2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(提高版)專題6.3幾何概型(解析版)

1、6.3幾何概型【套路秘籍】-千里之行始于足下1.幾何概型設(shè)D是一個可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地 取一點，區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指 定區(qū)域d中的點這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置 無關(guān)我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型.2 .幾何概型的概率計算公式一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生d的測度的概率P(A) =D勺測度.3 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點(1) 無

2、限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2) 等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.4 隨機模擬方法(1) 使用計算機或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是 模擬方法.(2) 用計算器或計算機模擬試驗的方法為隨機模擬方法.這個方法的基本步驟是用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù) N;計算頻率fn(A)=乍為所求概率的近似值.【修煉套路】-為君聊賦今日詩，努力請從今日始考向一長度【例 1】某公司的班車在 7: 00, 8: 00,8 : 30 發(fā)車，小明在 7: 50

3、至 8: 30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10 分鐘的概率是_1 【答案】2【解析】如圖所示，畫出時間軸.小明到達(dá)的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車|【套路總結(jié)】I 求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法b求與長度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度（角度），然后求【舉一反三】21.在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)P,則方程x+ 2px+ 3p 2= 0 有兩個負(fù)根的概率為 _2 【答案】32【解析】 方程x+ 2px+ 3p 2= 0 有兩個負(fù)根，24p 4 3p 2

4、 0,2即2p 2 或30,的時間不超過 10 分鐘，根據(jù)幾何概型，得所求概率p=10+104012.A 0,則有X1+X20,則所求概率為P= 510325 = 3.2 在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)X,則事件“1 log1（x丄） 1”發(fā)生的概率為2 2【答案】341113【解析】 由1wlog,(x ) x,所表示的平面區(qū)域為M x2+y2w1 所表示的平面區(qū)域為N,現(xiàn)隨機向區(qū)2xy4w0域M內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為 _ .1 12面積為/ 6X8 = 24,而“恰在離三個頂點距離都小于1”正好是一個半徑為1 的半圓，面積為2nX12=【答案(1)n483n64【解析(1)

5、螞蟻活動的范圍是在三角形的內(nèi)部，三角形的邊長為6,8,10，是直角三角形,(2)畫出兩不等式組表示的平面區(qū)域,n，根據(jù)幾何概型的概率公式可知其到三角形頂點的距離小于1 的地方的概率為冗24一48,易知A(4,4) ,B4, -4,OAL 0B平面區(qū)域M的面積SAO=卜nn43nX13=.由幾何概型的概率計算公式，得P=-= “= 一41664AOB3I【套路總結(jié)】II求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量L看成點的坐標(biāo)，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.【舉一反三】1 已知P是厶ABC所在平面內(nèi)一點，PB+PCT2PA= 0,現(xiàn)將一

6、粒黃豆隨機撒在厶ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是_1【答案】2【解析】 以PB PC為鄰邊作平行四邊形PBDC貝 UPB+ PC=PD,因為PB+PC 2PA= 0,所以PB+lPC=- 2lPA得PD=- 2PA由此可得，P是厶ABC邊BC上的中線AO的中點，點P到BC的距離等5PBCABC內(nèi) ,黃豆落在厶PBC內(nèi)的概率為 -ABC_ 1=2.是_.3 22 .在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個數(shù)，記為m和 n ,貝 U 方程m+存=1 表示焦點在x軸上的橢圓的概率則圖中陰影部分為兩不等式組的公共部分,3X 4.2=3，陰影部分的面積S=4X334于A到BC距離的 2,所以SPB=ABC

7、,所以將一粒黃豆隨機撒在1 【答案】22 2x y【解析】方程1 表示焦點在x軸上的橢圓，mn.如圖，4耳/m-n21/I23 4： Jffi由題意知，在矩形ABCD任取一點Q(m n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m= n恰1好將矩形平分，所求的概率為P=2考向三體積【例 3】(1 )在棱長為 2 的正方體ABCAiBCD中，點0為底面ABCD勺中心，在正方體ABCABCD內(nèi) 隨機取一點P,則點P到點0的距離大于 1 的概率為_ .(2)如圖，在一個棱長為 2 的正方體魚缸內(nèi)放入一個倒置的無底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向

8、魚缸內(nèi)隨機地投入一粒魚食，則魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是 _ .nn【答案】(1) 1 -12(2) 1-431432,X nX123n【解析】(1)記“點P到點0的距離大于 1 ”為A,P(A) =-=1 -12.【解析】因為在/DAB內(nèi)任作射線AP,所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是/DAB當(dāng)射線AP與線2（2）魚缸底面正方形的面積為 2 = 4,圓錐底面圓的面積為nn的概率是1-4.【套路總結(jié)】對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積（總空間）以及事件的體積（事件空間），對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.【舉一反三】1 如圖，在長方體ABCABCD中，有

9、一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐AABD內(nèi)的概率為_1【答案】611iV因為VAABD=VA ABD= 3AAXSAABEAAXS矩形 ABC芒長方體，故所求概率為 亠匹V長方體考向四角度【例 4】如圖，四邊形ABCC為矩形，AB=J3,BC=1，在/DAB內(nèi)任作射線AP則射線AP與線段BC有公共點的概率為_.所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”16.【解段BC有公共點時，射線AP落在/CAB內(nèi) 則區(qū)域H為/CAB所以射線AP與線段BC有公共點的概率為/DA|_ 30 _ 1=90 =3.【舉一反三】1在 RtABC中，/A= 30,過直角頂點C作射線C收線段AB于點M則AMA

10、C的概率為_.1【答案】 a6【解析】 設(shè)事件D為“作射線CM使AMAC.在AB上取點C使AC=AC因為ACC是等腰三角形，180 - 30所以/ACC=-2-=75，事件D發(fā)生的區(qū)域口D= 90 - 75= 15HD151構(gòu)成事件總的區(qū)域90，所以P(D)= 丄=而=2.HQ906B.C.D.【運用套路】-紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行1 如圖所示的長方形內(nèi)，兩個半圓均以長方形的一邊為直徑且與對邊相切，在長方形內(nèi)隨機取一點，則此 點取自陰影部分的概率是()4【答案】C【解析】如下圖所示:本題正確選項:2 最近各大城市美食街火爆熱開，某美食店特定在2017 年元旦期間舉行特大優(yōu)惠活動，凡消費達(dá)到88 元以上者，可獲得一次抽獎機會 已知抽獎工具是一個圓面轉(zhuǎn)盤，被分為時，就中“一等獎”，則一次抽獎抽中一等獎的概率是（）設(shè)長方形的長為4，寬為2，則AOB 120陰影部分的面積S 2-322723 1I、3所求概率為:6 個扇形塊，分別記為1 , 2, 3, 4,5, 6，其面積成公比為 3 的等比數(shù)列（即扇形塊2 是扇形塊 1 面積的 3 倍），指針箭頭指在最小的1 區(qū)域內(nèi)1111A.B.-C.-D.-401213641093【答案】C【解析】的