2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式第3講不等式練習(xí)

1、解析作出可行域?yàn)槿鐖D所示的ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線 3x+ 2y= 0，并平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A（2 , 0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z= 3x+ 2y取得最大值，且Zmax= 3X2 + 2X0= 6.,4-aZi0,則z= 2x+y的最小值是（）y+3 0,jfcik.D.9解析 可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線y= 2x+z經(jīng)過點(diǎn)AA. - 15B. - 9C.16, 3）時(shí)，所求最小值為15.答案 A2.（2018 天津卷）已知a,b R,且a 3b+ 6= 0，則小值為解析aha由題設(shè)知a 3b= 6,又 2 0, 80,所以 2了咚宀3.）V平二一且僅當(dāng)答案a13,b= 1 時(shí)取等號(hào).

2、故 2a+b的最小值為814.x 2y 20,$ 三0,z= 3x+ 2y的最大值為a 3b 1r-8b=22丁 =4,當(dāng)a12 + g 的最2f(x) +f jx 2 = (x+ 1) + jx2+1,原不等式化為 2x十 31,解得4x0(或 0)，如果a與ax2+bx+c同號(hào),則其解集在兩根之外；如果a與ax.bx+c異號(hào)，則其解集在兩根之間.答案 64.(2017 全國(guó)川卷x十 1,xw0,)設(shè)函數(shù)f(x)一 2x,x0,則滿足f(x)十fx-11的x的取值范圍解析當(dāng)XW0時(shí),當(dāng) 01,該式恒成立,1當(dāng)x2 時(shí),f(x)十fx2又x1 時(shí),112x+ 2x；22十 20= 1 十 21

3、 恒成立,綜上可知, 不等式的解集為答案1 -km4，十考點(diǎn)整合2x+x舟十 11x x -2 十 22,1十十m4十3(2)簡(jiǎn)單分式不等式的解法f(x)1g(x)f(x)g(x)0(2ab(取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a=b).0(w0)f(x)g(x) 0(w0)且g(x)工 0.bR).4/ a2+b2a+ b2ab(3)2丁ab(a0，b0).(4) 2(a2+b2) (a+b)2(a,b R,當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).3. 利用基本不等式求最值(1)如果x0,y0,xy=p(定值)，當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值 2p(簡(jiǎn)記為：積定，和有最 小值).12如果x0,y0,x+y=s(定值)，當(dāng)x=y

4、時(shí)，xy有最大值-s(簡(jiǎn)記為：和定，積有最大值).4. 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域上的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn) 證解決熱點(diǎn)聚焦fi類突破熱點(diǎn)一不等式的解法4【例 1】(1)不等式 0,設(shè)函數(shù)f(x) =r 3則使得f(x)wi成立的x的取值范圍是_ .x,x0 時(shí)，不等式化為(x 2)24，二x4.當(dāng)x 20 時(shí)，原不等式化為(X2)2w4, 0 x2.綜上可知，原不等式的解集為0, 2)U4 ,+s).由/0, 得1wx0,由g (x + 1)W1得0Wxw9；探究提

5、高1.解一元二次不等式：先化為一般形式ax2+bx+c0(a0),再結(jié)合相應(yīng)二次方5【訓(xùn)練 1】(1)(2018 衡陽(yáng)一模)已知一元二次不等式f(x)0的解集為 徑卜0 的解集為()A.x|xln 3B. x|ln 2xIn 3C. x|xln 3D.x| In 2x0 的解集為()A.x|x2 或x 2C.x|x4解析(1)由題意可知，一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向下，故f(x)0 的解/、J1x1x集為ix2X0 ,所以 2e 3,解得In 2x0.f(2 x)0 即ax(x 4)0，解得x4.答案(1)D(2)C熱點(diǎn)二基本不等式及其應(yīng)用jfIA 1x v線a+b=1(a0,b

6、0)過點(diǎn)(1 , 2)，貝 y 2a+b的最小值為(2)如圖所示，一張正方形的黑色硬紙板，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“設(shè)小矩形的長(zhǎng)、寬分別為a,b(2 a 10),剪去部分的面積為B.x| 2x2D.x|0 x,b0)過點(diǎn)(1,2),47A. 2，0)U(0，4B.4,0)U(0，2C. 4，2D. 2, 4解析(1)va,b R,ab0,a4+ 4b4+ 1 4a2b2+ 11ab=4ab+品14ab歹4,-2 2a= 2b,當(dāng)且僅當(dāng)!4ab=晁r 2亞la=2，1 即b2=時(shí)取得等號(hào)2a+1的最小值是 4.ab-!+b=1(a0,且b0),則 2a+b= (2a+b)+2Jb4ab4a=

7、4+a+T4+2a b=8.b4a當(dāng)且僅當(dāng)a=石，即a=2,b= 4 時(shí)上式等號(hào)成立因此 2a+b的最小值為 8.大值三.5答案(1)8(2)C探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號(hào)能夠取得2.特別注意：(1)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則會(huì)出錯(cuò)【訓(xùn)練 2】(1)若a, b R,ab0,則+卅+1的最小值為 _1 1 22北京海淀區(qū)調(diào)研)當(dāng)。兀時(shí)，若m+丸k-2k恒成立，則實(shí)數(shù)k的

8、取值范圍為(由題意知,42ab= 8,貝U b= (2waw10).所以a19a9+ = +-b+ 1a+ 9 4 +a a+ 99a+ 94a+ 4636195,當(dāng)且僅當(dāng)a=-，即a=6時(shí)，耐+不取得最ab(2018=1+36a+占+13易得1+-7-=(q1八且 0nr-2.又1 2m=舟 2%1 2m8.要使原不等式恒成立，只需k 2k 8, 20,【例 3 1】（2017 全國(guó)川卷）若x,y滿足約束條件x+y 2w0瀘0,則z= 3x 4y的最小值為解析 畫出可行域如圖陰影部分所示,/口 3z由z= 3x 4y，得y= 4X 4,作出直線y=3x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)Zmi

9、 n=3X14X1= 1.K+J-2莎y”:o(2,O)Xx答案 1探究提高 1.線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域：出錯(cuò)U 目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免2. 一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的頂點(diǎn)或邊界上取得【訓(xùn)練 3】（2018 全國(guó)n卷）若x,x+ 2y 50,y滿足約束條件x 2y+ 30,則z=x+y的最大值為x-5W0,解析 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所A（1，1）處取最小值，故10示.作出直線x+y= 0，平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)耳 5 , 4）時(shí)，z取得最大值，Zmax=

10、 5 + 4= 9.答案X+yW2,3 2】（2018 合肥質(zhì)檢）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Ma, b）為不等式組$2x 3y0b 1所表示的區(qū)域上任意動(dòng)點(diǎn)，則 百的最大值為b 11 一（一 1）百的最大值為kAB=4 3=2.答案則實(shí)數(shù)a=（解析 作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示,得最大值 2.由 jXy 2=0,解得A(4, 2),同時(shí)A(4 , 2)也在直線ax+y 4= 0 上，二 4a= 2,則a= 2x 3y= 2,2考法2 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【解析作出不等式組表示的平面區(qū)域（如圖陰影部分）.則Ma,b）在AEF內(nèi)（含邊界），易知 4 表示點(diǎn)a 4點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，

11、kAB取最大值，又考法3 線性規(guī)劃中參數(shù)問題【 3 3】xy24,目標(biāo)函數(shù)x 2y+ 3 0,z= 2x 3y的最大值是 2,1A.2B.1C.fD.4M與點(diǎn)B（4，1）連線的斜率，當(dāng)x+y= 2,解得A(3 , 1),2x 3y= 9,目標(biāo)函數(shù)zA時(shí)目標(biāo)函數(shù)取11答案 A探究提高1.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值主要涉及斜率、點(diǎn)與點(diǎn)(線)的距離，利用數(shù)形結(jié)合，抓住幾何特征是求解的關(guān)鍵2.對(duì)于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：(1)當(dāng)最值是已知時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時(shí)應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時(shí)，因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動(dòng)的，所以要抓住目

12、標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動(dòng)參數(shù)范圍，使得這樣的最 優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi).x +y 1 0,西安聯(lián)考)已知x,y滿足約束條件 3y+ 30,則目標(biāo)函數(shù)x2y1w0,【訓(xùn)練 4】(1)(2018x2+y2的最小值為()B.+C.12xy+ 2 0,(2018 濟(jì)南質(zhì)檢)若實(shí)數(shù)x,y滿足 2x+y 6 0,0Wyw3,且z=mx y(n2)的最小值為一則m等于(5代 4B.C.11D.3解析(1)作出約束條件滿足的平面區(qū)域如圖，又z=x2+y2表示PAB區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)O0 , 0)的距離 Zmin是點(diǎn)0(0 ,0)到直線AB的距離，易知O至U x+y 1 = 0 的距離d=|0

13、+ 01| 2、212+ 12= 2 Zmin= 2.(2)作不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,3.125z= miy（n2）的最小值為一，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解過點(diǎn)A2，3，5 m ” 2= 2 3,解得n= 1.答案（1）B（2）C10躺總結(jié)思雄ff華I探規(guī)律陽(yáng)失誤1. 多次使用基本不等式的注意事項(xiàng)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件 的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)， 列出等號(hào)成立的條件不僅是 解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法2. 基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關(guān)鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往

14、需先變換形式才能應(yīng)用 3. 解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域， 再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義， 數(shù)形結(jié)合找到目 標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)（或邊界上的點(diǎn)），但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn) 證解決4. 解答不等式與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合問題時(shí)，不等式作為一種工具常起到關(guān)鍵的作用，往往涉及到不等式的證明方法（如比較法、分析法、綜合法、放縮法、換元法等）.在求解過程中，要以數(shù)學(xué)思想方法為思維依據(jù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解題， 在復(fù)習(xí)中通過解此類問題，體會(huì)每道題中所蘊(yùn)含的思想方法及規(guī)律，逐步提高自己的邏輯推理能力專題圳練對(duì)接高考、選擇題x+ 3y 1，則z=x+y的最大值為（）y 0，A.0解析

15、根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+y經(jīng)過A（3，0）時(shí)取得最大值，故A,由y=3，解得2xy+ 2= 0,B.1C.2D.313答案 D1 一x2.(2018 合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=，則使f(a) +1f(a+1)成立的a的取值范圍是1 十xB.(a,22D.(a, 2 , 2)解析 由 2x2m+ 1 0,得mx= 2x+-A.( a, 2)B.(1, +a)C.( a, 2)U(1，+a)D.( a, 1)1aa解析f(a)十1f(a+l；1 十+1a+2(a+1)2只，a+ 3a+ 4(a+2) R恒成立，原不等式等價(jià)于(a+1)(a+ 2)0 ,解得2 0.v

16、a+ 3a+ 40 對(duì)一切a)a的取值范圍是(一a, 2)U(1,+).答案 CX+ yw2,3.(2018 西安質(zhì)檢)若變量x,y滿足 2x 3yw9,則x2+y2的最大值是(IzO x 0,A.4B.9C.10D.12解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2+y2表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方由 k-3y= 9 得険，一1)由圖形2 2 2 2 2(x+y)max= |OA= 3 + ( 1) = 10. J z %丿答案 C4.已知當(dāng)xv0 時(shí)，2x2 m+ 1 0 恒成立,則m的取值范圍為(A.2；2,C.(2 ,2,+a)1又2x十廠-(-2x) +1(x)a 1.故所

17、求- 2 2.答案 C廠a，5.（2018 長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)聯(lián)考）設(shè)x,y滿足約束條件丿x+y 1,若z=x+y的最大值為 6,2xyw0,則是的最大值為（）解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.易知當(dāng)直線z=x+y過點(diǎn)A時(shí)，z取到最大值 6.又Aa,a，二Zmax=a+a= 6,則a= 4.又 =一二表示P(x,y)與B( 4, 0)兩點(diǎn)連 幺/ 2x+a x+ 4線的斜率，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C（ 3, 4）處時(shí)，斜率k取到最大值.由kBC=34）= 4,知答案 C的最小值為（解析 畫出不等式組所表示的可行域, =ax+y取得最大值的最優(yōu)解有 2 個(gè)，所以一a= 1,a= 1,所以當(dāng)x= 1,y=

18、 0 或x= 0,y= 1 時(shí)，z=ax+y= x+y有最小2A.3B.2C.4D.56.實(shí)數(shù)x,y滿足xy0,|x+y|w1,使z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有2 個(gè)，貝 Uz1=ax+y+ 1A.OB. 2C.1D. 1當(dāng)且僅當(dāng)一 2x=-X,即x=-X=4.ax如圖中陰影部分所示，因?yàn)閦16值1, 所以ax+y+ 1 的最小值是 0.答案 A二、填空題解析 當(dāng)3wxW0時(shí)，f(x) 0 時(shí)，f(x) -恒成立，所以2冷 I = 8.綜上， 0,y0Q的外接圓方解析作出不等式組表示的平面區(qū)域Q如圖所示.則區(qū)域形ABCC含內(nèi)部及邊界).易知BCL AB則外接圓的圓心為2x+y+ 3 0,7.

19、(2018 全國(guó)川卷)若變量x,y滿足約束條件x 2y+ 40,貝卩z=x+ y 的最大值是 lx - 20.f(x) W|x|恒成立，貝ya的取值范圍是181又A(0 , 6) ,C(2 ,0)，則該四邊形外接圓圓心為 (1 , 3)，半徑r=空 1AC| =10.故所求圓的2 2方程為(x 1) + (y 3) = 10.答案(x 1) + (y 3) = 10了 0,10.(2018 湖南長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+y 0,2x+y+ 2 0,則Z= log 2!y1 + 2 的取值范圍是 _込2丿解析作線性約束條件表示的可行域如圖所示y 1令t= 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)M1 , 1)連線的斜率xI1911y131t2，從而 2x7+產(chǎn)2故1k的解集為x|xv3,或x 2，求k的值;對(duì)任意x0,f(x)Wt恒成立，求t的取值范圍解(1)f(x)k kx22x+6kV0.由已知x|xv3，或x 2是其解集，得kx2 2x+ 6k= 0 的兩根是3, 2.2 2由根與系數(shù)的關(guān)系可知(一 2) + ( 3)=匚，即k= .2x226因?yàn)閤0,f(X)=齊二口三誹吒,x當(dāng)且僅當(dāng) x= ,6 時(shí)取等號(hào).由已知f(x)Wt對(duì)任意x0 恒成立，故t-6，即t的取值范圍是6,+8.12. （2017 天津卷）電視臺(tái)播放甲、乙