2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第二講基本初等函數(shù)學(xué)案理

1、第二講基本初等函數(shù)、函數(shù) 與方程及函數(shù)的應(yīng)用高-.対星初等函枚的迸苣形式主要是選癢躅、iii空越，也育可餐煦龍爸趣衛(wèi)耳一小廚的足戲出瓏,考苣耳圖集虧哇質(zhì)一X函艇點(diǎn)主姜蘭査誓也所在區(qū)間、零點(diǎn)于數(shù)的判斷國及由函數(shù)霉點(diǎn)的平數(shù)求解菩數(shù)的區(qū)值范因，亂雷數(shù)的買際應(yīng)用常國買際生活為背侵，與慮匠、不爭弍、導(dǎo)數(shù)、辭析n柯爭知識爻匯命題-*L考點(diǎn)Ex | n k日od I a ntu #0* - - 典例縉析 題型 破考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)1.指數(shù)與對數(shù)式的運(yùn)算公式m n m naa=a,(2) (am) =a,(3) (ab)m=aW.其中，a0,b0.(4) loga(MN= logaMlogaN,

2、M(5) log&N=logaM- logaN,(6) logaM=nlogaM,(7)alogaN=NlogbN(8) logaNh.其中，a0 且a 1,b0 且b 1,M0,N0.logba2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a* 1)與對數(shù)函數(shù)y= logax(a0,a* 1)的圖象和性質(zhì)，分0a1 兩種情況：當(dāng)a1 時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0abcB. bacC. cbaD. cab解析 由已知得c= log23,Vlog23log2e1,b= ln2ab,故選 D.答案D3. (2018 山東濰坊一模)若函數(shù)f(x) =axax(a0 且a 1)在 R

3、 上為減函數(shù)，則函數(shù)y= loga(|x| 1)的圖象可以是()解析 因函數(shù)f(x) =axax(a0 且a* 1)在 R 上為減函數(shù)，故 0a1 或x1 時函數(shù)y=loga(|x| 1)的圖象可以通過函數(shù)y= logax的圖象向右平移 1 個單位得到，故選 D.答案D24.(2018 江西九江七校聯(lián)考)若函數(shù)f(x) = log2(xax 3a)在區(qū)間(一g, 2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _ .2 2解析由題意得xax3a0 在區(qū)間(g,2上恒成立且函數(shù)y=xax3a在a2(g, 2上遞減，則 2 2 且(一 2) ( 2)a 3a0,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是4,4).4答案4,4）快

4、速審題看到指數(shù)式、對數(shù)式，想到指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；看到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)，想到它們的圖象和性質(zhì).|名師點(diǎn)撥 A基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1) 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時，要注意分a1 和 0a1 時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0a0 和 a 0 兩種情況的不同.考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)1. 函數(shù)的零點(diǎn)及其與方程根的關(guān)系對于函數(shù)f(x)，使f(x) = 0 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).函數(shù)F(x) =f(x) g(x)的 零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2. 零點(diǎn)存在性

5、定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) f(b)0 時，設(shè)g(x) =x 2,h(x) = Inx,如圖，分別作出兩個函數(shù)的圖象，5由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在x0 時有兩個零點(diǎn).綜上，函數(shù)f(x)有 3 個零點(diǎn)，故選 C.答案C快速審題看到函數(shù)的零點(diǎn)，想到求方程的根或轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn). 角度 2:應(yīng)用零點(diǎn)求參數(shù)的值(范圍).j rV剛】(201.-山咖牲聯(lián)苦誦數(shù)心=鳥二建謹(jǐn)9恰有四牛不相等的型數(shù)根.劇些數(shù)駅的毗值范憎帛確定直線與歹=1F(文1)圖象交點(diǎn)亠|得出結(jié)果一i解析在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖，而

6、函數(shù)y=mx?恒過定點(diǎn) 0，一 ，設(shè)過點(diǎn) iO, 1與函數(shù)y= Inx的圖象相切的直線為I1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,lnxo) 因1 Inxo+1 , 1 1 2為y= Inx的導(dǎo)函數(shù)y= -，所以圖中y= Inx的切線I1的斜率為k= 一，則一=,解xxoxoxo 01 1 1得Xo=je，所以k =e.又圖中12的斜率為 2，故當(dāng)方程f(x) =mx-2 恰有四個不相等的實(shí)雄鏈點(diǎn)t 轉(zhuǎn)化為函致 y=P.2 與$=”一*的國象盤蟲問題-6答案(1,0)答案探究追問1將例 2 中方程f(x) =mx-$恰有四個不相等的實(shí)數(shù)根”改為方程f(x)=mx三個不相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)果如何?4 丿解析在平面直

7、角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖.函數(shù)y=mx-恒過定點(diǎn),0,設(shè)過點(diǎn)IT,0與函數(shù)y= 1 x2的圖象相切的直線為I1,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,1 x0),因?yàn)閥= 1-x2(xw1)的導(dǎo)函數(shù)y= 2xo，所以切線li斜率1 x2k= 2x,則2x0= ，解5X。；得X0=2 或xo=f(x) =mx5恰有數(shù)根時，實(shí)數(shù)m的取值范圍是7|名師點(diǎn)撥 A(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的3 種方法8當(dāng)函數(shù)對應(yīng)方程易解時，可令/（JC）= 0則 方程解的個數(shù)即為零點(diǎn)的個數(shù)利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)的圖象和 性質(zhì)（如單調(diào)性）確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖 圖2法|一形，常會通過分解

8、轉(zhuǎn)化為兩個能畫出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問題利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值（或范圍）的 3 種方法分離 _先將參數(shù)分離轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題 參數(shù)法加以解決先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系 中作出函數(shù)的圖象然后數(shù)形結(jié)合求解對點(diǎn)訓(xùn)練61.角度 1已知函數(shù)f（x） = -一 log2X.在下列區(qū)間中，包含f（x）零點(diǎn)的區(qū)間是（）XA. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4 ,+解析 易知f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)f(1) = 6- log21 = 60,f(2) = 3- log22 = 20,63f(3) = 2-log230,f(4) = 4 log24= 3 20,二選項(xiàng)中包含f(x)零點(diǎn)

9、的區(qū)間是(2,4).答案Cx2 1,x 1. 若關(guān)于x的方程f(x) =k有三個不同12的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_ .10解析f(x) =k有三個不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=k的圖象有三 個交點(diǎn)，如圖所示.當(dāng)1k0 時，y=f(x)與y=k有三個交點(diǎn).故1k200,貝U n沁=3.8，由題意取n=4,貝U n+ 2018 =Ig1.120.052022.故選 D.答案D3.如圖，某小區(qū)有一邊長為2 的正方形地塊OABC其中陰影部分是一個游泳池，計劃在地塊OAB(內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路I(寬度不計)，切點(diǎn)為M并把該地塊分為兩部 分現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段OC所在

10、直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 若池邊AE為函數(shù)y=x2+ 2(0 x 2)的圖象，且點(diǎn)M到邊OA的距離為t t 4，則 地塊OABCE直路l不含泳池那側(cè)的面積的最大值為_解析Mt, t2+ 2)，過切點(diǎn)M的切線I:y( t2+2) = 2t(xt),即y= 2tx+t2+ 2,令y= 2 得x=；,故切線l與AB交于點(diǎn)i：, 2 ；2它丿t1令y= 0，得x= + -,斤 1、t1 一 2 41t1故切線I與OC交于點(diǎn)+1，0 丿，又x=+在片,-上單調(diào)遞減，所以x=+17171111(t1t、12，y，所以地塊OAB(在切線 I 右上部分區(qū)域?yàn)橹苯翘菪危?面積S=2? - +

11、2 2 丿X2=4 t *= 4t+12,當(dāng)且僅當(dāng)t= 1 時等號成立，故地塊OAB(在直路I不含泳池那側(cè)的面積的最大值為 2.答案2快速審題看到實(shí)際應(yīng)用題，想到函數(shù)模型.12I名師點(diǎn)撥應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序gI|I|Ii|_ _ _-a!讀題建模求解反饋丨Ii4iii冋考真題體驗(yàn)G盹賦zh電mitiy日n-細(xì)研真題 探明考向1. C201 6全國卷III)已知農(nóng)=2寺/=y*=25耳，則()A.QVtiOB. abcC (?1).cZab*Vu = 2 = (2)7= 4 c = ( 25)7= ( )T= 5 AaZc答案A- xe ,x0,2 個零點(diǎn)，貝 U a 的取值范圍是

12、()A. 1,0)B. 0,+s)C. 1,+s)D. 1,+s)ex,x0 xa的圖象存在 2 個交點(diǎn)，如圖，13當(dāng)x= 0 時，h(0) =a,由圖可知要滿足y=f(x)與y=h(x)的圖象存在 2 個交點(diǎn)，需要一aw1,即卩a 1.故選 C.答案C143. (2017 北京卷)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為 3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為 1080,則下列各數(shù)中與普最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg3 0.48)33A. 10因?yàn)?lg30.48，所以 3 100.48,3610.48 361一 小0.48X361一 仃3.283101010“93.28“93

13、80=80= 礦=10 10 .故選 D.10 10 10 10答案=ax恰有 2 個互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是廣2只x+ax+a, xw0,解析設(shè)g(x) =f(x) ax=c2x+ax 2a,x0,方程f(x)=ax恰有 2 個互異的實(shí)數(shù)解即函數(shù)y=g(x)有兩個零點(diǎn),x軸有 2 個交點(diǎn)，滿足條件的y=g(x)的圖象有以下兩種情況: 情況一：1=a2- 4a0,2=a 8a0,函數(shù)f(x) = *x2+ 2ax+a, x0.若關(guān)于x的方程f(x)即y=g(x)的圖象與4a8.15. 2i=a一 4a0,綜上，滿足條件的a的取值范圍是(4,8)答案(4,8)感悟高考 Ai.基本初等函數(shù)作

14、為高考的命題熱點(diǎn)，多考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，一般出現(xiàn)在第511 題的位置，有時難度較大.2 函數(shù)的應(yīng)用問題多體現(xiàn)在函數(shù)零點(diǎn)與方程根的綜合問題上，近幾年全國課標(biāo)卷考查較少，但也要引起重視，題目可能較難.名環(huán)微課導(dǎo)學(xué)l/l i叩曲嗣也曲皿肚-技巧點(diǎn)撥升華素養(yǎng)熱點(diǎn)課題 5 復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)用舉例破題關(guān)鍵點(diǎn)_fl |g(_r) | pj-Vg【例】 已知爾數(shù)” 若關(guān)于JT的函數(shù)+ 1、切人.乩 準(zhǔn)砒邯出隨較/V的圖象.北鋰點(diǎn)r由fSt列嚴(yán)一1 = 0的零點(diǎn)悄猊碩j宦 巾的范圉.有&個不同的零點(diǎn)則實(shí)數(shù)A的取俏范圈為0,數(shù)是()A. 3 B . 4 C . 5 D . 6解析對于ff(x) = 3,令

15、f(x) =t，則f(t) = 3,若tw0,貝U2t+ 1 = 3，解得t= 1,不符合題意；若t0,則 |lnt| = 3,解得t= e3或t= e3,若xw0,貝 U 2x+ 1 = e3或 2x+ 1 = e_3,33e 一 1e 1解得x=廠(舍)或x=2；若x0,則 |lnx| = e3或 |lnx| = e3,33一3一3解得x= ee 或 e e 或 ee 或 e e，故一共有 5 個根，選 C.答案C&JX1|八3,x0,2.(2018 安徽馬鞍山一模)已知函數(shù)f(x) 2若關(guān)于x的方程一x2x+1,xw0,f(x)2+ (a 1)f(x) a= 0 有 7 個不等的實(shí)數(shù)根，

16、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A 1,2C. ( 2, 1)規(guī)范解構(gòu)建課題模1解析悶為函抵、film作出2-卄4=工一2心2 + 2-右&6門_r)的商圖.軸圖所示*由E象可將JQ)在 2* 門上任議取一牛值*帝有四個不罰的丁值與之對 旋.再結(jié)會甸中函數(shù)，=嚴(yán)心、一&/J)+ 1疽8金不同的幫點(diǎn)+可等黃于t的肓惟嚴(yán)一時亠1=0有前卞不岡的實(shí)數(shù)捉門血*且0/4,00,解析函數(shù)f(x) =C2一x2x+1,xwo18關(guān)于x的方程f(x)2+ (a 1)f(x) -a= 0 有 7 個不等的實(shí)數(shù)根，即f(x) +af(x)-1 = 0 有 7 個不等的實(shí)數(shù)根，易知f(x) = 1 有 3 個不等的實(shí)數(shù)根，f

17、(x) =-a必須有 4 個 不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f(x)的圖象可知一a (1,2) ,a ( -2,- 1) 故選 C.答案C專題跟蹤訓(xùn)練(十一)一、選擇題L ( 2018 包頭質(zhì)檢)若幕函數(shù)y =/()的圖象過點(diǎn)(5,*卜則/(21一1。時)為()11QA.* B.寺C號IX -1解析/3=外=夕解得1 二八2】一噸)=f(沁手=/|尋=( |1=y,故選C.答案CT懇函數(shù)y = f(工)的圖象過點(diǎn)可設(shè)192.（2011廣東揭陽一模）曲線，=（訂與$=呂的交點(diǎn) 橫坐標(biāo)所在區(qū)間為（）解析即所求交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為3, 2，故選 B.答案B3.（2018 孝感一模）若函數(shù)f（x）=（m-2）

18、x2+m灶（21）的兩個零點(diǎn)分別在區(qū)間（一 1,0）和區(qū)間（1,2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1,1，易知/（）單調(diào)遞減,0,/0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為A.20仆2,解析依題意并結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，f 1 f0 0,即f （1 ） f（2f0.21仆2,* m-2- m(2rn1j(2rr1 0,J m- 2+ m(2m 1 ”4 (n 2 戶 2m+(2rr 1 0 , 答案Cex,x0,且函數(shù)F(x)有 2 個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.( a,0B. 1,+s)C.(-a,1)D. (0，+m)解析當(dāng)x0 時，F(xiàn)(x) =xx+ (a-1),函數(shù)F(x

19、)有 2 個零點(diǎn)， 1 a0,.a1.故選 C.答案C5.（2018 湖南十三校二模）函數(shù)f（x） = Inx+ ex（e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）0,1B.1, 1.eeD. (e,+a)解析函數(shù)f（x）= lnx+ ex在（0，+a）上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f（x）最多只有一個零點(diǎn).當(dāng)x0+時，f(x)Ta.丄 丄=In一 +ee ee一l0號e函數(shù)f（x） = lnx+ ex（e 為自然對數(shù)的底數(shù)）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 0,.故選 A.答案A216.(2018 河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x) =x+m與函數(shù)g(x) = - In- x解得 4n2.C. (1 , e) g,22

20、212x 3x+ 1求導(dǎo)，得f(x) =- + 3 2x=-xx(2x 1fx 1 x1 Y x0 時，2x1，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)f(x)0 時，1x2，函數(shù)單調(diào)遞減， f(x)在x= 1 處有唯一的極值點(diǎn)，15- f2= ln2 +4,f(2) = ln2 + 2,24且知f(2)f1, - f(x)極大值=f(1) = 2,故方程m= lnx+ 3xx2在, 2 上有解等價于 2 ln2 0 時，f(2) = 4a+ 4a+ 1 = 8a+ 1,f( 3) = 3a+3圖象上至少存在一對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A. |4 + ln2 , 2B. |2 - ln2 , 4+ l

21、n2C. + ln2 , 2+ ln2D. 2 - ln2,2解析由已知，得方程x2+ m= ln1+ 3x,x-Inx+ 3x-x2在 g, 2 上有解2設(shè)f(x) =- Inx+ 3x-x,231. f(2)f( 3)，即f(x)max=f(2) = 8a+1 = 4,.a=; 當(dāng)a3000)元，則租賃公司月收益為y=2( x-3000、x 3000” Ex1100-50(x 150) 50X50,整理得y=麗 + 162x 21000 =麗(X4050)2+ 307050.所以當(dāng)x= 4050 時，y取最大值為 307050,即當(dāng)每輛車的月租金定為4050 元時，租賃公司的月收益最大為3

22、07050 元.答案4050三、解答題10. (2018 唐山一中期末)已知函數(shù)f(x) = ex- ex(x R,且 e 為自然對數(shù)的底數(shù)).(1) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性；(2) 是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(xt) +f(x2t2)0對一切x R 都成立？若存在， 求出t;若不存在， 請說明理由.(1) f，(x) = ex+ ex,f(x)0 對任意x R 都成立,f(x)在 R 上是增函數(shù)._xx又Tf(x)的定義域?yàn)?R,且f( x) = e e =f(x),f(x)是奇函數(shù).存在.由(1)知f(x)在 R 上是增函數(shù)和奇函數(shù)，則f(xt) +f(x2t2)0對一切x R 都成立，?f(x2t2) f(tx)對一切x R 都成立，?x2t2tx對一切x R 都成立，?t2+10對一切x R 都成立.又t+ 220,.t+22=0,xTf(x) = e25康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年