云南省峨山彝族自治縣2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率備考學(xué)案新人教A版必修3

1、備考學(xué)案三概率、隨機(jī)事件的概率1 事件的分類： 必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件必然事件與不可能事件合稱為確定事 件.2事件A出現(xiàn)的頻率：相同條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試 驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn=比 為事件A出n現(xiàn)的頻率.4 I3 對于給定的隨機(jī)事件 A,如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率.4.頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別(1 )聯(lián)系：實驗次數(shù)增加時，頻率無限接近概率，一般可以用頻率來估計概率；(2)區(qū)別：頻率本身是隨機(jī)的，在試驗前不能確定，做

2、同樣次數(shù)或不同次數(shù)的重復(fù)試驗得 到的事件的頻率都可能不同，而 概率是一個客觀存在的確定數(shù)與每次試驗無關(guān).5 極大似然法：如果我們面臨著從多個可選答案中挑選出正確答案的決策任務(wù)，那么“使I得事件出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，即哪一個答案能夠使事件發(fā)生的可能性最大，這個答案即為正解答案.6 事件的關(guān)系與運算(1) 包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A,記作B = A; 任何事件都包含不可能事件.(2) 相等關(guān)系：如果事件A包含事件B,且事件B包含事件A,那么稱事件A和事件B相等，zzBO記作A=B.(3) 把“事件A發(fā)生或事件B發(fā)生”看作一個事件C,則事件C為事件

3、A和事件B的并事 件(或和事件)，記作AUB(或A+ B)(4) 把“事件A發(fā)生且事件B發(fā)生”看作一個事件D,則事件D為事件A和事件B的交事 件(或積事件)，記作Ap|B(或AB)(5) 若兩事件A和B不能同時發(fā)生，那么稱事件A與事件B互斥.(6 )若APIB是不可能事件，AUB是必然事件，則稱事件A與事件B為對立事件，即任 何一次實驗中發(fā)生的事件不是事件A,就是事件B,沒有第三種可能.27.概率的幾個基本性質(zhì)(1) OWP(A) 1;(2)必然事件的概率為 1,概率為 1 的事件不一定是必然事件;(3)不可能事件的概率為 0,概率為 0 的事件不一定是不可能事件；(4)如果兩事件A與B互斥，

4、則P(AUB)二P(A)+ P(B)；(5)若兩事件A與B對立，則P(A) + P(B)= 1.例 1：若A B為互斥事件，則().A為“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件點數(shù)是偶數(shù)”， 事件C為“落地時向上的點數(shù)是 3 的倍數(shù)”， 事件D為“落地時向上的點數(shù) 是 6 或 4”，則下列每對事件是互斥事件但不是對立事件的是().A. A與BB. B與CC. A與DD. C與D(例 3:某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的 100 位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示一次購物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顧客數(shù)(人)x3

5、025y10結(jié)算時間I (分鐘/人)憶勺 11.522.53已知這 100 位顧客中的一次購物量超過8 件的顧客占 55%(1)確定x,y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值.(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2 分鐘的概率.(將頻率視為概率)例 4:袋中裝有紅球、黑球、黃球、綠球共12 個.從中任取一球，取到紅球的概率是取3各是多少.A.P(A) P(B)1D.P(A) P(B)W1例 2:拋擲一枚骰子，記事件B為“落地時向上的到黑球或黃球的概率是512,取到黃球或綠球的概率是512.試求取到黑球、黃球、綠球的概率3二、古典概型1 古典概型：在試驗中，所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有

6、限個且每個基本事件出現(xiàn)的 可能性相等，我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.2.(1)互斥事件：若AnB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥，即事件A與事件B在 任何一次試驗中不會 同時發(fā)生.(2)對立事件：若AnB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立 事件，即事件A與事件B在任何一次試驗中 有且僅有一個發(fā)生.3.(1)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AUB) =P(A)+P(B).該結(jié)論可以推廣到n個事件的情形：如果事件 Ai, A,，A 彼此互斥，則 P(AUAUUA) = RA) + RA) +P(A).(2)若事件B與事件A

7、互為對立事件，則RA! +P(B) = 1,也可以表示為P(A) = 1-RE).4.古典概型的概率公式：A 所包含的基本事件的個數(shù).基本事件的總數(shù)例 1:小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上 的點數(shù)記為x;小李后擲一枚骰子，向上的點數(shù)記為y;(1) 在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x,y)為坐標(biāo)的點共有幾個？試求點(x,y)落在直線x+y= 7 上的概率；(2) 規(guī)定：若x+y 10，則小王贏；若x+y4，則小李贏，其他情況不分輸贏試問這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.例 2:甲、乙兩校各有 3 名教師報名支教，其中甲校2 男 1 女，乙校 1 男 2 女.(

8、1) 若從甲校和乙校報名的教師中各任選1 名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2 名教師性別相同的概率；(2) 若從報名的 6 名教師中任選 2 名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2 名教師來自同一學(xué)校的概率.例 3: 汽車廠生產(chǎn)代B，C三類轎車， 每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號， 某月的產(chǎn) 量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z4按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50 輛，其中有A類轎車 10 輛.（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5 的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取 2 輛，求至少有 1 輛舒適型轎車的概率；用隨機(jī)抽樣的

9、方法從B 類舒適型轎車中抽取8 輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4 , 8.6 , 9.2 , 9.6 , 8.7 , 9.3 , 9.0 , 8.2把這 8 輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不-1超過 0.5 的概率.三、幾何概型1幾何概型：在試驗中，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體 積等）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型.2.幾何概型的概率公式：構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長度（面積或體積）7試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）例 1：如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AMVAC的概率.變式訓(xùn)練：如例

10、 1 圖，在等腰直角三角形ABC中，在.ACB內(nèi)部任意作一條射線 與線段AB交于點M，求AM：AC的概率.例 2:兩人約定在 20： 00 到 21： 00 之間相見，并且先到者必須等遲到者40 分鐘方可離去如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20 : 00 到 21： 00 各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率.標(biāo)準(zhǔn)型300450600CM,B5例 3:如圖，設(shè)有一個正方形網(wǎng)格，其中每個小正三角形的邊長都是例 4：已知集合A= x| Kxw0，集合B= x|ax+b2x 1v0,0 a 2,1 b 10 為事件B, x+y4為事件C,用數(shù)對(x,y)表示x,y的取值.則事件B包含

11、(4,6) , (5,5) , (5,6) , (6,4) , (6,5) , (6,6)共 6 個數(shù)對；I P事件C包含(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (3,1)共 6 個數(shù)對.6 1 6 1由知基本事件總數(shù)為 36 個，所以F(B) = 36=6 ,P(C) = 36=1 ,所以小王、小李獲勝的可能性相等，游戲規(guī)則是公平的.例 2：解：(1)甲校兩名男教師分別用A,B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩名女教師分別用E F表示.ZKA從甲校和乙校報名的教師中各任選1 名的所有可能的結(jié)果為：(A D,(A,曰，(A,F),(B,D ,

12、(B,E),(B,F) ,(C,D) , (C, E) , (CF),共 9 種.從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A D), (B, D, (C E), (C,F),共 4 種，4所以選出的 2 名教師性別相同的概率為P=9從甲校和乙校報名的教師中任選2 名的所有可能的結(jié)果為：(A,B) , (A,C) , (A, D),(A, E) , (A F), (B, C) , (B, D) , (B,E) , (B, F) , (C, D) , (C, E) , (C F) , (D, E), (D,F) , (E,F),共 15 種.(AB), (A,C), (B,C), (D,E), (D,

13、F),從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有:9(E,F)，共 6 種.所以選出的 2 名教師來自同一學(xué)校的概率為155因此本月共生產(chǎn)轎車 而X50= 2 000(輛).故z= 2 000 - (100 + 300 + 150+ 450+ 600) = 400(輛).(2)設(shè)所抽取樣本中有a輛舒適型轎車，400a由題意得 7000 = 5，則a=因此抽取的容量為 5 的樣本中，有 2 輛舒適型轎車，3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車.用A,A表示 2 輛舒適型轎車，用B,B, E3表示 3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示事件“在該樣 本中任取2 輛，其中至少有 1 輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A ,

14、 A) ,(A, B) , (A,B) , (A,R),(A,B), (A, B) , (A,R) ,( B,B) ,(B , B?),(B,B3),共 10 個.事件E包含的基本事件有：(A, A), (A , B), (A , Ba) , (A , B) , (A , B) , (A , R) , (A , B),共 7 個.77故F(E) = 10,即所求概率為 10.1(3)樣本平均數(shù)x=X(9.4 + 8.6 + 9.2 + 9. 6 + 8.7 + 9.3 + 9.0 + 8.2) = 9.8設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5 ”，則基本事件

15、空間中有 8 個基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4 , 8.6 , 9.2 , 8.7 , 9.3 , 9.0 ,33共 6 個 ,所以P(D= 4,即所求概率為 4.三、幾何概型例 3:解：(1)依據(jù)條件可知，轎車A B的抽樣，A類轎車抽樣比為10100+30010例 1:解：在AB上截取AC= AC于是P(AM : AC) =P AM : ACACACAB AB答：AM : AC的概率為11變式訓(xùn)練: 解：在.ACB內(nèi)的射線是均勻分布的， 所以射線CM作在任何位置都是等可能的,在AB上截取ACAC，則.ACC=67.5，4 167 5故滿足條件的概率為675=0.75.90- O2C

16、 J例 2：【解析】兩人不論誰先到都要等遲到者40 分鐘，即小時設(shè)兩人分別于x時和y時322到達(dá)約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)一xyw -，因此轉(zhuǎn)化33成面積問題，利用幾何概型求解.解：設(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)wx y0, 即f(x)在1,0上是單調(diào)遞增函數(shù).bf(x)在1,0上的最小值為一a+ 2 1.要使AnB# ?，只需一a+1 1v0,即卩 2ab+ 2 0.所以(a,b)只能取(0,1) , (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3)共 7 組.所以AnB# ?的概率為 9.因為a 0,2 ,b 1,3,所以（a,b）對應(yīng)的區(qū)域為邊長為 2 的正方形（如圖）,其中AB=a，AD=BiEW=專，AD=BE=ADtan 30.人已 二AB-AAB)h二aAB 2AD ia 373ai#3當(dāng)圓心落在三角形ABiCi之外硬幣與網(wǎng)格有公共