高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教案一

1、導(dǎo)數(shù)的背景教學(xué)目標(biāo)理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義教學(xué)重點(diǎn)瞬時(shí)速度、切線的斜率、邊際成本教學(xué)難點(diǎn)極限思想教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課1.瞬時(shí)速度問(wèn)題1：一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？析：大家知道，自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是（其中g(shù)是重力加速度）.當(dāng)時(shí)間增量很小時(shí)，從3秒到（3）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度.從3秒到（3）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：從而，.從上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于29.4米/秒.此時(shí)我們說(shuō)，當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限是29.4.當(dāng)趨向于0時(shí)，平均速度

2、的極限就是小球下降3秒時(shí)的速度，也叫做瞬時(shí)速度.一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是ss（t），則物體在t到（t）這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為.如果無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限為a，這時(shí)a就是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度.2.切線的斜率問(wèn)題2：P（1,1）是曲線上的一點(diǎn)，Q是曲線上點(diǎn)P附近的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P趨近時(shí)割線PQ的斜率的變化情況.析：設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（1）2，點(diǎn)Q對(duì)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的增量（即函數(shù)的增量），所以，割線PQ的斜率.由此可知，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，變得越來(lái)越小，越來(lái)越接近2；當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限接近于點(diǎn)P時(shí)，即無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近

3、于2.這表明，割線PQ無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)P且斜率為2的直線.我們把這條直線叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.由點(diǎn)斜式，這條切線的方程為：.一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線C，P（），Q（）是曲線C上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P，即趨向于0時(shí)，如果割線PQ無(wú)限趨近于一個(gè)極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，割線PQ的斜率無(wú)限趨近于切線PT的斜率k，也就是說(shuō)，當(dāng)趨向于0時(shí)，割線PQ的斜率的極限為k.3.邊際成本問(wèn)題3：設(shè)成本為C，產(chǎn)量為q，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，我們來(lái)研究當(dāng)q50時(shí)，產(chǎn)量變化對(duì)成本的影響.在本問(wèn)題中，成本的增量為：.產(chǎn)量

4、變化對(duì)成本的影響可用：來(lái)刻劃，越小，越接近300；當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于300，我們就說(shuō)當(dāng)趨向于0時(shí)，的極限是300.我們把的極限300叫做當(dāng)q50時(shí)的邊際成本.一般地，設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為CC（q），當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，產(chǎn)量變化對(duì)成本的影響可用增量比刻劃.如果無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱(chēng)A為邊際成本.它表明當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，增加單位產(chǎn)量需付出成本A（這是實(shí)際付出成本的一個(gè)近似值）.二、小結(jié)瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)趨近于0時(shí)的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率當(dāng)趨近于0時(shí)的極限；邊際成本是平均成本當(dāng)趨近于0時(shí)的極限.三、練習(xí)與作業(yè)：1.某物體的運(yùn)動(dòng)方

5、程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s）求它在t2s時(shí)的速度.2.判斷曲線在點(diǎn)P（1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.3.已知成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為，求當(dāng)產(chǎn)量q80時(shí)的邊際成本.4.一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為，求t4s時(shí)此球在垂直方向的瞬時(shí)速度.5.判斷曲線在（1，）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.6.已知成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系為，求當(dāng)產(chǎn)量q30時(shí)的邊際成本.導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)與要求：理解導(dǎo)數(shù)的概念并會(huì)運(yùn)用概念求導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念以及求導(dǎo)數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過(guò)程：一、導(dǎo)入新課：上節(jié)我們討論了瞬時(shí)速

6、度、切線的斜率和邊際成本。雖然它們的實(shí)際意義不同，但從函數(shù)角度來(lái)看，卻是相同的，都是研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限。由此我們引出下面導(dǎo)數(shù)的概念。二、新授課：1.設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即注：1.函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。2.在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而可能為0。3.是函數(shù)對(duì)自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過(guò)曲線上點(diǎn)（）及點(diǎn)）的割線斜率。4.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)在點(diǎn)處變化

7、的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率。因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為。5.導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)在及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與無(wú)關(guān)。6.在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫(xiě)成。7.若極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。8.若在可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）有切線存在。反之不然，若曲線在點(diǎn)（）有切線，函數(shù)在不一定可導(dǎo)，并且，若函數(shù)在不可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)（）也可能有切線。一般地，其中為常數(shù)。特別地，。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)。稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，也可記作，即函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，即。所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)也記作。注：1.如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。2.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值。3.求導(dǎo)函數(shù)時(shí)，只需將求導(dǎo)數(shù)式中的換成就可，即4.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：（1）.求函數(shù)的改變量。（2）.求平均變化率。（3）.取極限，得導(dǎo)數(shù)。例1.求在3處的導(dǎo)數(shù)。例2.已知函數(shù)（1）求。（2）求函數(shù)在2處的導(dǎo)數(shù)。小結(jié)：理解導(dǎo)數(shù)的概念并會(huì)運(yùn)