向量代數(shù)與空間解析幾何-期末復(fù)習(xí)題-高等數(shù)學(xué)下冊-(上海電機(jī)學(xué)院)

1、向量代數(shù)與空間解析幾何-期末 復(fù)習(xí)題-高等數(shù)學(xué)下冊-（上海電 機(jī)學(xué)院）第七章空間解析幾何參考答案第七章空間解析幾何、選擇題1 .在空間直角坐標(biāo)系中，點（1,2,3）在DA.第一卦限B.第二卦限C.第三卦限D(zhuǎn).第四卦限2 .方程2x2 y2 2在空間解析幾何中表示的圖形為C A.橢圓B. 圓 C. 橢圓柱面 D.圓柱面3 .直線I,： f ”與12： xxy的夾角是C A. 4B. 3C. 2D. 04.在空間直角坐標(biāo)系中，點（1, 2,3 ）關(guān)于xoy 平面的對稱點是D A.（-1,2,3）B.（1，-2,3）C.（-1,-2,3）D.(1,2,-3)5.將xoz坐標(biāo)面上的拋物線z2 4x繞z

2、軸旋轉(zhuǎn)周，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程是B B.A.z 4(x y)2, 22z 4 x yC. y2 z2 4xD.y2 z2 4x6.平面2x-2y+z+6=0與xoy平面夾角的余弦是 B A.B.C.D. 27 .在空間直角坐標(biāo)系中，點(1, 2,3 )關(guān)于yoz 平面的對稱點是A A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3) 228 .萬程5 9 z2表示的是B a bA.橢圓拋物面 B.橢圓錐面C.橢球面 D.球面9 .已知 a =0,3, 4, b =2,1, -2,則projab C -10 -A.3 B. 3 C. -1D.110.DA.C.(a?b)

3、已知a,b為不共線向量,則以下各式成立的是2 2 一 2a b (a?b)(a?b)2 (a b)222 2(a b) a bB.a2 b2 (a b)2D.11 ,直線11的方程為X/3：v 029z 0，直線12的方程為3 1X 30 y 29Z 030xy 3Zy 030z 0，則I，與12的位置關(guān)系是DA.異面B.相交C.平行D.重合12 .已知A點與B點關(guān)于XOY平面對稱，B 點與C點關(guān)于Z軸對稱，那么A點與C點是 CA.關(guān)于XOZ平面對稱B.關(guān)于YOZ平面對稱C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線X y z對稱13 .已知A點與B點關(guān)于YOZ平面對稱，B點 與C點關(guān)于X軸對稱，那么A點與C點

4、CA.關(guān)于XOZ平面對稱B.關(guān)于XOY平面對稱C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線x y z對稱14 .下列那個曲面不是曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成 的CA. x2 y2 z2 1B. x2 y2 z 1 C. x2 y z 1D. x y2 z2 115 .已知a,b為不共線向量，則下列等式正確的是 CA. a a a2B. a?(a?b) a2bC. a?(b?b) ab2D.a2b2 (a?b)216 .已知向量a (1,2,1)b (3,4, 3),那么以a,b為兩邊 的平行四邊形的面積是 BA.20B. 10 2C.10D.5 217 .已知直線l方程x 2y 3z 0與平面方程 3x 4y 5z

5、0x z 2 0,那么l與的位置關(guān)系是CA. i在內(nèi)B. i垂直于C. i平行于D.不能確定18 .兩向量a,b所在直線夾角ab 0,那么下列 說法正確的是BA. a，b 夾角 B. a,b 夾角 343r或4D.以上都不對C. a,b夾角可能19 .已知 |a| 1, |b| ?且(?,b)小貝 Ula b| (D ).(A) i(B) i 5(C) 2(D).520 .設(shè)有直線Xx3y2Zz 13oo及平面處”2。，則直線L ( C )。(A)平行于 (B)在上 (C)垂直于(D)與斜交22x z 21 .雙曲線7 7 1繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的y o(A)(C)(x y)2 之4522

6、2(B) 土 匚 14522(D)上口2145方程為(A)22 .點(a,b,c)關(guān)于y軸對稱的點是(D ).(A) ( a, b, c) (B) (a, b, c) (C) (a,b, c) (D) (a, b, c)23.已知 a 4, 3,4, b 2,2,1, 則 Prjb(a)(A )(A) 2(B) 2(C)641(D)64124 .x2 y2 1在空間表示(D ).(A)雙曲線 (B)雙曲面 (C)旋轉(zhuǎn) 雙曲面 (D)雙曲柱面25 .設(shè)a與b為非零向量，則a b。是(C).(A) a b的充要條件(B) a b的充要條件(C) a/b的充要條件(D) a/b的必要但不充分條件26

7、 .設(shè)平面方程為Ax Cz D 0,其中A,C,D均不為零， 則平面(B).(A)平行于x軸(B)平行于y軸 (C)經(jīng)過x軸(D)經(jīng)過y軸27 .已知等邊三角形ABC的邊長為1,且Buv a , CAb, ABvc,則 abbcca (D).(A)(B) 1(C) i(D) 128 .點M(2, -3, 1)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是(A )(A)(-2, 3,-1)(B)(2 -3, -1)(C) (2, -3, -1)(D)(2 3, 1)29 .平面2x-3y-5=0的位置是( B )(A) 平行于XOY平面(B)平行于Z軸(C) 平行于 YOZ 平面(D) 垂直于Z軸30.點A(-2,3,

8、 1)關(guān)于Y軸的對稱點是( D ) (A) (2,-3, 1)(B) (-2,-3,-1)(C) (2, 3,-1)(D) (2,-3,-1)31 .過點(0, 2, 4)且與平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直線方程是(C )z 4x 2(A)(B)(D)y zx y 2 z 4(C) 瓦丁2x 3(y 2) z 4 032 .二個平面：2 5 1和2x+3y-4z=1位置關(guān)系是23 4(A )(B)重(A)相交但不垂直(D.)垂(C.)平行但不重合 直33.過點(2, 0, -3)且與直線x 2y 4z 7 03x 5y 2z 1 0垂直的平面方程是(A )(A) (B) (C) (D

9、)16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0(x 2) 2( y 0) 4(z 3) 03(x 2) 5( y 0) 2(z 3) 016(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 034.向量 a，b，C與三坐標(biāo)軸的夾角分別為則的方向余弦中的cos =( A )bbb；2,22(A) a b c (B) a b c (C) a b c (D)b2/2a b c22-35 .已知曲面萬程z三4 (馬鞍面)，這曲面 a b與平面z h相截，其截痕是空間中的(B )A.拋物線；B,雙曲線；C.橢圓； D. 直線。36 .點(3, 1 , 2)關(guān)于XOZ平面的對稱點是(B )(A)(-3,1

10、,2)第七章空間解析幾何參考答案- 12 -(D)(-3，37.(B) (3， -1， 2)曲線(C)-1， 2) 4x2 9 y2 z0(3，1，-2)36繞X軸旋轉(zhuǎn)一周,形成的曲面方程是 (A)(C)C )224x z4 x29y29 y236(B)36224x z(D) 4x9 y2 z2369y2 3638. 準(zhǔn)線為 XOY 平面上以原點為圓心、半徑為2的圓周，母線平行于Z軸的圓柱面方程是B ) (A) x x2 y2 4(B)2 xy39.(C) z2 4 球面y2 4 0(D)z2k2 與上的投影曲線方程是(A)2az yz022 az yx z a的交線在XOY平面D )(B)k

11、2(C)22xyaz022 xy ak2(D)第七章空間解析幾何參考答案=Bx，By，Bz垂直的充分必(B) a X B(D) a - B =0_J_當(dāng)pq<0時，方程表示過曲線2x2 y2 z； 16的柱x2 y2 z205、XOZ方程為6.已知向量 oab的面積是7、已知平面角為40.向量=Ax，AY，Az、b要條件是(A)(A) a . B =0=0Ax Ay Az(C) Bx By Bz二、填空題1 . a 3,b 4, a b 7,貝U a b 222 .有曲面方程二匕2z, p q '的曲面稱為雙曲拋物面3 .母線平行于x軸且通面方程是3y2 z2 164 .已知a,

12、 b , c都是單位向量)且滿足a+b+c=0,則3a b b c c a2平面內(nèi)曲線x2 z繞X軸旋轉(zhuǎn)，所得曲面422x y zOA (1,2,3),向量OB (2,3,4)那么三角形2i：x 2y z 3 0與 2； 3x y z 1 0)貝U其夾：,'66arccos338,點(1,2,0)在平面上x 2y z 1 0的投影為(f,f,|)3 3 39.設(shè)有直線L1： 一 T 1與L2： X y 6 ,貝h1與L2的1212yz 3夾角為310 .已知 |a| 2) |b| 2)(?,b)-貝U u 2a 3b 的模 |u|2，11.0已知向量a 3i 2j k 與 b 2i 3

13、j)則(2a)(3b) r r r:a b 3i 2j 13k7"12、平面x+2y-z+3=0和空間直線 彳 匕 一的 311位置關(guān)系是直線在平面上13.過點(2,-3, 6)且與Y軸垂直的平面為 y 3,此點關(guān)于xo用面的對稱 點是 2 3, 6,它與原點的距離為 7三：計算與證明1.求過點M(3, 1 -2)且通過直線 T 號：的平面 方程解：設(shè) N(4,-3, 0), s (5,2,1),由已知，MN (1, 4,2)是所求平面內(nèi)的向量又設(shè)所求平面的法向量是n ,取n MN s,i j k即： n 14 2 8i 9j 22k5 21故，所求平面的方程為：-8(x-3)+9(

14、y-1)+22(z+2)=0即：8x+9y+22z+59=02 .求與直線Li ： z相交且與直線L2 :23 IT彳/目交，與直線L3： ?一中平行的直線方程解：將Li, L2分別化為參數(shù)方程:x2t3y3t5)z tx 510y 47z對于某個t及值，各得L1, L2上的一點， 分別記為Mt, M貝U向量Mt m =(2t-3)-(5+10)i+(3t+5)-(4-7)j+(t- )k=(2t-5-13 )i+(3t-4+12)j+(t- )k令向量MtM平行于L3)即有 2t-5 -13 3t-4 +12 t- 871解得t=與，于是Mt (-28,梟 25)6525故所求直線為：室f

15、123 .直線L過點M(2, 6,3),平行于平面 :x-2y+3z-5=0 且與直線 Li ： = J2 一相交, 582求L的方程解：過點M平行于的平面方程為(x2)2(y6)+3(z-3)=0即:x-2y+3z=0再求它與直線Li的交點，將Li寫成參數(shù) 方程：x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t代入上述平面方程得：t=-1所以交點為P(7, 10, 4),又L過M, P 兩點即:故：L的方程為x 2y-6z-37-210-6 4-3x 2 y-6 z-3541-24 -4 .求過直線丁彳;且平行于直線楙：二的平面方程解：設(shè)平面法向量(皿)，則有方程2： ： 20解得C 

16、6;h c,于是可取法向量(1,2,0)2a b 0cab所以平面方程為(x 1) 2y 0 5、設(shè)a,b是平面上兩個不共線的非零向量, 為已知非零向量，求，解：方程兩邊同與 計作數(shù)量積得2ag3abg3a*此兩元一次方程組，得acabbcb22 aababb22 aacabbC2aababb21O6.求直線l： "J z : 0n在平面3x yx 2y 2z 2 03 0上的投影解：設(shè)平面束方程為其法向量為(2(2x y z 1)(2y 2z 2) 0于是由題意有3(2) (2)(取 7，4。直線方程為3x y z 3 010x 15y 15z 1 07.求原點到直線l：xx2；y

17、34z45°0的垂線與垂足，垂線要求參數(shù)方程。解：設(shè)為過原點且垂直于 法向量與l的方向一致。l的平面，則的一個l的方向:)(1,2, 1)。的方程將其與x 2y zl方程聯(lián)立，解得垂足坐標(biāo)(2 1 4)3, 3, 3于是垂線參數(shù)方程y2t31 t34t38 .已知直線一般方程為2x4x6y 5z4100，求其點向式方程。解：兩平面法向量分別為 向為(2,3, 1),(4, 6,5),故直線方4 4)(21, 14,0)故點向式方程為9 .在直線i： x y z 1 x z 0x 0, 3y z 4)得直線上一點(0,9) 6y 5z 1 0 721 7199y z 一x 21 70A

18、,使得它與原點所2114上求一點決定的直線與l的夾角為、.6arccos 3解：直線 l 方向(1,1, 1) (1,0, 1)(1,0, 1)設(shè)直線上一點A(x,1,x),則OA (xlx),據(jù)題意有Zx2g 2x2 1冬解此方程得x 1 ox 2y2共面。故A點坐標(biāo)為(1,1,1)或(1,1, 1)。10.證明：直線l1： I 平及直線12：證明:方 向 向 量n1 3, 2,6 （2 分）占八、A （2, 1,3） 11, B （1,0, 2）uuv12, AB 1,1, 5,由于這三個向量兩兩不平行)且uuv（n1 n2） AB26110（4分）15所以11與12共面(因為由上式知in

19、,器三向量共 面)。證法2： 11與12有交點：M( 1,1,3),故11與12共面。11.求通過直線11： 一 T 一及直線12：x 2y 1的平 211y z 2面方程。解：12的方向向量為n2 1,2,0 0,1,1 2, 1,1/ 5)所以 1i與 12平行(3分)。點 Mi ( 1, 2,1) 1i,且易知 M2 (1,0, 2) * M2 不在直線 1i 上(2分)。故所求平面就是兩相交直線11與蹴確 定的平面。它的法向量可取為i j kn 1 nM朧 211 i 8j 6k (3 分).2 23又Mi ( 1, 2,1)為已知平面上的點)所求平面的點 法式方程為(x 1) 8(y 2) 6(z 1)0) 即 x 8y 6z 11 0(2分)o12 的方向向量n21,2,0 0,1,1 2, 1,1（2分）li 的12 .已知 ABC的兩邊構(gòu)成的向量uuv 2i j k, Buv 3i 2j k ,求 ABC 的面積。在刀1 uuv uuv 1 uui uuv ,斛：Sabc 2|BA BC| 21AB BC|（2分），而uuv J j k公叩 AB BC 2 11 3i 5j k（2分），3 2 1所以潞BuvI底,從而Sabc g癡（2分）.13 .求直線x z 在平面x y z。上的投影方程。y 2z 4解：過直線x z