不等式中恒成立問題的解法專題

1、不等式中恒成立問題的解法專題在不等式的綜合題中，經(jīng)常會遇到當一個結論對于某一個字母的某一個取值范圍內所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質 對于一次函數(shù)有：例1：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。

2、二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數(shù)的最值問題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析

3、：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨放在一側，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結合法 對一些不能把數(shù)放在一側的，可以利用對應函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別

4、等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應的圖象在在區(qū)間對應圖象的上面即可。當才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨放在一側的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側，而點P(m,n)在圓上，實質相當于是在直線的右側并與它相離或相切。，故選D。 其實在習題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實，對于恒成立問題，有時關鍵是能否看得出來題就是關于恒成立問題。下面，給出一些練習題，供同學們練習。練習題：1、對任意實數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2