<o,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減x(1/a-1，+)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f(x)<o，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減 當(dāng)a<0時(shí)，由于1/a

22、-1<0,x(0,1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)f,(x)<0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x（1 ，）時(shí)，g(x)<0此時(shí)函數(shù)f,(x)<0單調(diào)遞增。綜上所述：當(dāng)a 0 時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)在 (1, +) 上單調(diào)遞增當(dāng)a=1/2時(shí),函數(shù)f(x)在(0, + )上單調(diào)遞減當(dāng)0<a<1/2時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減；函數(shù) f(x)在（1,1/a -1）上單調(diào)遞增； 函數(shù)f(x)在（1/a,+ ）上單調(diào)遞減。26.（陜西卷理21）已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。若曲線y=f(x)與曲線y=

23、g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)- g(x),當(dāng)h(x)存在最小之時(shí)，求其最小值（a）的解析式；對(duì)（2）中的（a）和任意的a>0，b>0，證明： 解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e） 切線的斜率為k=f(e2)= ,切線的方程為y-e=(x- e2).當(dāng)a.>0時(shí)，令h (x)=0,解得x=,所以當(dāng)0 < x< 時(shí) h (x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當(dāng)x>時(shí)，h (x)>0，h(x)在（0，）

24、上遞增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一極致點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)。所以 （a）=h()= 2a-aln=2（2）當(dāng)a     0時(shí)，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）遞增，無(wú)最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)（3）27.（陜西卷文21）已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)- g(x

25、),當(dāng)h(x)存在最小之時(shí)，求其最小值（a）的解析式；對(duì)（2）中的（a），證明：當(dāng)a（0，+）時(shí)， （a）1.解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e） 切線的斜率為k=f(e2)= ,切線的方程為y-e=(x- e2).當(dāng)a.>0時(shí)，令h (x)=0,解得x=,所以當(dāng)0 < x< 時(shí) h (x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當(dāng)x>時(shí)，h (x)>0，h(x)在（0，）上遞增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一極致點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值

26、點(diǎn)。所以 （a）=h()= 2a-aln=2（2）當(dāng)a     0時(shí)，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）遞增，無(wú)最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a)則  1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2當(dāng) 0<a<1/2時(shí)， 1（a ）>0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上遞增當(dāng) a>1/2 時(shí)， 

27、0;1（a ）<0，所以（a ） 在 (1/2, +)上遞減。所以（a ）在(0, +)處取得極大值（1/2 ）=1因?yàn)椋╝ ）在(0, +)上有且只有一個(gè)極致點(diǎn)，所以（1/2）=1也是（a）的最大值所當(dāng)a屬于 (0, +)時(shí)，總有（a）    130.（天津卷理21）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，證明當(dāng)時(shí)，（）如果，且，證明【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力?！窘馕觥浚ǎ┙猓篺令f(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化

28、時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而(x)>0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（）可知，>,則=，所以>,從而>.因?yàn)?，所以，又由（）可知函?shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)

29、事增函數(shù)，所以>,即>2.31.（天津卷文20）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0. （）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程；（）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.【命題意圖】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法.【解析】（）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f(x)+0-f(x)極大值當(dāng)?shù)葍r(jià)于，解不等式組得-5<a<5.因此.若a>2