【數(shù)學(xué)】114《投影與直觀圖》課件（人教B版必修2）

1、1.1.4投影與直觀圖投影與直觀圖一、投影法一、投影法 物體在光線的照射下，就會在地面或物體在光線的照射下，就會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象墻壁上產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象加以科學(xué)的抽象，總結(jié)其中的規(guī)律，提加以科學(xué)的抽象，總結(jié)其中的規(guī)律，提出了投影的方法。出了投影的方法。 太陽光線可以把一個矩形的窗框投射太陽光線可以把一個矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四邊形，在影子到地板上，影子是平行四邊形，在影子中，框邊的長度以及框邊之間的夾角有中，框邊的長度以及框邊之間的夾角有所改變，但框邊的平行性沒有改變。所改變，但框邊的平行性沒有改變。 在立體幾何中，一般都在立體幾何中，一般都是根

2、據(jù)平行投影的性質(zhì)，是根據(jù)平行投影的性質(zhì)，用平面圖形來表示空間圖用平面圖形來表示空間圖形。形。二、投影法分類二、投影法分類1.中心投影法中心投影法 投影線均通過投影中心的投影法稱為投影線均通過投影中心的投影法稱為中心投影法。其投影的大小隨物體與投中心投影法。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實形。影不能反映物體的實形。2.平行投影法平行投影法 投影線相互平行投影線相互平行的投影法稱為平行投影的投影法稱為平行投影法。其中，投影線傾斜于投影面叫平行斜法。其中，投影線傾斜于投影面叫平行斜投影法；投影線垂直于投影面叫投影法；投影線垂

3、直于投影面叫平行正投平行正投影法影法簡稱簡稱正投影法正投影法 平行斜投影平行斜投影 平行正投影平行正投影 應(yīng)用正投影法，能在投影面上反映物體應(yīng)用正投影法，能在投影面上反映物體某些面的某些面的真實形狀及大小真實形狀及大小，且與物體到投，且與物體到投影面的距離無關(guān)，因而作圖方便，故在工影面的距離無關(guān)，因而作圖方便，故在工程中得到廣泛的應(yīng)用。工程圖樣就是用正程中得到廣泛的應(yīng)用。工程圖樣就是用正投影法繪制的。投影法繪制的。（1） 點的平行投影點的平行投影：已知：已知圖形圖形F，直線，直線l與平面與平面相交，相交，過過F上任一點上任一點M作直線作直線l平平行于行于l，交平面，交平面于點于點M，則，則M叫

4、做點叫做點M在平面在平面內(nèi)關(guān)于內(nèi)關(guān)于直線直線l的平行投影的平行投影.（2）圖形的平行投影圖形的平行投影：如果圖形：如果圖形F上的所上的所有點在平面有點在平面內(nèi)關(guān)于直線內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成的平行投影構(gòu)成圖形圖形F，則，則F叫做圖形叫做圖形F在在內(nèi)關(guān)于直線內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影，平面的平行投影，平面叫做投射面，叫做投射面，l叫做投叫做投射線。射線。三三. 平行投影的性質(zhì)：平行投影的性質(zhì)： 當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影都具有以下性質(zhì)：平行投影都具有以下性質(zhì)：1直線或線段的平行投影仍是直線或線段的平行投影仍是直線或線段直線或線段;2. 平行

5、直線的平行投影是平行直線的平行投影是平行或重合平行或重合的直的直線；線；3平行于投射面的線段，它的投影與這條平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；線段平行且等長；4與投射面平行的平面圖形，它的投影與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；與這個圖形全等；5在同一直線或平行直線上，兩條線段在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影長度的比等于這兩條線段長度平行投影長度的比等于這兩條線段長度的比。的比。 當投射線和投射面成當投射線和投射面成適當?shù)慕嵌冗m當?shù)慕嵌然蚋幕蚋淖儓D形變圖形相對于投射面的位置相對于投射面的位置時，一個空時，一個空間圖形在投射面上的間圖形在投射面上的平行投影平行

6、投影（平面圖（平面圖形）可以形）可以形象地表示這個空間圖形形象地表示這個空間圖形。像。像這樣用來表示空間圖形的平面圖形，叫這樣用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的做空間圖形的直觀圖直觀圖。 依據(jù)平行投影的性質(zhì)畫直觀圖的方法，依據(jù)平行投影的性質(zhì)畫直觀圖的方法，國家規(guī)定了統(tǒng)一的標準，一種較為簡單國家規(guī)定了統(tǒng)一的標準，一種較為簡單的畫圖標準是的畫圖標準是斜二側(cè)畫法斜二側(cè)畫法。xyoXYO 先觀察一個正方形，如何把它畫成先觀察一個正方形，如何把它畫成水平水平放置的直觀圖放置的直觀圖呢？我們用一個呢？我們用一個平行四邊形平行四邊形來表示它。那么這個平行四邊形有什么要來表示它。那么這個平行四邊形有什

7、么要求呢？求呢？四四. 斜二測畫法：斜二測畫法： 斜二測畫法是斜二測畫法是國家規(guī)定國家規(guī)定的統(tǒng)一的的統(tǒng)一的畫直觀畫直觀圖圖的一種方法，它的規(guī)則是：的一種方法，它的規(guī)則是： （1）在已知圖形所在的）在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互空間中取水平平面，作互相垂直的軸相垂直的軸Ox，Oy，再作，再作Oz軸，使軸，使xOz=90，且，且yOz=90.（2）畫直觀圖時，把）畫直觀圖時，把Ox、Oy、Oz畫成對畫成對應(yīng)的軸應(yīng)的軸Ox、Oy、Oz，使，使xOy=45（或（或135），），xOz=90，xOy所確所確定的平面表示水平平面定的平面表示水平平面;（3）已知圖形中，平行于）已知圖形中，平行于x軸

8、、軸、y軸或軸或z軸軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、軸、y軸或軸或z軸的線段軸的線段. 并使它們和所畫坐標軸并使它們和所畫坐標軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標軸的坐標軸的位置關(guān)系相同位置關(guān)系相同；（4）已知圖形中平行于）已知圖形中平行于x軸和軸和z軸的線段，軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，在直觀圖中保持長度不變，平行于平行于y軸軸的線的線段，長度為段，長度為原來長度的一半原來長度的一半；（5）畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐）畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖標軸，就得到了空間圖形的

9、直觀圖 所以，畫圖的關(guān)鍵是正確地畫出所以，畫圖的關(guān)鍵是正確地畫出水平放水平放置的圖形。置的圖形。例、用斜二測畫法畫水平放置的正六邊例、用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖形的直觀圖(1)在六邊形在六邊形ABCDEF中，取中，取AD所在的直線為所在的直線為x軸，對稱軸軸，對稱軸MN所在直線為所在直線為y軸，兩軸交于點軸，兩軸交于點O畫對應(yīng)的畫對應(yīng)的x，y軸，兩軸相交于點軸，兩軸相交于點O，使，使xOy=45.OxyABCDEFMNOyxxyOABCDEFMNOxyABCDEFMN 1.2OMNN 2 以為中心,在X 上取A D =AD，在y 軸上取M N =以點為中心,畫B C 平行于x 軸

10、,并且等于BC;再以M 為中心,畫E F 平行于x 軸,并且等于EF.AxyOBCDEFMNOxyABCDEFMN 3 連接A B ,C D ,E F ,F A ,并擦去輔助線x 軸和y 軸,便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A B C D E FxyOABCDEFMNABCDEFCABDEFPABCDEFABCDEF 在畫出了水平放置的正六邊形的直觀在畫出了水平放置的正六邊形的直觀圖后，按照斜二側(cè)畫法不難畫出六棱柱和圖后，按照斜二側(cè)畫法不難畫出六棱柱和六棱錐的直觀圖。六棱錐的直觀圖。:畫法按如下步驟完成ABxyOC,中在已知的正三角形第一步ABC.,軸為取對稱軸軸所在的直線為取yCO

11、xAB使軸軸、畫對應(yīng)的,yx.045yOx使./,OCCOOBBOOAAOx21軸上取在第二步CABOxy045.,的直觀圖就是正三角形形角三的所得連結(jié)第三步ABCCBACBCAABC2911圖例例2.畫水平放置的正三角形的直畫水平放置的正三角形的直觀圖。觀圖。練習(xí)題：練習(xí)題：1. 當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，關(guān)于當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，關(guān)于平行投影的性質(zhì)，下列說法中平行投影的性質(zhì)，下列說法中不正確不正確的是（的是（ ）（A）直線或線段的平行投影仍是直線或線段）直線或線段的平行投影仍是直線或線段 （B）平行直線的平行投影仍是平行的直線）平行直線的平行投影仍是平行的直線

12、（C）與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個）與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等圖形全等 （D）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投）在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比影的比等于這兩條線段的比B2. 直線的平行投影可能是（直線的平行投影可能是（ ） （A）點）點 （B）線段）線段 （C）射線）射線 （D）曲線）曲線A3. 如圖為水平放置的如圖為水平放置的OAB的直觀圖，由圖判的直觀圖，由圖判斷原三角形中斷原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的順序由小到大的順序為為 .ODBDAB=OB4. 兩條不平行的直線，其平行投影不可能兩條不平行的直線，其平行投影不可能是（是（ ）（A）兩條平行線）兩條平行線. （B）一點和一條直線）一點和一條直線 （C）兩條相交直線）兩條相交直線 （D）兩個點）兩個點D5. 一個水平放置的四邊形的斜