材料力學(xué)第七章_2_+空間應(yīng)力狀態(tài)及廣義胡克定律

1、材 料力學(xué)第第7 7章章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 目目 錄錄7- -1 應(yīng)力狀態(tài)概述應(yīng)力狀態(tài)概述7-2 7-2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析主應(yīng)力主應(yīng)力7-3 7-3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念空間應(yīng)力狀態(tài)的概念7-4 7-4 應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系7-5 7-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度7-6 7-6 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力7-7 7-7 強(qiáng)度理論的應(yīng)用強(qiáng)度理論的應(yīng)用材料力學(xué)實驗（拉、壓、扭）：材料力學(xué)實驗（拉、壓、扭）：5月月11日（本周日）日（本周日） 安全安全12-112-1、12-312-3：上午：上午9:00-12

2、:009:00-12:00 安全安全12-212-2、12-412-4：下午：下午3:00-6:003:00-6:00 安全安全12-512-5：晚上：晚上7:00-9:307:00-9:30材料力學(xué)期末考試材料力學(xué)期末考試考試時間：考試時間：6月月7日（日（15周周六）上午周周六）上午8:30-10:30?？荚嚪绞剑洪]卷、考試方式：閉卷、統(tǒng)考統(tǒng)考。cos2sin222xyxyx sin2cos22xyx 斜截面上的應(yīng)力：斜截面上的應(yīng)力：2max2min22xyxyx 主應(yīng)力的解析表達(dá)式：主應(yīng)力的解析表達(dá)式：1022tan ()xxy D xo o xy xA y yD應(yīng)力圓的作法：應(yīng)力圓的作

3、法：2 22 21 1 minmax最大和最小切應(yīng)力的表達(dá)式：最大和最小切應(yīng)力的表達(dá)式： 當(dāng)一點處的三個主應(yīng)力都不等于零時，稱該點處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)。7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介三向應(yīng)力狀態(tài)簡介已知已知受力物體內(nèi)某一點處三個受力物體內(nèi)某一點處三個主應(yīng)力主應(yīng)力利用應(yīng)力圓確定該點的最大利用應(yīng)力圓確定該點的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。首先研究與主應(yīng)力首先研究與主應(yīng)力 平行的斜截面上的應(yīng)力，由于平行的斜截面上的應(yīng)力，由于 作用作用平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應(yīng)力平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應(yīng)力 平行的斜截平行的

4、斜截面上的應(yīng)力與面上的應(yīng)力與 無關(guān)，這一組斜截面上的應(yīng)力在無關(guān)，這一組斜截面上的應(yīng)力在平面上平面上所對應(yīng)的點，必在由所對應(yīng)的點，必在由 和和 所確定的應(yīng)力圓的圓周上。所確定的應(yīng)力圓的圓周上。 3333 2 1 123A 1 2BC 3123123同理，可畫出另外兩個同理，可畫出另外兩個應(yīng)力圓。將三個應(yīng)力圓應(yīng)力圓。將三個應(yīng)力圓畫在同一平面上，稱為畫在同一平面上，稱為三向應(yīng)力圓。三向應(yīng)力圓。 O A 1O 2BC 31 2 3 k A 1O 2BC 3由三向應(yīng)力圓可見由三向應(yīng)力圓可見)(max3 31 12 21 1 1 1 max例題例題9 單元體的應(yīng)力如圖所示單元體的應(yīng)力如圖所示 ,作應(yīng)力圓作

5、應(yīng)力圓, 并求出主應(yīng)力和最大并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位切應(yīng)力值及其作用面方位.解解: 該單元體有一個已知主應(yīng)力該單元體有一個已知主應(yīng)力MPa20 z 因此與該主平面正交的各截面因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力上的應(yīng)力與主應(yīng)力 z 無關(guān)無關(guān), 依據(jù)依據(jù) x 截面和截面和 y 截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓圓. 求另外兩個求另外兩個主應(yīng)力主應(yīng)力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa40MPa , 20MPa20MPa , 20MPaxxyy 由由 x ， x 定出定出 D 點點 由由 y ， y 定出定出 D 點點以以 DD為直徑作應(yīng)力圓為直徑作應(yīng)力圓A

6、1，A2 兩點的橫坐標(biāo)分別代兩點的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個主應(yīng)力表另外兩個主應(yīng)力 1 和和 3 A1A2 O C 1 3 1 =46MPa , 3 =-26MPa該單元體的三個主應(yīng)力該單元體的三個主應(yīng)力 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)力圓根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)力圓MPamax3636 132E11 E21 E31 32111E 一、廣義胡克定律一、廣義胡克定律7-5 廣義胡克定律廣義胡克定律 32111E 13221E 21331E xyxyxzxzyxyzzxzy,yzyzG ,xyxyG Gzxzx zyxxE 1 xzyyE 1 1

7、zzxy E 主應(yīng)變方向與主主應(yīng)變方向與主應(yīng)力方向相同；應(yīng)力方向相同； 線應(yīng)變與切應(yīng)力無關(guān)，線應(yīng)變與切應(yīng)力無關(guān)， 切應(yīng)變與正應(yīng)力無關(guān)。切應(yīng)變與正應(yīng)力無關(guān)。y 例題例題5 5 邊長邊長 a = 0.1m 的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，的銅立方塊，無間隙地放入體積較大， 變形可略去不計的鋼凹槽中變形可略去不計的鋼凹槽中, 如圖所示如圖所示. 已知銅的彈性模量已知銅的彈性模量 E=100GPa，泊松比泊松比 =0.34，當(dāng)受到當(dāng)受到F=300kN 的均布壓力作用的均布壓力作用時，求該銅塊的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。時，求該銅塊的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力323

8、00 1030MPa0.1zFA aaaFxzy x y z 10 xxyz E 10yyzxE 22(1)0.34(10.34)( 30)-15.5MPa11-0.34xyz MPa51521. MPa303 MPa25.7)(2131max K 例例11.6 11.6 圖示矩形截面簡支梁，在梁的跨中受一集中力作圖示矩形截面簡支梁，在梁的跨中受一集中力作用，測得中性層上用，測得中性層上K點處沿點處沿45方向的線應(yīng)變?yōu)榉较虻木€應(yīng)變?yōu)?。已知。已知材料的彈性模量材料的彈性模量 E 和泊松比和泊松比 ，試求集中力，試求集中力F 的大小。的大小。K bh解：解：k點為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，單元體如圖所示。

9、點為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，單元體如圖所示。 2FFSbhFAFS4323（a） 由上式解出由上式解出43(1)KbhEF102 3（b）由廣義胡克定律由廣義胡克定律11231()KE （c） 1134KFEEbh（d） 將式（將式（a a）和式（）和式（b b）代入式（）代入式（c c），得），得bhFAFS4323（a） 例題例題11.711.7 從鋼構(gòu)件內(nèi)某一點的周圍取出一部分如圖所從鋼構(gòu)件內(nèi)某一點的周圍取出一部分如圖所示。根據(jù)理論計算已求得示。根據(jù)理論計算已求得 ， 。材料的彈性模量材料的彈性模量 ，泊松比，泊松比 。試求。試求對角線對角線AC的長度改變的長度改變 。MPa 30MPa 15G

10、Pa 200E3 . 0l 。25A30 C解：解： 3030 030 0cos 2 30( 15 )sin 2 3035.5 MPa22 12030 030 0cos 2 12015 sin 2 1205.5 MPa22 30301206311 35.5 MPa + 0.3 5.5 MPa185.8 10200 10 MPaE633025 mm185.8 109.29 10 mmsin30ACACll25A30 C二、各向同性材料的體積應(yīng)變二、各向同性材料的體積應(yīng)變123123構(gòu)件每單位體積的體積變化構(gòu)件每單位體積的體積變化, , 稱為體積應(yīng)變用稱為體積應(yīng)變用表示表示. .如圖所示的單元體，三個邊長為如圖所示的單元體，三個邊長為 a1 , a2 , a3變形后的邊長分別為變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為變形后單元體的體積為a1(1+ ，a2(1+ 2 ，a3(1+ 3 V=a1(1+ a2(1+ 2 a3(1+ 3 體積應(yīng)變體積應(yīng)變?yōu)椋簽椋?12233123123123123123123123 (1)(1)(1) (1) VVVaaaa a aa a aa a aa a aa a a 32111E 13221E 21331E )(213