等差數(shù)列和等比數(shù)列方法歸納

1、等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式-.蔦前n項和性質(zhì)判定方法等差數(shù)列的性質(zhì)的運用性質(zhì)1；在等差數(shù)列:a/f中，對任意的m,n N* ,有 a. = am (n - m)d,d = amn m性質(zhì)2 :在等差數(shù)列 玄中，若m n = p ,則ma n a = pa q特別地，m n =2 p則 ma “a =2 pa性質(zhì)3：數(shù)列aj是公差為d的等差數(shù)列，貝U Sm,S2m -Sm,S3m -S2m,仍是等差數(shù)列，且公差為m2d性質(zhì)4：在等差數(shù)列aj中，當項數(shù)為偶數(shù) 2n時，S偶-爲二nd , §奇如（中間兩S偶an卅項之比）；當項為奇數(shù)時，S偶-S奇二an （中間項），&#

2、167;奇二 （奇數(shù)項項數(shù)與偶數(shù)項項S（偶 n 1數(shù)之比）1、在等差數(shù)列:an ? 中，已知 a6 = 4, a*i3 = 18，求 a2i2、（1）已知等差數(shù)列an中，若 a3 a4a5a6a 450,則a?-a$二（2）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2 a5 a 12，則S9二3、一個等差數(shù)列的前n項和為Sn, So = 10 , S3 70 ,求S404、已知等差數(shù)列an的項數(shù)是奇數(shù)，a1 =1，奇數(shù)項之和是175,偶數(shù)項之和是150,求公等差數(shù)列的判定方法1定義法數(shù)列 3?中，anq -an二d （常數(shù)）二:a/f是等差數(shù)列2、等差中項法數(shù)列瓜中，2an an - a. 2 =

3、 ia/?是等差數(shù)列3、通項公式法數(shù)列g(shù)n中，an = kn b （關(guān)于n的一次式）u an '：是等差數(shù)列4、前n項和公式法數(shù)列an，中，Sn二A n2 Bn （關(guān)于n的二次式，無常數(shù)項）=a,是等差數(shù)列a 11、已知數(shù)列 込中，印=1，且a2anj 2n，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求a.12 J22、已知數(shù)列的前n項和為Sn =n -9n，其中5 ： ak : 8,求k等差數(shù)列前n項和最值的求法1通項法一一根據(jù)數(shù)列的增減性（1 ）當4 0,d ： 0時，數(shù)列的前m項為非負數(shù)，m+1項為負，貝U Sn的最大值為Sm（1 ）當q < 0, d 0時，數(shù)列的前 m項為非正數(shù)，m+1項

4、為正，則Sn的最小值為Sm2、二次函數(shù)法2 *由于Sn =A n Bn是關(guān)于n的二次式，可利用配方法來求Sn的最值，注意n，N已知等差數(shù)列an中，a25 , S7，求前n項和的最大值（用不同方法）等比數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1;在等比數(shù)列 毒 中，對任意的m,N* ,有aamq（njm）,性質(zhì)2 :在等比數(shù)列an中，若m + n = p +,則m a n a =p a q特別地， m n = 2p,貝Uam an =ap2性質(zhì)3：數(shù)列:an /是等比數(shù)列，貝y Sm,S2m -Sm,&m -S2m,仍是等比數(shù)列，且公比為 qm 性質(zhì)4：在等比數(shù)列:a/f中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶 :務二q ；

5、1、在等比數(shù)列“Gn ?中，已知ai2 = 9, a36 = 72,求a682、在等比數(shù)列：an中，已知an0,a2a42a3a5a4a 25,求a3a5等比數(shù)列的判定方法1、定義法數(shù)列 a：沖， andt：an =q （常數(shù)） 二廟 是等比數(shù)列2、等比中項法數(shù)列an中，an=anl_an42二an是等比數(shù)列3、通項公式法數(shù)列玄？中，an=cqn=:a 是等比數(shù)列4、前n項和公式法數(shù)列 中，Sn二Aqn -A （注意A-A=O）二 祐,是等比數(shù)列1、數(shù)列中，ai =1，且 an 2an_i 0（n 一 2），證明：數(shù)列：an 1是等比數(shù)列，并求an常見遞推數(shù)列通項公式的求法類型1 a* .1二

6、a* f (n)求法：累加法1、 在數(shù)列a*中已知ai =1,當n_2時,有a*二a*2n -1(n_ 2),求數(shù)列的通項公式類型2 a*a* f(門)求法：累乘法2、 在數(shù)列an中，已知a1 =1,有han=5 1)a*(* N小_ 2),求數(shù)列a*的通項公式類型 3a* 1 二 pa* q(p =0, p ")求法:待定系數(shù)法令a* 1 -，二p(a* -対,其中，為待定系數(shù)，化為等比數(shù)列a* -咒求通項.3、已知數(shù)列a*中,若a1,a*d -2a* 3(* _1),求數(shù)列a*的通項公式.類型4S* = f (a*)求法:利用* 一2時,a* =S* -S*_,化為a*或S*的遞

7、推關(guān)系求解 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列a*的前*項和S*滿足S -1,且6S*=(a* 1)4、(a*2),N .,求a*的通項公式類型 在數(shù)列a*中a1 =1,a* 1 =2a* 2*(* N ),求數(shù)列a*的通項公式 a* 1 =pa* f (*)(p = 0, p =1)求法:待定系數(shù)法或化為 崙=窪*羊 后累加法求解ppp6、已知數(shù)列an滿足Sn - an = 2n 1,其中Sn是an的前n項和,求an的通項公式類型6an 1二一(pqr均不為零)qan +r求法:倒數(shù)法，若p二r,則化為等差數(shù)列求通項；若p- r,則化為類型3求通項.7、已知數(shù)列an中 ,ai =1,Sn弘 ,求an的通

8、項公式2Sn+1類型7其它類型求法：按題中指明方向求解 .18. 設數(shù)列an滿足印=1,a2 =2,an(and 2an,)(n =3,4,山)3(1)求證:數(shù)列ani -an是等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項公式an.數(shù)列的前n項和的常用求法常用的幾個結(jié)論1 2 3 . nn(n 1)2213 5 (2n -1) = n.2_2_22 n(n 1)(2 n 1)123n:6132333.n3珂5. Sn11.1漢447(3n 2)(3 n+1) n(n1)221.分組求和法 將一個數(shù)列的每一項分成若干個部分再分組求和111 11:S =+2- +3- +.+(n+g)n)Sn =1 2+2 3 +

9、 3 4+. + n(n +1)2.并項求和法將相鄰若干項合并為一項求和2:S,00 =1 _2 3 _4 L 99 -100Sn =12 _22 32 -42 . (n -1)2 - n2(n為偶數(shù))3.倒序相加求和法：對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可運用倒序相加法求其前n項和.3已知函數(shù)f(x)滿足f(x) f(1-x)又n為大于2的正整數(shù)則f) f(2) V f(W)=2n nn4.裂項相消求和法將數(shù)列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產(chǎn)生相消為零的項的求和方法14. 已知an =1 2 3 . n.求數(shù)列一的前n項和Sn6.求數(shù)列1112 ' 2、3的前n項和.總結(jié):若數(shù)列的通項an可轉(zhuǎn)化為an二f (n 1) - f (n)的形式常采用裂項求和法,常見技巧有1 11 1 1 111（）（）（其中K是等差數(shù)列）n（n k） k n n kakak d d akak d1 1 （、n k -n）,n i n k k5. 錯位相減求和法7. 求和：Sn =1 3x 5x2 7x3. （2n - 1）xn（x = 0）總結(jié):一般地,如果an是等差數(shù)列，bn為