用放縮法證明不等式

1、用放縮法證明不等式不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力 不等式是高考數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，而用放縮法證明不等式學(xué)生更加難以掌握。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點(diǎn)難點(diǎn)。本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開(kāi)。證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)姆趴s方法。  利用三角形的三邊關(guān)系例1 &

2、#160;      已知a，b，c是ABC的三邊，求證：   證明：=為增函數(shù)，又。點(diǎn)評(píng)：學(xué)生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無(wú)法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。利用函數(shù)的單調(diào)性例2        求證：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。證明：  原不等式變形為    ， 令      則       

3、   ，所以  。即  是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，），所以  。故原不等式成立。點(diǎn)評(píng)：一開(kāi)始學(xué)生就用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調(diào)性放縮就好了。利用基本不等式例3已知f（x）=x+(x0) 求證：證明：,設(shè)   （1）    （2）（1）+（2）得                 &#

4、160;     點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明，思路簡(jiǎn)單，但是難度很大，可以通過(guò)二項(xiàng)式定理展開(kāi)，倒序法與基本不等式相結(jié)合進(jìn)行放縮。利用絕對(duì)值不等式例4設(shè)=，當(dāng)時(shí)，總有，求證：。證明：，又所以，=7。點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)與絕對(duì)值不等式綜合題，學(xué)生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（-1）的聯(lián)系，再利用絕對(duì)值內(nèi)三角形不等式適當(dāng)放縮。利用不等式和等比數(shù)列求和例5求證：。證明：=，利用不等式=。點(diǎn)評(píng)：有些學(xué)生兩次用錯(cuò)位相減進(jìn)行放縮，但是沒(méi)有找到恰當(dāng)?shù)淖冃畏趴s，對(duì)利用不等式進(jìn)行放縮不熟悉。若經(jīng)過(guò)“湊”與不等式相結(jié)合，再利用等比數(shù)列求和放

5、縮就到了。 利用錯(cuò)位相減法求和例6已知a1, a2, a3, , an, 構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Snn2, 設(shè)bn, 記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n, (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 證明：Tn<1。  解：(1) a1S11, 當(dāng)n2時(shí), anSnSn12n1; 由于n1時(shí)符合公式， an2n1 (n1).  (2) Tn, Tn,   兩式相減得Tn(1),   Tn(1)<1。 利用裂項(xiàng)法求和例7已知函數(shù)在上有定義，且滿(mǎn)足對(duì)任意的當(dāng)時(shí)，.證明不等式.證明：令，則.令，則，故在上為奇函數(shù).設(shè)，且由可得，則由題有，故

6、，即，所以為 上減函數(shù).從而函數(shù)在時(shí)，.所以，即.點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學(xué)邏輯推理能力，分析問(wèn)題能力，變形能力，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，但學(xué)生解題的過(guò)程不過(guò)完善。若用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡(jiǎn)單利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)例8已知數(shù)列滿(mǎn)足(nN*),是的前n項(xiàng)的和，并且   （1）求數(shù)列的前項(xiàng)的和；   （2）證明：（3）求證： 解： (1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列又又   所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為         

7、                      而    .（3）證明：   點(diǎn)評(píng)：這是一道很有研究?jī)r(jià)值的用放縮法證明不等式的典例?？疾榱伺c an 的關(guān)系，有些學(xué)生沒(méi)有對(duì)an中的n進(jìn)行討論，也沒(méi)有合并，雖用了二項(xiàng)式展開(kāi)，但無(wú)法構(gòu)造不等式進(jìn)行放縮。對(duì)第3小題的放縮也可裂項(xiàng)法求和進(jìn)行放縮。   （浙江寧波市鄞州區(qū)同濟(jì)中學(xué)  徐峰）用放縮法證明不等

8、式體會(huì)點(diǎn)滴黑龍江省三江一中高三（3）班)遇彬指導(dǎo)教師鄭凜然 放縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮之后得不出結(jié)論或得出相反結(jié)論的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。    例 1  已知  ,求證： 分析 由可想到二項(xiàng)式系數(shù)的和為，由可想到二項(xiàng)式定理，利用放縮法把轉(zhuǎn)化成構(gòu)造出二項(xiàng)式定理公式，從而得出結(jié)論。證明   設(shè)且。對(duì)任意，有  將上述各式疊加：例 2 求證：  分析  左式是n個(gè)因式連乘的形式，應(yīng)把各因式化為分式，通過(guò)放縮，使之能交替消項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。由于右式是，因此所放縮后的因式應(yīng)與有關(guān)。 證明     例 3      分析  左式很難求和，可將右式拆成n項(xiàng)相加的形式，然后證明右式各項(xiàng)分別大于左