利用倒數(shù)求函數(shù)單調(diào)性

1、利用倒數(shù)求函數(shù)單調(diào)性3.7 函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)單調(diào)性的概念一，我們?cè)诤瘮?shù)的基本性質(zhì)中曾經(jīng)討論過(guò)函數(shù)的單一，我們?cè)诤瘮?shù)的基本性質(zhì)中曾經(jīng)討論過(guò)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，在此我們?cè)俅位仡櫼幌潞瘮?shù)單調(diào)的定義。調(diào)性問(wèn)題，在此我們?cè)俅位仡櫼幌潞瘮?shù)單調(diào)的定義。定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（a，b）上有定義，如果）上有定義，如果對(duì)于區(qū)間（對(duì)于區(qū)間（a，b）內(nèi)的任意兩點(diǎn)）內(nèi)的任意兩點(diǎn) x1 ， x2 ，滿足，滿足（1）當(dāng)）當(dāng) x1 x2 時(shí)，恒有時(shí)，恒有 f(x1) f(x2),則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x)在開區(qū)間（在開區(qū)間（a，b）內(nèi)）內(nèi)單調(diào)增單調(diào)增； （2）當(dāng)）當(dāng) x1 f(x2),則稱函數(shù)則稱函

2、數(shù) f(x)在開區(qū)間（在開區(qū)間（a，b）內(nèi)）內(nèi)單調(diào)減單調(diào)減；利用倒數(shù)求函數(shù)單調(diào)性1.一般情況下，單調(diào)增函數(shù)的圖形是一一般情況下，單調(diào)增函數(shù)的圖形是一條沿條沿 x 軸正向逐漸上升的曲線。單調(diào)減軸正向逐漸上升的曲線。單調(diào)減函數(shù)的圖形是一條沿函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸下降軸正向逐漸下降的曲線。的曲線。2.如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的某些子區(qū)間如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的某些子區(qū)間上是單調(diào)增的，而在另一些子區(qū)間上是上是單調(diào)增的，而在另一些子區(qū)間上是單調(diào)減的，則稱函數(shù)為分段單調(diào)函數(shù)。單調(diào)減的，則稱函數(shù)為分段單調(diào)函數(shù)。利用倒數(shù)求函數(shù)單調(diào)性例例 .求 y=f(x)=X2-4X+3的增區(qū)間和減區(qū)間？方法一。此函數(shù)

3、為二次函數(shù)，畫出其圖象， 找出對(duì)稱軸，x=2,可知，當(dāng)x2時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)x0,解的x1，因此，當(dāng)x （1 ,+ ）時(shí) ，是增函數(shù)再令2x-2 0,解的x 0，所以，函數(shù)所以，函數(shù) f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。單調(diào)增加。當(dāng)當(dāng) x (1，2)時(shí)，有時(shí)，有 f (x) 0，所以，函數(shù)所以，函數(shù) f(x)在該區(qū)間內(nèi)為在該區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減少。單調(diào)減少。當(dāng)當(dāng) x （2， ）時(shí)，有）時(shí)，有 f (x) 0，所以，函數(shù)，所以，函數(shù) f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增加。單調(diào)增加。利用倒數(shù)求函數(shù)單調(diào)性利用倒數(shù)求函數(shù)單調(diào)性例例 3 證明方程證明方程 sin x = x 只有一個(gè)實(shí)根。只有一個(gè)實(shí)根。證明證明：令：令f(x)= sin x -x，則，則f (x) = cos x -1 0,且僅在點(diǎn)且僅在點(diǎn) x =2n 時(shí)，時(shí)，有有f (x)=0。從而，當(dāng)從而，當(dāng) x （- ， ）時(shí)，）時(shí)，函數(shù)函數(shù) f(x)為嚴(yán)格單調(diào)減少。又由于在為嚴(yán)格單調(diào)減少。又由于在 x - 時(shí)時(shí), f(x) + ;而在而在 x+ 時(shí)時(shí), f(x) - 。因此，函數(shù)因此，函數(shù)f(x) 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。