2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八選考4系列選講第二講選考4-5不等式選講學(xué)案理

1、 第二講不等式選講 考點(diǎn)一含絕對值不等式的解法 1. |ax+ b| w c, | ax+ b| c型不等式的解法 若 c0，貝 U | ax + b| w c? c c? ax+ bc 或 ax+ bw c, 然后根據(jù)a, b的取值求解即可； (2) 若c c的解集為 R. 2. | x a| + | x b| c, | x a| +1 x b| w c(c0)型不等式的解法 (1) 零點(diǎn)分段討論法. (2) 絕對值的幾何意義. (3) 數(shù)形結(jié)合法. 【例1】(2018全國卷門已知g=工十11 一 a l. 當(dāng)a = l時(shí).求聲等式柏解集！ 若jre(oa)時(shí).不等置/CTAr證立怎&

2、;矗取估血曲1,絕對II不靜貳的求解與函散的塚合宜題 3-絕對值不等笛中立問題與不等式的遷更相1結(jié)合. 核心考點(diǎn)突破H exinkaodiantupo 樸典例精析 題型突破 切人點(diǎn):采取零點(diǎn)分股討論2 解(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x) = |2x+ 1| + |2x- 1|， ajc 1丨Vl f按照“WO和()分類求解 解(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x) = |x +1| - |x1| , -2, x- 1, 即 f (x) = 2x,- 1x 1. 故不等式f (x)1 的解集為jX x2 乙 當(dāng) x (0,1)時(shí) | x + 1| - | ax- 1|x 成立等價(jià)于當(dāng) x (0,1)時(shí)

3、 |ax- 1| 1； 若 a0 時(shí)，貝 U | ax- 1|1 的解集為，x 0 x . 所以 2 1,故 0aw 2. a 名師點(diǎn)撥卜 用零點(diǎn)分段討論法解絕對值不等式的 4 步 (1) 令每個(gè)絕對值符號的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根； (2) 將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間； (3) 由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集; (4) 取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集. 對點(diǎn)訓(xùn)練 (2018 湖北黃岡模擬)已知函數(shù) f (x) = |2 x-a| + |2x- 1|( a R). (1)當(dāng)a=- 1 時(shí)，求f (x) W2的解集. (2)若f(x

4、) w |2 x + 1|的解集包含集合 2 1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 3 1 1 x+1 + x-2 由f (x) 2得 w 1. 4 11 11 上述不等式化為數(shù)軸上點(diǎn) x到兩點(diǎn)一-,的距離之和小于等于 1，則一 2 三xWp即原 不等式的解集為|2, 2 / f(x) W|2X+ 1|的解集包含 , 1 I, 2 |2 x a| + 2x 1W2 x+ 1 , 即 |2 x a| W 2,. 2x 2 aW2x + 2 在 x , 1 上恒 - (2 x 2) maxW aW (2 x+ 2) min, 0W a W 3.當(dāng) x |2, 1 時(shí)，不等式 f (x) W |2 x+ 1|

5、恒成立, 5 考點(diǎn)二含絕對值不等式的綜合問題 1.定理 1：如果a, b是實(shí)數(shù)，則|a+ b| 0時(shí)，等號成立. 2定理 2:如果a, b, c是實(shí)數(shù)，那么|a c| 0時(shí)，等號成立. 角廐:絕對值的幾何意義及應(yīng)用 【例L (2018*全國卷|設(shè)詰就圧=夕一 |工十-lx-2 門當(dāng)=!時(shí)”求不等式的解集； 若求。粕取值范RL (1)零點(diǎn)分段法轉(zhuǎn)化不等式一求出解集 2x + 4, x w- 1, 解當(dāng) a= 1 時(shí)，f (x) = 2, 12. 可得f(x) 0的解集為x| 2w xw3. (2) f (x) wi 等價(jià)于 |x+ a| + |x 2| 4. 而| x + a| + | x 2|

6、 | a + 2|，且當(dāng)x = 2 時(shí)等號成立. 故 f (x) wi 等價(jià)于 | a + 2| 4. 由| a+2| 4可得aw 6 或a2.角度 2 :含絕對值不等式的恒成立問題 角度：含絕對值不等式的恒成立問題 【例2】設(shè)畫數(shù)”知=工+1上一討. 宀切人點(diǎn)：轉(zhuǎn)化為仆段函數(shù)冋題一 當(dāng)汁綱$時(shí)球叫昨: . ，戔鍵帚轉(zhuǎn)化為帛值問題借助絕 若口工)=i-lh求丕茅云應(yīng)空二狂蘭二3上辰_應(yīng)云甬的五福括曲. 對值幾何意義求解， 、切人貞 利川絕對值的幾何意義 進(jìn)行轉(zhuǎn)比. 利用絕對值的幾何意義 轉(zhuǎn)化為關(guān)于&的不等式 解題指導(dǎo) (1) 把厲的值代 入已知函數(shù) 去掉絕對 值符號 求得 結(jié)論 轉(zhuǎn)化已

7、知 不等式 根捋不等式恒成立 的條件，構(gòu)造關(guān)于a 的不等式 解不等丸 得出口的取 值范圍 6 解由題意得，當(dāng)a= 2018 時(shí),7 f (x)= 2018, xx- f (x)恒成立，知 | x + 1| + | x- a|2 恒成立, 即(I x+ 1| + | x a|)min 2. 而|x +1| + |x-a| |( x+ 1) -(x-a)| = |1 + a| , 所以 |1 + a|2，解得 a1 或 a- 3. |名師點(diǎn)撥 絕對值恒成立問題應(yīng)關(guān)注的 3 點(diǎn) (1) 巧用 “ | a| - | b| | a b| 1 a| + | b| ” 求最值. (2) f(x)a 恒成立?

8、 f ( x) max a 恒成立? f(X)mina. (3) f(x)a 有解? f (x) min a 有解? f (x)maxa. 對點(diǎn)訓(xùn)練 1. 角度 1(2018 山東淄博模擬)設(shè)函數(shù)f(x) = |x+ 4|. (1) 若y= f(2x+ a) + f (2x- a)的最小值為 4,求a的值； 1 (2) 求不等式f (x)1 -?x的解集. 解(1)因?yàn)?f (x) = | x+ 4| , 所以 y = f (2 x + a) + f (2 x- a) = |2 x + a+ 4| + |2 x- a+ 4| |2 x + a+ 4- (2 x- a+ 4)| =|2 a| ,

9、 又 y = f(2x + a) + f (2x - a)的最小值為 4, -12 a| = 4, a= 2. x + 4 x-4 , (2) f (x) = |x + 4| = 0 x =- 4 , I ” -4 - x x1 - ?x等價(jià)于 1 x+ 41 - x(x-4 ) 1 01 -?x x =-4 , 1 -4- x1 - 2(x2018, 8 解得 x 2 或 x1 2X的解集為x| x 2 或x g(x); (2)若存在x R,使得f (x) w g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 當(dāng)a= 0 時(shí)，由f (x) g( x)得|2x +1| | x| ,兩邊平方整理得 3x

10、+ 4x+1 0, 1 - 1 解得x 3，-原不等式的解集為(8, 1 U | - ,+8 !： (2)由 f(x) w g(x)得 a |2x+ 1| |x| , 令 h(x) = |2x+1| |x| , 1 3x + 1, 2x0, (n 1 故 h(x) min = h , 1 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a 2 考點(diǎn)三不等式的證明 定理 1：設(shè)a, b R,貝U a2 + b22 ab.當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號成立. a+ b I 定理 2：如果a, b為正數(shù)，則一廠 .ab,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，等號成立. 【例】(2017 *全國卷II 已知a0J；0,u3-&a=2.證明：

11、關(guān)謎點(diǎn)采用直接法代攪小- 4 逐歩化簡. 關(guān)鋰點(diǎn)：利出 3忙*逬斤轉(zhuǎn)代. 貼合蟲慕不尊式誣胡. 證明(1)( a+ b)( a5+ b5) =a6 + ab5 + a5b+ b6 則 h(x)= 定理 3：如果a, b, c為正數(shù)，則 吐嚴(yán)J.abc,當(dāng)且僅當(dāng) a= b= c時(shí)，等號成立. 4.10 (2)因?yàn)?a+ b)3= a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3 =2+ 3ab( a+ b) 2 3fa+ b 2 w 2+ 4 一(a+ b) =2+3a+ b3 十 4 ， 3 所以(a+ b) w 8,因此 a+ bw 2. |名師點(diǎn)撥 證明不等式的方法和技巧 (1) 如果已知條件與待證明

12、的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題 以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法. (2) 在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證 明.尤其是對含絕對值不等式的解法或證明， 其簡化的基本思路是化去絕對值號， 轉(zhuǎn)化為常 見的不等式(組)求解多以絕對值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、 并起來”為簡 化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù). 對點(diǎn)訓(xùn)練 已知實(shí)數(shù) a, b, c滿足 a0, b0, c0,且 abc= 1. (1)證明：(1 + a)(1 + b)(1 + c) 8； 111 證明： a+

13、b+ cw-+【+-. 、 、 a b c 證明(1) T1 + a2 a, 1 + b2 b, 1 + cc, (1 + a)(1 + b)(1 + c) 2 a2 b2 c = 8 abc, / abc= 1,. (1 + a)(1 + b)(1 + c) 8. T ab+ bc2 ab2c = 2 b, ab+ ac2 a bc= 2 a, bc+ ac2 abc = 2 c, 上面三式相加得， 2ab+ 2bc+ 2ca2 a + 2 b+ 2 c, 即 ab+ bc+ ca , a+ b+ c. 1 1 1 11 又一 + 匚+ 一= ab+ bc+ ac, abc ,a+ b +

14、/c w+ . abc 高考真題體驗(yàn)G環(huán)網(wǎng)h血iti押D ，於細(xì)硏真題 探明考向 12 1. (2017 全國卷 I )已知函數(shù) f(x) = x + ax+ 4, g(x) = | x +1| + | x-1|. 當(dāng)a= 1 時(shí)，求不等式f (x) g(x)的解集； (2)若不等式f (x) g( x)的解集包含1,1，求a的取值范圍. 解(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，不等式 f(x) g(x)等價(jià)于 x x + |x+ 1| + |x 1| 40. 當(dāng)x 1 時(shí)，式化為 x2 3x 4W 0,無解； 2 當(dāng)一K xwi時(shí)，式化為 x x 2 0,從而一 1 x1 時(shí)，式化為 x2+ x4 0,從

15、而 1x g(x)的解集包含1,1等價(jià)于當(dāng)x 1,1時(shí)f(x) 2. 又f (x)在1,1的最小值必為f( 1)與f(1)之一，所以f( 1) 2且f(1) 2,得一 1 w aw 1. 所以a的取值范圍為1,1. 解法二(分類討論法)：當(dāng)x 1,1時(shí)，g(x) = 2,所以f (x) g(x)的解集包含1,1 等價(jià)于 x 1,1時(shí) f (x) 2, 2 即一x + ax+42, 當(dāng) x = 0 時(shí)，一x2 + ax+42 成立； 2 2 2 當(dāng)x (0,1時(shí)，x + ax+42可化為a x-，而y= x-在(0,1單調(diào)遞增，最大 x x 值為1,所以a 1; 9 2 2 當(dāng) x 1,0）時(shí)，

16、一x2+ ax+42 可化為 aw x一，而 y= x在1,0）單調(diào)遞增, x x 最小值為 1,所以aw 1. 綜上，a的取值范圍為1,1. 2. (2018 全國卷川)設(shè)函數(shù) f (x) = |2x+ 1| + |x 1|.所以f (x) g(x)的解集為 2 13 1 y 1 0 1 畫出y= f(x)的圖象； 當(dāng)x 0 ,+)時(shí)，f (x) ax+ b 求a+ b的最小值. 1 3x, x 2, 1 x + 2, 2 w x 1. y= f (x)的圖象如圖所示. / Z V 1 O 1 (2)由(1)知，y= f (x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，且各部分所在直線斜率的最大 值為

17、 3,故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí)，f(x) w ax+ b在0 ,+)成立，因此 a+ b的最小值 為 5. 感悟高琴(1) f(x)= 14 1.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一， 考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對值不等式的解 法等，命題的熱點(diǎn)是絕對值不等式的求解，以及絕對值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解. 2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的 應(yīng)用. 專題跟蹤訓(xùn)練(三十三) 1. (2018 廣州二模)設(shè)函數(shù) f(x) = |2x+ 3| + |x - 1|. (1)解不等式f(x)4 ; 若？ x a, 2，不等式a+ 1f (x)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍

18、. 解(1) f (x) = |2x+ 3| + |x 1| , 3x 2, x1, Ix 24 茲 x w 1, x1, 或丫 2 或 t Ix + 24 x + 44 ? x 2 或 01. 不等式 f (x)4 的解集為(一a, 2) U (0，+a). I 由知，當(dāng)x 2 時(shí)，f (x) = Ix 2, I 5 當(dāng) x2, 5 I - a+ 1w 2,即卩 aw 實(shí)數(shù)a的取值范圍為ia, I 2. (2018 河南新鄉(xiāng)二模)已知函數(shù) f(x) = | x 4| + |x 1| I. (1) 求不等式f (x) W2的解集； (2) 若直線y = kx 2 與函數(shù)f (x)的圖象有公共點(diǎn)，求 k的取值范圍.-f(x)= f(x)4? I x2， 15 故不等式f(x) 2的解集為0,5 2 - 2x, x 1, (2) f (x) = |x 4| + | x 1| 3= 0, 1x 4, 當(dāng)此直線與直線 AD平行時(shí)，k = 2. 故由圖可知，k (汽一 2) U 1 ,+ . 3. (2018 大慶二模)已知 f (x) = |x + 3| + |x 1| , g(x) = x + 2mx (1)求不等式f(x)4 的解集； 若對任意的X1,