2019高考數學考點突破——直線與圓：直線與圓、圓與圓的位置關系學案

1、 直線與圓、圓與圓的位置關系 【考點梳理】 1 判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法 幾何法：禾U用圓心到直線的距離 d和圓半徑r的大小關系：dr?相離. (2)代數法：聯(lián)立直線I與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計算判別式 = 2 b - 4ac, 0?相交,= 0?相切, 0), 圓 Q： (x- a?) + (y- b2)=2(20). 、方法 幾何法：圓心距d與1,眩的 代數法：聯(lián)立兩個圓的方程組成方 位置關系、 關系 程組的解的情況 相離 dr1+2 無解 外切 d= r 1+2 一組實數解 相交 |2 r 1| dr 1 +2 兩組不同的實數解 內切 d= | r 1-

2、 r2|（ r 1*2） 一組實數解 內含 0 d| r 1- r2|（ r 1*2） 無解 【考點突破】 考點一、直線與圓的位置關系 【例1】(1)直線I : mx-y + 1 - m= 0 與圓C： x2 + (y- 1) 2= 5 的位置關系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定 (2)圓x2 + y2= 1 與直線y = kx+ 2 沒有公共點的充要條件是 _ . 答案 A (2) 3 v kv .3 | m 廠 解析(1)法一：圓心(0 , 1)到直線l的距離d= 21 1,即一2一 1,解得一 3v kv 3. k + 1 * 中 【類題通法】 判斷直線與圓的位置關系的

3、常見方法 (1) 幾何法：利用d與r的關系. (2) 代數法：聯(lián)立方程之后利用 判斷. (3) 點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交 上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題 【對點訓練】 2 2 1圓(X 1) + (y + 2) = 6 與直線 2X+ y 5= 0 的位置關系是( ) A.相切 B.相交但直線不過圓心 C.相交過圓心 D.相離 答案B |2 X 1 2 5| 廠 l 解析由題意知圓心(1 , 2)到直線 2x+ y 5 = 0 的距離d= - 22= 50 的前提下，利用根與系數的關系，根據弦長公式求弦長 (2) 幾何方

4、法：若弦心距為 d,圓的半徑長為r，則弦長I = 2 r2 d2. 【對點訓練】 過點(3 , 1)作圓(x 2)2+ (y 2)2= 4 的弦，其中最短弦的長為 _ . 答案2 2 解析設P(3 , 1)，圓心C(2 , 2)，則|PQ = 2，半徑r = 2,由題意知最短的弦過 R3 , 1)且與PC垂直，所以最短弦長為 2 .22( .2) 2= 2 2. 【例 3】過點R2 , 4)引圓(x 1)2 + (y 1)2= 1 的切線，則切線方程為 _ . 答案x = 2 或 4x 3y+ 4= 0 解析當直線的斜率不存在時，直線方程為 x = 2,此時，圓心到直線的距離等于半徑， 直線與

5、圓相切，符合題意； 當直線的斜率存在時，設直線方程為 y 4 = k(x 2)，即kx y+ 4 2k= 0, 直線與圓相切，.圓心到直線的距離等于半徑, | k 1 + 4 2k| |3 k| 4 即 d=k2+( 1) 2=一k2+1 = 1，解得 k = 3, 4 4 所求切線方程為 3x y + 4 2X 3 = 0,即 4x 3y + 4= 0. 綜上，切線方程為 x= 2 或 4x 3y+ 4 = 0. 【類題通法】 + 2 = a+2,解得a 5 圓的切線方程的兩種求法6 (1)代數法：設切線方程為 y yo= k(x - X。)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一 元二次方

6、程，然后令判別式 = 0 進而求得k. (2)幾何法：設切線方程為 y yo= k(x xo)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線 的距離d,然后令d= r,進而求出k. 【對點訓練】 過點(3 , 1)作圓(x 1)2+ y2= r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為 ( ) A. 2x+ y 5 = 0 B. 2x+ y 7 = 0 C. x 2y 5 = 0 D. x 2y 7= 0 答案B 解析過點(3 , 1)作圓(x 1)2+ y2= r2的切線有且只有一條，點(3 , 1)在圓(x 1)2 2 2 1 0 1 + y2= r2上，圓心與切點連線的斜率 k = =-,切線的斜

7、率為一 2，則圓的切線方程為 y 3 1 2 1 = 2(x 3)，即 2x + y 7= 0. 考點三、圓與圓的位置關系 【例 4】已知兩圓 x2+ y2 2x 6y 1= 0, x2+ y2 10 x 12y+ m= 0. (1) m取何值時兩圓外切？ (2) m取何值時兩圓內切？ (3) 當 m= 45 時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長 2 2 2 2 解析因為兩圓的標準方程分別為 (x 1) + (y 3) = 11, (x 5) + (y 6) = 61 m 所以兩圓的圓心分別為(1 , 3) , (5 , 6)，半徑分別為.11, .61 m (1) 當兩圓外切時，由

8、(5 1) 2+( 6 3) 2= .11+ ,61 m 得 m= 25+ 10 11. (2) 當兩圓內切時，因為定圓半徑 11 小于兩圓圓心之間的距離 5 , 所以.61 m- 11 = 5 ,解得 m= 25 10 .11. (3) 由(x2 + y2 2x 6y 1) (x2+ y2 10 x 12y+ 45) = 0 ,得兩圓的公共弦所在直線的方 程為 4x + 3y 23= 0. 4 + 3X 3 23| 廠 丿=勸 7 故兩圓的公共弦的長為 2 ( ：11) 2 【類題通法】8 1.判斷兩圓的位置關系時常用幾何法， 即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系, 一般不采用代數法 2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x2, y2項得到. 【對點訓練】 2 2 2 2 1.圓（x + 2） + y = 4 與圓（x 2） + （y 1） = 9 的位置關系為（ ） A.內切 B .相交 C .外切 D .相離 答案B 解析兩圓圓心分別為（一 2,0） , （2 , 1），半徑分別為 2 和 3,圓心距d= 42+ 12= 17. 3 2d3+ 2 ,兩圓相交. 2.圓 x2 + y2 4= 0 與圓 x2+ y2 4x+ 4y 12 = 0 的公共弦長為 _ 答案2 2