等時(shí)圓模型的基本規(guī)律及應(yīng)用

1、“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用（此文章已發(fā)表于考試雜志）前段時(shí)間在網(wǎng)上發(fā)了一個(gè)帖子“等時(shí)圓規(guī)律有哪 些應(yīng)用”，居然有同志認(rèn)為是“等勢(shì)圓”吧。而在物理 教學(xué)中，借助各種模型，把抽象問題具體化，把復(fù)雜 問題簡(jiǎn)單化，能使得物理問題便于理解和接受?；?此我對(duì)“等時(shí)圓”規(guī)律和應(yīng)用闡述如下：，、何謂“等時(shí)圓”如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的 光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周 的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑 環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初 速為0），用如t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)B.tl>t2>t3圖1間，則（

2、）A.tl<t2<t3C.t3>tl>t2D.tl=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R,由牛頓第二定律得，mg cos 二=ma設(shè)下滑時(shí)間為t，則42R可見下滑時(shí)由以上三式得，Zg圖2再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度L =2Rcosv間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以D正確。由此題 我們可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證 明物體從最高點(diǎn)由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周 上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。1、象這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在

3、解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子： 二、“等時(shí)圓”的應(yīng)用可直接觀察出的“等時(shí)圓”例1：如圖3,通過空間任一點(diǎn)D.無限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾 角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這 些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面法確定解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一 “等時(shí)圓”上，所以A正確例2:如圖4,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于點(diǎn)A，豎直 墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為 60°, C是 圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與M靠得很近的一點(diǎn)（DM遠(yuǎn)小于CM ）。已知在同一時(shí)刻： a、b兩球

4、分 別由A、B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)；d球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)。貝U:（）A、a球最先到達(dá)M點(diǎn)B、b球最先到達(dá)M點(diǎn)C、c球最先到達(dá)M點(diǎn)C解析：設(shè)圓軌道半徑為R,據(jù)“等時(shí)圓” 理論，ta=2fg , tb> ta ； C 做自由 落體運(yùn)動(dòng)t c= 2R ;而d球滾下是一個(gè)單Y g擺模型，擺長(zhǎng)為R, td=T=二匸，所以C42 丫 g 7正確2、運(yùn)用等效、類比自建“等時(shí)圓”例3:如圖5所示，在同一豎直線上有 A、B兩點(diǎn)，相距為h, B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一 點(diǎn)P,使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板， 滿足物體從靜止開始

5、分別由 A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離OP。解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng) A、B處于等時(shí)圓_ j.r弋點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低 要求。如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半直 L.r = O P二 H-2P圖5hQBH圖6所以 OP =, R2 _(2)2 = . H(H h)例4:如圖乙 AB是一傾角為 為原料輸入口，為避免粉塵飛 揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一 管道（假使光滑），使原料從 處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上， 則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為 多大？9的輸送帶，P處p解析：借助“等時(shí)圓”，可以過P點(diǎn)的豎直線為 半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所

6、示，C 為切點(diǎn)，0為圓心。顯然，沿著 PC弦建立管道，原 料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)"等時(shí)圓" 的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從 P處到達(dá) 輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著 PC建立管道。由幾 何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于9 / 2。 三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它 們的摩擦因數(shù)均為 卩，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？解析：bd的長(zhǎng)為2Rcos9，bd面上物體下滑的加4Rcos-a=gcos9 - 口 gsin 9tbd=J4Rcj=2jR飛。可見 t 與 9 有關(guān)。Ygcosigs in 廿'gigta 門廿2、如圖9圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑 板aO、bO、cO,其下端都固定于底部圓心 O,而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為30°、45°、60°。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開始aB、D、下滑（忽略阻力），則 （）A、a處小孩最先到O點(diǎn)C、c處小孩最先到O點(diǎn)a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)b處小孩最先到O點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一