等腰三角形典型例題練習(xí)含答案2

1、解答:等腰三角形典型例題練習(xí)參考答案與試題解析4.在厶ABC中，AD是/ BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且/ EDF+ / EAF=180 °求證DE=DF .考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義.1418944分析：過(guò)D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 DN=DM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角定義求出/AED= / CFD，根據(jù)全等三角形的判定 AAS推出 EMD FND 即可.證明：過(guò)D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N ,即/ EMD= / FND=90 °/ AD 平分/ BAC , DM 丄 AB , DN

2、丄 AC , / DM=DN （角平分線性質(zhì)）,/ DME= / DNF=90 °/ EAF+ / EDF=180 ° /-Z MED+ / AFD=360 ° - 180°=180 °/ AFD+ Z NFD=180 ° /Z MED= Z NFD ,在厶EMD和厶FND中-ZDHE=ZDHF EMD FND，/ DE=DF .kDM=DN 5.在 ABC中，Z ABC、Z ACB的平分線相交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn)O作DE / BC,分別交 AB、AC于點(diǎn)D、E.請(qǐng)說(shuō)明DE=BD+EC .考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).1418

3、944分析：根據(jù)OB和OC分別平分Z ABC和Z ACB ,和DE / BC ,利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換， 求證出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：在 ABC中，OB和OC分別平分Z ABC和Z ACB ,Z DBO= Z OBC ,Z ECO= Z OCB ,/ DE / BC , /Z DOB= Z OBC= Z DBO , Z EOC= Z OCB= Z ECO , DB=DO , OE=EC ,T DE=DO+OE，/ DE=BD+EC .6. 已知：如圖，D是厶ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF

4、 .請(qǐng)判斷 ABC 是什么三角形？并說(shuō)明理由.考點(diǎn)：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).1418944分析：用( HL )證明 EBDFCD，從而得出/EBD= / FCD，即可證明 ABC是等腰三角形.解答： ABC是等腰三角形.證明：連接 AD DE 丄 AB , DF 丄 AC ,二/ BED= / CFD=90 ° 且 DE=DF ,/ D是厶ABC的BC邊上的中點(diǎn)， BD=DC , Rt EBD 也 Rt FCD (HL ) ,EBD= / FCDABC 是等腰三角形.7.如圖， ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng) BC至E,使CE=CD .連接DE .(1

5、) Z E等于多少度？ ( 2) DBE是什么三角形？為什么？考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定.1418944分析：(1 )由題意可推出/ ACB=60。，/ E=Z CDE，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：/ ACB= / E+ / CDE ,即可推出/ E的度數(shù)；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，BD不但為AC邊上的高，也是/ ABC的角平分線，即得：/ DBC=30 °然后再結(jié)合(1)中求得的結(jié)論，即可推出 DBE是等腰三角形.解答：解: (1)：公 ABC是等邊三角形，/ ACB=60 °CD=CE，/ E= / CDE ,/ ACB= / E+Z CDE ,

6、Ze AZACB二丄X 60* 二30° ， 2o(2) ABC 是等邊三角形，BD 丄 AC， / ABC=60 °,2vZ E=30° z.Z DBC= Z E, DBE 是等腰三角形.&如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是 AB 邊上的高，/ A=30 ° 求證：AB=4BD .考點(diǎn)：含30度角的直角三角形.1418944分析：由厶ABC中，Z ACB=90 ° Z A=30可以推出AB=2BC，同理可得 BC=2BD，則結(jié)論即可證明.解答：解：vZ ACB=90 ° Z A=30 °

7、 AB=2BC , Z B=60 °又 v CD 丄 AB ,/ DCB=30 ° BC=2BD . AB=2BC=4BD .9.如圖， ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在 AB、AC的延長(zhǎng)線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點(diǎn)F.求證: DF=EF .DB考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).1418944分析：過(guò)D點(diǎn)作DG / AE交BC于G點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)得/ 1 = / 2,/ 4= / 3，再根據(jù)等腰三角形的性 質(zhì)可得/ B= / 2，則/ B= / 1，于是有DB=DG，根據(jù)全等三角形的判定易得 DFG EFC，即可 得到結(jié)論.解答：證明：過(guò)

8、D點(diǎn)作DG / AE交BC于G點(diǎn)，如圖，/ 1 = / 2, / 4= / 3,/ AB=AC , / B= / 2, / B= / 1,二 DB=DG，而 BD=CE , DG=CE , 在 DFG和厶EFC中rZ4=Z3ZDFG二/冊(cè) C, DFG EFC , DF=EF .iDG二CEAAE10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D，過(guò)C作CE與BD垂直且交BD延長(zhǎng)線 于E，考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).1418944分析：延長(zhǎng)CE , BA交于一點(diǎn)F,由已知條件可證得 BFE全也 BEC ,所以FE-EC ,即CF-2CE ,再通 過(guò)證明 ADBF

9、AC 可得 FC=BD ,所以 BD=2CE .解答：證明：如圖，分別延長(zhǎng) CE , BA交于一點(diǎn)F./ BE 丄 EC ,FEB= / CEB=90 ° ° / BE 平分/ ABC ,FBE= / CBE ,又 BE=BE ,BFE BCE (ASA ) . FE=CE . CF=2CE ./ AB=AC , / BAC=90 °, / ABD+ / ADB=90 °, / ADB= / EDC , / ABD+ / EDC=90 °. 又/ DEC=90 ° / EDC+ / ECD=90 ° ,FCA= / DBC=

10、 / ABD . ADB AFC . FC=DB , BD=2EC .11. (2012?牡丹江)如圖 ， ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點(diǎn)，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足分 別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過(guò)程如下：如圖，連接AP. PE丄AB , PF丄 AC , CH 丄 AB ,二 Sabp= AB ?PE, Saacp=AC ?PF, Saabc = AB ?CH .2 2 2又t abp +Sacp=Saabc，二丄AB?pE+丄AC?PF= AB?CH .2 2 2/ AB=AC , PE+PF=CH .(1) 如圖，P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)

11、時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想， 并加以證明：(2) 填空：若/ A=30 ° ABC的面積為49,點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高 CH= 7 .點(diǎn)P到AB邊的距離 PE= 4 或 10.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積.1418944分析：(1) 連接AP .先根據(jù)三角形的面積么式分別表示出abp ,acp , abc ,再由abp=Sa acp+Saabc即可得出PE=PF+PH;(2) 先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出 AC=2CH ,再由 ABC的面積為49,求出CH=7 ,由于CH > P

12、F, 則可分兩種情況進(jìn)行討論： P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論 PE+PF=CH ;P為BC延長(zhǎng)線上的 點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論 PE=PF+CH .解答：解: (1)如圖，PE=PF+CH .證明如下： PE丄AB , PF丄 AC , CH 丄 AB , Sabp=AB?PE, Saacp=£aC?PF, Saabc氣AB?CH , / Sa abp=S aacp+Sa abc , AB ?PE=gAC?PF+AB ?CH，又 t AB=AC , PE=PF+CH ;£ £ £(2).在厶 ACH 中，/ A=30 ° AC=2CH .t Saabc=

13、AB?CH , AB=AC , £>2CH?CH=49 , CH=7 .分兩種情況： P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖.t PE+PF=CH , PE=CH - PF=7 - 3=4; P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，如圖.12數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且 ED=EC，如圖，試確定線段 AE與DB的大小 關(guān)系，并說(shuō)明理由”.小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE或=”).(2 )特例啟發(fā)，解答題目 解：題目中，AE與DB的

14、大小關(guān)系是：AE 交AC于點(diǎn)F.(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)DB (填DB(填、”，N”、”，之”或=”).理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E 作 EF / BC ,AE=2，求 CD的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫出結(jié)果)考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).1418944分析:(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出/D= / ECB=30 °求出/ DEB=30 °求出BD=BE即可；(2 )過(guò)E作EF/ BC交AC于F,求出等邊三角形 AEF，證 DEB和厶ECF全等，求出BD=EF即 可

15、;(3) 當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線上，E在AB的延長(zhǎng)線式時(shí)， 由(2)求出CD=3 ,當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上， D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出 CD=1 .解答:解：(1)故答案為:(2)過(guò) E 作 EF/ BC 交 AC 于 F,等邊三角形 ABC ,/ ABC= / ACB= / A=60 ° AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 ° / AFE= / ACB=60 ° 即/ AEF= / AFE= / A=60 °, AEF是等邊三角形， AE=EF=AF ,/ ABC= / ACB= / AFE=60 ° DBE= / EFC=120

16、 ° / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 ° °/ DE=EC，/ D= / ECD，/ BED= / ECF,在厶DEB和厶ECF中r ZDEB=ZECFZDBEZEFC.DE=CE(3)解:CD=1 或 3, DEB ECF , BD=EF=AE，即 AE=BD，故答案為:理由是：分為兩種情況:則 AM / EM ,過(guò)A作AM丄BC于M，過(guò)E作EN丄BC于N , / ABC 是等邊三角形， AB=BC=AC=1 , BM=CM= BC=,T DE=CE,2 2/ AM 丄 BC ,EN 丄 BC , CD=2CN ,/ AM / EN ,

17、AMB ENB，二=：',BE BN2-1 BN= _,2CN=1 + =',2 2 CD=2CN=3 ;M，過(guò)E作EN丄BC于N ,AB=BC=AC=1 ,如圖2,作AM丄BC于 貝U AM / EM ,/ ABC是等邊三角形，.v C7 D/ AM 丄 BC , BM=CM=1AM / EN , AB = BNl ae mMN=1,FC CN=1:BC=:,/ DE=CE , EN 丄 BC , CD=2CN ,=, CD=2CN=12 213. 已知：如圖， AF平分/ BAC , BC丄AF于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AF 上, ED=EA，點(diǎn)P在CF上，連接PB交AF于點(diǎn) M .若

18、/ BAC=2 / MPC，請(qǐng)你判斷/ F與/ MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.c考點(diǎn)：分析：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).1418944根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD，推出/ CDA= / CAD= / CPM，求出/ MPF= / CDM，/ PMF= / BMA= / CMD，在 DCM 和 PMF 中 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.解答:解：/ F= / MCD ,理由是： AF 平分/ BAC , BC 丄 AF ,二/ CAE= / BAE，/ AEC= / AEB=90 ° 在厶ACE和厶ABE中'Zaec=Zae

19、b，怔二怔， ACE ABE (ASA )二 AB=AC ,lzcae=zbae/ CAE= / CDE AM 是 BC 的垂直平分線， CM=BM , CE=BE，/ CMA= / BMA ,/ AE=ED , CE 丄 AD , AC=CD，/ CAD= / CDA ,/ BAC=2 / MPC，又I/ BAC=2 / CAD ,/ MPC= / CAD , / MPC= / CDA , / MPF= / CDM ,/ MPF= / CDM (等角的補(bǔ)角相等)，/ DCM+ / CMD+ / CDM=180 ° / F+/ MPF+ / PMF=180 °又/ PMF=

20、 / BMA= / CMD , / MCD= / F.14. 如圖，已知 ABC是等邊三角形，點(diǎn) D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點(diǎn)F.(1) 線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2) 求/ BFD的度數(shù).等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).1418944(1) 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知/BAC= / C=60 ° AB=CA ,結(jié)合AE=CD ,可證明 ABE CAD , 從而證得結(jié)論；(2) 根據(jù)/ BFD= / ABE+ / BAD , / ABE= / CAD，可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60

21、76;(1)證明： ABC 為等邊三角形，/ BAC= / C=60 ° AB=CA . 在厶ABE和厶CAD中，rAB=AC4 ZBAE=ZC ABE CAD AD=BE .AE=CD(2)解：/ BFD= / ABE+ / BAD ,又 ABE CAD，：丄 ABE= / CADBFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °15. 如圖，在 ABC中，AB=BC，/ ABC=90 ° F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) E在BC上，BE=BF，連接 AE、EF 和CF,求證：AE=CF .考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).1418944分析：根據(jù)已知利用SAS即

22、可判定 ABE CBF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AE=CF .解答：證明：/ ABC=90 °ABE= / CBF=90 °又 AB=BC , BE=BF , ABE CBF ( SAS). AE=CF .16. 已知：如圖，在 OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB，在 EOF 中，/ EOF=90 ° OE=OF，連接 AE、BF .問(wèn)線 段AE與BF之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.1418944分析：可以把要證明相等的線段 AE , CF放到 AEO , BFO中考慮全等的條件，由兩個(gè)等腰直

23、角三角形得AO=BO , OE=OF，再找?jiàn)A角相等，這兩個(gè)夾角都是直角減去/BOE的結(jié)果，當(dāng)然相等了，由此可以證明 AEOBFO ;延長(zhǎng)BF交AE于D，交0A于C,可證明/ BDA= / AOB=90。，則AE丄BF.解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在 AEO與厶BFO中， Rt OAB 與 Rt OEF 等腰直角三角形，二 AO=OB , OE=OF，/ AOE=90。-/ BOE= / BOF , AEO BFO , AE=BF .延長(zhǎng)BF交AE于D，交OA于C,則/ ACD= / BCO ,由（1）知/ OAE= / OBF，/ BDA= / AOB=90 ° AE 丄 BF .17. （2006?郴州）如圖，在 ABC中，AB=AC , D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò) D分別向AB , AC引垂線，垂足分別為 E, F，CG是AB邊上的高.（1）DE , DF , CG的長(zhǎng)之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2） 若D在底邊的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).1418944分析：（1）連接AD ,根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進(jìn)行分析證明；（2）類似（1）的思路，仍