北工大線性代數(shù)復(fù)習(xí)

1、第一章1、 對(duì)換改變排列的奇偶性2、 三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積3、 行列互換，行列式的值不變4、 行列式的某一行的公因子可以提出來(lái)5、 如果行列式中某一行元素全為0，那么行列式等于06、 如果行列式中某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和。這兩個(gè)行列式分別以其中一組數(shù)為該行，而其余各行與原行列式對(duì)應(yīng)的行一樣。7、 互換行列式中兩行的位置，行列式變號(hào)8、 如果行列式中有兩行相同，那么行列式等于09、 如果行列式中有兩行成比例，那么行列式等于010、 把行列式某一行的k倍加到另一行上，行列式不變11、 克萊德法則：注：1、 行列互換值不變2、 兩行互換值變號(hào)3、 兩行相等

2、值為零4、 可把一行進(jìn)行分拆5、 可以提取一行元素的公因式6、 兩行成比例值為07、 一行的倍數(shù)加到另一行值不變（形成三角行列式）8、 ,0,9、 范德蒙行列式（下一行與上一行成比例）10、 反對(duì)稱行列式（奇數(shù)n階反對(duì)稱行列式等于零）11、 中心對(duì)稱行列式（相同兩排相加成半軸對(duì)稱，再消變成零）第二章1、 由數(shù)域P中個(gè)數(shù)（；）排列成一個(gè)m行n列的矩形數(shù)表成為一個(gè)數(shù)域P上的矩陣，其中稱為矩陣的元素，可用表示，或記作2、 兩個(gè)矩陣，如果，則稱A與B是同型矩陣3、 兩個(gè)同型矩陣，如果對(duì)應(yīng)的元素相等，則稱A與B是相等的，記作A=B4、 設(shè)，規(guī)定稱為A與B的和（同型矩陣才能相加）5、 矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)

3、律：（1） 交換律 A+B=B+A（2） 結(jié)合律 A+(B+C)=(A+B)+C（3） A+O=A（4） A+(-A)=O（5） A-B=A+(-B)，矩陣方程A+X=B總有唯一解X=B-A6、 設(shè)，k為一個(gè)數(shù)，規(guī)定稱為k與矩陣A的數(shù)量乘積7、 矩陣的數(shù)量乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）（3）（4）其中A,B是同型矩陣，k,l是兩個(gè)數(shù)8、 設(shè)A是矩陣。把A的行和列互換，得到一個(gè)矩陣，這個(gè)矩陣成為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或9、 矩陣的轉(zhuǎn)置也是矩陣的一種運(yùn)算，滿足的運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）（3）10、 設(shè)，稱矩陣C是A與B的乘積，記作C=AB由矩陣乘法的定義可知，只有當(dāng)左邊矩陣A的列數(shù)與右邊矩陣B的行數(shù)相

4、等時(shí)，乘法才有意義，這是乘積矩陣AB的行數(shù)等于作矩陣A的行數(shù)，AB的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)11、 對(duì)矩陣A與B，若有AB=BA，則稱A與B是可交換的。由矩陣乘法規(guī)則，只有同階方陣才可能可交換12、 主對(duì)角線上元素全部都為1，其余元素都是0的n階方陣稱為n階單位矩陣，記作，或者簡(jiǎn)單地寫(xiě)為E。，13、 矩陣的乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律（1） 結(jié)合律 （2） 做分配律 右分配率 （3） （4） 14、 設(shè)是一個(gè)n階方陣。由A中所有元素按照它們?cè)贏中的排列位置構(gòu)成一個(gè)n階行列式。這個(gè)行列時(shí)稱為仿真A地行列式，記作或15、 方陣行列式具有的性質(zhì)（1）（2）（3） 其中A,B都是n階方陣，k是數(shù)16、 設(shè)A是n階

5、方陣，若，則稱A是非退化的；若，則稱A是退化的17、 設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的；否則，稱A是不可逆的18、 可逆矩陣性質(zhì)（1） 設(shè)A,B都是n階方陣，若AB=E，則A、B都是可逆的，且（2） 若可逆，則也可逆，并且（3） 若可逆，則也可逆，并且（4） 若可逆，數(shù)，則可逆，并且（5） 若n階矩陣A和B都可逆，則AB也可逆，并且（6） 若可逆，則19、 設(shè)，是中元素的代數(shù)余子式，把矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣。20、 n階方陣A是可逆的充分必要條件是，即A是非退化的，而且21、 矩陣的初等變換：（1） 互換矩陣中兩行的位置（2） 用一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的

6、某一行（3） 把矩陣某一行的k倍加到另一行上去22、 階梯形矩陣條件：（1） 零行（元素全為0的行）在下方（2） 各個(gè)非零行的第一個(gè)不為零的元素（首非零元）均位于上一個(gè)非零行的首非零元的右邊23、 稱為簡(jiǎn)化階梯形的條件：（1） 它是階梯性的（2） 每一個(gè)非零行的首非零元均是1（3） 包含首非零元的列的其它元素全為024、 任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)若干次初等行變換總能變成階梯形矩陣，或再經(jīng)過(guò)若干次初等行變換變成簡(jiǎn)化的階梯形矩陣25、 任意矩陣A都與一個(gè)形如的矩陣等價(jià)，稱為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形26、 由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣（1） 互換矩陣E的第i行

7、與第j行的位置（）（2） 用一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣E的第i行（）（3） 把矩陣E的第j行的k倍加到第i行上（）（4） 初等矩陣的逆矩陣：，27、 對(duì)一個(gè)矩陣A做一次初等變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)一個(gè)矩陣A做一次初等變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的n階初等矩陣28、 可逆矩陣經(jīng)過(guò)初等變換變成的簡(jiǎn)化階梯形矩陣一定是單位矩陣29、 矩陣A可逆A可以表示成一系列初等矩陣的乘積30、 在一個(gè)矩陣A中，任意取出k個(gè)行和k個(gè)列，位于這些行和列的交叉處的元素按原來(lái)的位置組成一個(gè)k階行列式，稱其為矩陣A的一個(gè)k階子式31、 矩陣A的不等于零的子式的最高階數(shù)稱為A的行列式秩，簡(jiǎn)稱為A的秩。記作秩

8、或。規(guī)定零矩陣的秩是零。32、 一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)r階子式不為零，同時(shí)所有r+1階子式（如果有的話）全為零33、 矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變34、 n階方陣A可逆35、 線性方程組有解判別定理：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩36、 當(dāng)n元線性方程組，即AX=b有解時(shí)，即時(shí)，（1） 方程組有唯一解（2） 方程組有無(wú)窮多解，這時(shí)在方程組的一般解中出現(xiàn)個(gè)自由未知量37、 對(duì)于n元齊次線性方程組（1） 只有零解（2） 有非零解38、 設(shè)A為矩陣，且，則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組一定有非零解。方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)的齊次線性方程組一定有非零解39

9、、 設(shè)A是n階方陣，那么有非零解40、 應(yīng)用（1） 階梯化求秩（2） 求：（3） 解方程():第四章1、 如果有一組不全為零的數(shù)使，則稱向量組線性相關(guān)，否則，線性無(wú)關(guān)2、 判斷1：向量組線性相關(guān)以為系數(shù)列向量的齊次線性方程組有非零解3、 如果向量組線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添加一個(gè)分量后所得到的維向量組也線性無(wú)關(guān)4、 個(gè)維列向量線性相關(guān)，這里5、 設(shè)是一個(gè)維向量組，若，則是線性相關(guān)的6、 任意個(gè)維向量必線性相關(guān)7、 判斷2：向量組線性相關(guān)其中有一個(gè)向量可以由其它向量線性表出8、 判斷3：向量組線性無(wú)關(guān)任意一個(gè)向量都不能由其它向量線性表出9、 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則可以由線性表出，且

10、表示法唯一10、 設(shè)有2個(gè)維向量組()；()如果()中每個(gè)向量都可以由向量組()線性表出如果()、()這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)，記為()()性質(zhì)：（1） 反身性：()()（2） 對(duì)稱性：若()()，則()()（3） 傳遞性：若()()，()()，則()()11、 設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果（1） 向量組可以由線性表出（2）那么向量組一定線性相關(guān)12、 如果向量組可以由向量組線性表出，且線性無(wú)關(guān)，那么13、 兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量14、 在向量組中，如果存在個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，又在向量組中任意個(gè)向量都線性相關(guān)，則稱部分組是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組15、

11、 向量組與它的任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的16、 向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同17、 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩線性相關(guān)：秩；線性無(wú)關(guān)：秩18、 如果向量組()可以由向量組()線性表出，則19、 等價(jià)的向量組有相同的秩20、 矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩21、 設(shè)是矩陣，是矩陣（1） 如、分別是階、階可逆矩陣，則（2）（3） ，這里、是同型矩陣（4） 如，則存在矩陣和矩陣，使，其中和的秩都為22、（1） 有解（2） 有解時(shí)：a.有唯一解未知量總個(gè)數(shù) B.有無(wú)數(shù)解（3） 自由未知量總個(gè)數(shù)23、 的體空間的維數(shù)=基礎(chǔ)體系中含有維向量的個(gè)數(shù)=

12、一般體中自由未知量的個(gè)數(shù)=未知量總個(gè)數(shù)24、 規(guī)律（1）（2） （3）（4）（5）（6）25、 設(shè)，規(guī)定與的內(nèi)積為，（1）（2）（3）（4）26、 稱為向量的長(zhǎng)度（1）（2）27、 非零向量與的夾角28、 一個(gè)非零的兩兩正交的向量組稱為正交向量組，如正交向量組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱為一個(gè)正交單位向量組29、 正交向量組線性無(wú)關(guān)30、 在向量空間中，由正交向量組構(gòu)成的基稱為正交基；由正交單位向量組構(gòu)成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基31、 設(shè)是線性無(wú)關(guān)的向量，正交單位向量32、 n維向量空間中任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一個(gè)正交基33、 如果，實(shí)n階矩陣稱為正交矩陣34、 n階矩陣正交（1）如果是正交矩陣

13、，則（2）如果是正交矩陣，則也是正交矩陣（3）如果與都是n階正交矩陣，則也是正交矩陣35、 是正交矩陣的充分必要條件是的列（行）向量組是正交單位向量組36、 是正交矩陣，那么轉(zhuǎn)置，逆矩陣，伴隨矩陣，負(fù)矩陣都是正交矩陣37、 是正交矩陣，只有換位變換不改變正交性第五章1、 設(shè)是數(shù)域P上一個(gè)n階方陣。如果存在數(shù)域P中數(shù)及一個(gè)n維非零列向量，使得，則稱是矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量2、 設(shè)是數(shù)域P上的n階方陣，則是的特征值，是的屬于特征值的特征向量的充分必要條件是：是的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中的根，是齊次線性方程組的非零解3、 設(shè)是復(fù)數(shù)域上n階方陣，則（1）（2）我們稱n階方陣的主對(duì)角元之和為

14、的跡，記成。即4、 n階方陣可逆的n個(gè)特征值全不為零5、 設(shè)是兩個(gè)n階方陣，如果存在一個(gè)n階可逆矩陣P，使得，則稱矩陣與是相似的，記作6、 相似基本性質(zhì)：（1）反身性：對(duì)任意一個(gè)方陣，都有（2）對(duì)稱性：若，則（3）傳遞性：若，則7、 相似推導(dǎo)性質(zhì)：（1） 若，則（2） 若，則（3） 若，則與或者都可逆，或者都不可逆，并且當(dāng)它們可逆時(shí)有 （4） 若，則，其中m是正整數(shù)（5） 若，則.這說(shuō)明相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式（6） 若，則與有相同的特征值，也有相同的跡8、 n階方陣可對(duì)角化的充分必要條件是有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量9、 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的10、 若n階方陣有n個(gè)相異特征值

15、，則可對(duì)角化且 11、 設(shè)是n階方陣的s個(gè)互異特征值，設(shè)是的屬于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則向量組都是線性無(wú)關(guān)的12、 復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階方陣都與一個(gè)Jordan形矩陣相似，這個(gè)Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序外是被唯一決定的，它稱為的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形13、 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)14、 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交15、 對(duì)于任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣，都存在一個(gè)n階正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣注：1、 （1） （2）2、3、 Sylvester 定理：4、 是的特征值是所有的特征值5、 ，6、 的相似對(duì)角化：記，則（P可逆）7、 n階方陣可以相似對(duì)角化有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量8、 若是的分別屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，若記，則P可逆，且9、 ，當(dāng)時(shí)，一定可以相似對(duì)角化10、（1） 可逆（2） 可逆（3） 、都不可逆11、第六章1、 合同關(guān)系的性質(zhì)：2、 簡(jiǎn)化二次型：配方法，初等變化法3、 正慣性指數(shù)等于正特征值的個(gè)數(shù)；負(fù)慣性指數(shù)等于負(fù)特征值的個(gè)數(shù)4、 實(shí)二次型對(duì)任何一個(gè)非零向量，恒有，則是正定二次型5、 正定二次型正慣性指數(shù)也就是正特征值的個(gè)數(shù)等于n6、 二次型經(jīng)過(guò)可逆線性替換，其正定性保持不變7、 n元實(shí)二次型正定的正慣性指數(shù)等于n8、 實(shí)對(duì)稱矩陣正定與合同9、 實(shí)二次型正定的各階順序主子式全大于零10、 主軸定理：