龔德恩 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第一分冊 微積分課件chapter8.7

1、8.7 二重積分二重積分 二重積分的概念二重積分的概念 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 niiibaxfdxxf10)(lim)( : , xa b積積分分區(qū)區(qū)間間積積分分變變量量 的的定定義義域域是是一一元元函函數(shù)數(shù)被被積積函函數(shù)數(shù))(:xfDyx的的定定義義域域),(為為二二元元函函數(shù)數(shù)被被積積函函數(shù)數(shù)),(yxf二二重重積積分分定積分的定義定積分的定義一重積分一重積分( , )Df x y d 曲頂柱體曲頂柱體 引例引例1：曲頂柱體的體積：曲頂柱體的體積高高),(yxfz D“分割分割,求和求和,取極限取極限”思想的應(yīng)用思想的應(yīng)用 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱

2、體的體積采用 “分割、求和、取分割、求和、取極限極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示 求求“曲頂柱體曲頂柱體”體積的演示體積的演示(1)用曲線將用曲線將D任意任意分成分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域 D1, D2, Dn , z = f (x,y)0yzxDDi求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積分割分割,近似近似Dif ( i , i)( i , i)z = f (x,y)iDiS 記記xyzo),(:yxfzS i ),(ii iiiVnDnD 體體積積為為個(gè)個(gè)小小曲曲頂頂柱柱體體曲曲頂頂柱柱體體被被分分為為相相應(yīng)應(yīng)地地面面積積為為個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域?yàn)闉槿稳畏址址址指罡畹诘谝灰徊讲?:小小曲

3、曲頂頂柱柱體體為為高高的的小小平平頂頂柱柱體體代代替替用用以以個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)域域上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在第第近近似似第第二二步步),(),(:iiiifi iiiifV ),(), 1(ni 求求和和第第三三步步 : niiiiniifVV11),( 取取極極限限第第四四步步 : niiiifV10),(lim 小區(qū)域最大直徑小區(qū)域最大直徑1,( , ).(,),(, ).iiiDf x yDDDin 設(shè)設(shè) 二二維維平平面面的的有有界界閉閉域域 函函數(shù)數(shù)在在 上上有有定定義義 對(duì)對(duì)于于 的的任任意意劃劃分分以以及及任任意意取取點(diǎn)點(diǎn)作作和和式式二重積分的定義二重積分的定義 niiiif1),( 1

4、max (), ().ndDdD 記記為為諸諸小小區(qū)區(qū)域域直直徑徑的的最最大大值值,),(lim10存存在在若若和和式式極極限限 niiiif 上上的的二二重重積積分分在在則則稱稱此此極極限限值值為為Dyxf),(:記記作作,),(上上可可積積在在并并且且稱稱函函數(shù)數(shù)Dyxf niiiiDfdyxf10),(lim),( 面積微元面積微元 積分區(qū)域積分區(qū)域 被積函數(shù)被積函數(shù)曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積 DdyxfV ),(:例例如如定義的理解定義的理解 微元法的體會(huì)微元法的體會(huì) 二重積分與二重積分與積分區(qū)域和被積函數(shù)積分區(qū)域和被積函數(shù)有關(guān)，與具有關(guān)，與具體的分割無關(guān)體的分割無關(guān) 幾何意義幾何意

5、義 二重積分不一定存在二重積分不一定存在 定理：若被積函數(shù)在閉區(qū)域定理：若被積函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則二上連續(xù)，則二重積分一定存在，即一定可積。重積分一定存在，即一定可積。2222 ,( , )|2 .zxyDx yxyx 例例 求求為為頂頂為為底底的的曲曲頂頂柱柱體體體體積積22 ()DVxyd 解解,( , )1, ( , )1()1.DDf x yf x y ddS DD 特別地時(shí)特別地時(shí)被積函數(shù)為 的二重積分為區(qū)域 面積被積函數(shù)為 的二重積分為區(qū)域 面積22 ,( , )|13.DdDx yxy 例例 計(jì)計(jì)算算2 , ( 3)2 .Dd 解 由幾何意義 因此二二重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)

6、2222220,:,.DVaxy dD xyaa思思考考：其其中中xyzo222yxaz 幾幾何何意意義義是是半半個(gè)個(gè)球球體體！性質(zhì)性質(zhì)1 1：（線性性質(zhì)）：（線性性質(zhì)）D( , )( , ),f x yg x yR 設(shè)設(shè)和和在在積積分分區(qū)區(qū)域域 上上可可積積 則則有有 Ddyxgyxf ),(),(性質(zhì)性質(zhì)2 2：（區(qū)域可加性）：（區(qū)域可加性）1212,DDDDD設(shè)設(shè)且且與與沒沒有有公公共共點(diǎn)點(diǎn) 21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf DDdyxgdyxf ),(),(性質(zhì)性質(zhì)3 3：（保號(hào)性）：（保號(hào)性）則則有有有有若若),(),(,),(yxgyxfDyx DDdyxgdy

7、xf ),(),(性質(zhì)性質(zhì)4:4:積分不等式積分不等式 dyxfdyxfDD ),(),(則則有有有有若若特特別別, 0),(,),(, yxfDyx0),( Ddyxf 性質(zhì)性質(zhì)5 5：( (估值定理估值定理) )有有若若,),(Dyx ,),(Myxfm MdyxfmD ),(的的面面積積表表示示積積分分區(qū)區(qū)域域其其中中D ( , ),!f x yD設(shè)設(shè)在在 上上可可積積 則則積積分分值值與與劃劃分分的的方方法法無無關(guān)關(guān) 故故可可以以取取特特殊殊的的劃劃分分方方法法計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分xyoxdxx ydyy dxdyd 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算xyzoD曲

8、曲頂頂柱柱體體的的體體積積)(xAxba),(:yxfzS )(1xyy )(2xyy DdxdyyxfV),( badxxAV)(21()()( ,)yxyxf x y dy?)( xA因因此此有有 累次積分累次積分二重積分二重積分先對(duì)先對(duì) y y 積分，積分，視視 x x 為常數(shù)為常數(shù) 兩次定積分兩次定積分二重積分二重積分21( )( )( , )( , )byxayxDf x y dxdyf x y dy dx 分分將將二二重重積積分分化化為為累累次次積積D關(guān)關(guān)鍵鍵是是積積分分區(qū)區(qū)域域 的的正正確確定定限限！xxyyoo)(1yxx )(2yxx cdy)(1xyy )(2xyy xab

9、型型區(qū)區(qū)域域圖圖 x:1型型區(qū)區(qū)域域圖圖 y:2X型積分區(qū)域計(jì)算二重積分型積分區(qū)域計(jì)算二重積分)(2xy abD)(1xyy Dba)(2xy )(1xy 21( )( )( , )( , )byxayxDf x y dxdyf x y dy dx 21( )( )( , )( , ).byxayxDf x y ddxf x y dy 一一般般地地： 12,Dx y axb yxyyxY-型積分區(qū)域上計(jì)算二重積分型積分區(qū)域上計(jì)算二重積分 Y-型積分區(qū)域型積分區(qū)域D：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.),(),()()(21 Ddcyy

10、dxyxfdydyxf 2121( )( )( )( )( , )( , )( , )( , ).bxaxDdycyDf x y ddxf x y dyf x y ddyf x y dx 直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算步驟直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算步驟步驟步驟1：作出：作出D的草圖的草圖步驟步驟2：結(jié)合：結(jié)合D和和f(x,y)的情況，選擇的情況，選擇D的形式，的形式，寫出寫出D的的X-型型,或或Y-型的形式型的形式.原則：分塊少，積原則：分塊少，積分容易計(jì)算分容易計(jì)算步驟步驟3：根據(jù)：根據(jù)D的形式的形式,二重積分化為累次積分二重積分化為累次積分例例xy)y,x(f 求求在區(qū)域在區(qū)域D上的二重積分，其中

11、上的二重積分，其中D為為 8xy2,xx0 x,yD2 x8x2xydyxyxy8 8 2 2xy (2,4)o24.xy,xy圍圍成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域由由曲曲線線8 82 2 解解 2dx0dxxydy2x8x2 0dxyx2xyxy 08 82 22 22 2 dxxx2 05 52 28 82 21 1361 1 dxyD ,1.Dxdxdy Dyyx y 例例由由 軸軸所所圍圍110 xdxxdy 解解 原原式式xy113211010|()xxydxxxdx 352210224()|3515xx 1, 10| ),( yxxyxD Dydxdyex22求求其中其中D D是以是以(0

12、,0) (1,1)、 (0,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域。為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域。 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey )e(2161 例例xyo(1,1)1 dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示考慮累次積分次序時(shí)，必須對(duì)考慮累次積分次序時(shí)，必須對(duì)y 后積分后積分y=x分部積分法分部積分法dttet 1061換元法換元法# 01,Dx, yy0 xy 交換積分次序交換積分次序例：改變積分例：改變積分 xdyyxfdx1010),(xy 1例：改變積分例：改變積分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2xy 22

13、2xxy 練習(xí)練習(xí)交換積分次序交換積分次序;),(1010 ydxyxfdy）（;),()2(2202dxyxfdyyy ;),()3(22221 xxxdyyxfdx.),()4(ln01 xedyyxfdx交交換換下下列列二二次次積積分分的的積積分分次次序序 ydxyxfdy010),(1）（解解 ,010yxyD二二重重積積分分的的積積分分區(qū)區(qū)域域?yàn)闉槿缦聢D所示：如下圖所示：故故dxyxfdyy 010),( 110),(xdyyxfdxxyoDdxyxfdyyy 2202),()2(解解 積分區(qū)域應(yīng)為積分區(qū)域應(yīng)為 yxyyD220:2 xyxx240或或故故 yydxyxfdy2202

14、),( xxdyyxfdx240),(如圖所示xyoD)2 , 4(故故 22221),(xxxdyyxfdx 211210.),(yydxyxfdy 22221),()3(xxxdyyxfdx解解積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?22 , 21:xxyxxD ,2 , 21yxx 或或1)1( , 2, 21022222 yxyxxxyx如圖所示xy)1 , 1(D2 xedyyxfdxln01),()4(積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)榻饨?ln0 ,1:xyexD 如右圖所示：如右圖所示： xedyyxfdxln01),(dxyxfdyeey ),(10oxy1)1 ,(eD計(jì)算積分計(jì)算積分 yxydxedyI

15、212141 yyxydxedy121 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 小結(jié)小結(jié) 二重積分的定義二重積分的定義 重點(diǎn)：二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)下）重點(diǎn)：二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)下） 理清思路理清思路 交換積分次序交換積分次序 作業(yè)：作業(yè)：T26(1)(4) T27(2)(4) T28(2)(4)求求“曲頂柱體曲頂柱體”體積的演示體積的演示(1) 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取分割、求和、取極限極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示求求“曲頂柱體曲頂柱體”體積的演示體積的演示(2) 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取分割、求和、取極限極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示求求“曲頂柱體曲頂柱體”體積的演示體積的演示(3) 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取分割、求和、取極限極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示求求“曲頂柱體曲頂柱體”體積的