線性代數答案第三,四章課后答案

1、ri3d00<0010 r/ 2 0113 0005I130 0第三章矩陣的初等變換與線性方程組廣102-1、2 +(2)1*1廣102一1】1解203100-13<304一 33 +(-3)1*10-20)斗（-1）卩02-1 "G - £卩02-1 )1001-30011-3十2)1°010丿<0003G +302-1、P02一1001-3I0010 100112001幾+(-2)f1000、I00110r1 5I000b02_ 31/2+(-3)幾02-31 |03-430013247一 1 J3 +(-2)120-1_ 31-13431-

2、1343r2 一 3 口13-354100-48-8 |12-23-203- 2100-36-63-34-2-1 J4 31<00-510- 10)廣1-13-43f1-102-3)氣-4)幾3 r21001-22001-22 |1十3)001-225 -卩00000十5)01-22r4 r2<0000031-37、(幾 _2r2P-1111 、1120-2-4120-2-43-2830r3-3r20-88912<2-3743丿匚一2山<0-77811(0-1111(1020-2)r2 十2口口r211020- 201-1-1-1 11r3 - 8r100014F(-1

3、)000144 一71<00014 >4一3<000000 1202-103 10140000 0匹 02 解 在秩是r的矩陣中，可能存在等于0的r - 1階子式，也可能存在等0的3階子式和2階子式.于0的r階子式.0000100 11ot =0010|0000 10000例如,R )= 3同時存在等于3解 R(A) _ R(B)設R(BH r，且B的某個r階子式D r = ° 矩陣B是由矩陣A劃去一行得到的，所以在 A中能找到與D r相同的r階子式D r，由于D r二D r = 0，故而 R(A) 一 R(B).4 解設二 T ,二 2 ,工 3，二 4，二 5

4、為五維向量，且1 = (1 ,0,1 ,0,0)，a 23 ,秩為4,不妨設:2二(1,-1,0,0,0),則所求方陣可為 A3 (0,0,0, x4 ,0 )；二4 = (0,0,0,0, x5 )取 X4 = X5 = 1二階子式=4 1 - 1- ( 0,0 ,0 ,0 ,0 )10100)I1-1000 10001000001 10000°故滿足條件的一個方陣為021-12-1:r1 r 212-13102443-44丿3 1解1-1d 35-12 - 1廣1-12-P* -3k 2 r 13_204-65-0465秩為23 = 1<0465 ；2000 31勺2-1-

5、3-2r1_r2134-41 r 2 2 r 112131-3-07119- 5 I705-1-8丿r 3 7 r 1<0-213327-15丿13_ 4_ 41、3 -320_ 71195秩為2 .<0000032二階子式=_7 r2 3r1秩為32 - 1(218371(0 12-171口 2r42-307-50- 3-63-5 |3-25802r40 - 2-4200320 >3 - 3 5J 0320r12(012-17(1 0320 )000016012-1714)r4 + 16三階子式rP12-1、10-1021110131 11 1<221200143丿解

6、對系數矩陣實施行變換6 即得X1X2X34X43X1故方程組的解為X2X4X4X3X4丿(2)對系數矩陣實施行變換f121一 1r120-11I36-1-300101I5101_ 5 J,0、000)XiXi 二-2x*2 二X2X 3=0X 4-X4即得2 X4故方程組的解為X2kik2X3X4丿3-15I ,卩000、| 1X1=012-70100X2=0I即得丿1-360010X3=0-24一7200hX4=0(3)對系數矩陣實施行變換234JXi = 0x2 = 0 故方程組的解為X3 = 0x4 = 0(4)對系數矩陣實施行變換3 1334-5711017117 |21-33-201

7、1920411-131617170000-213丿<0000I313X1 =X3X417171920即得丿V=X2X3X411717X3 =X3X4 =X4(3 、13、X1- 1仃17 |X21920 I=k121_ 1X31717 110宀丿<0 >1< 1丿故方程組的解為7.解(1)對系數的增廣矩陣施行行變換,有(42-12r13-3-8 >1 3-12100-101134J1308 ><000-6丿R(A)=2而R(B)=3，故方程組無解.(2)對系數的增廣矩陣施行行變換f2314廣1021、1|1-24-501-12 11138-213000

8、0<4-196丿<0000即得x = -2 z -1y = z亠2 亦即20z = z(3)對系數的增廣矩陣施行行變換1-111、°1-11I42-21200010<21-114<0000°r1 1 1X 二一_ y _ z _12 2 2即得 y = y即z = zw = 0(x yT1222y=k11十k20+0z010< 0<0J<0（4）對系數的增廣矩陣施行行變換21-11114-35-2 !115953-21-3401_ -1777 |4-35- 20000丿(11610一77759501一77700000J(1r 6)I

9、X-11777 |y595=k 1+ k2+z777100 1w J1丿< 1丿'一 0丿116X 二 _ Z _ W -777595即得 y z - w -I 777Z = ZW = W1 1&解11丸 1式0，即入式1,2時方程組有唯一解1 扎(2) R( A) R(B)5 111、(11aa 2B =1九10九-11_丸九（1 九）1_ 22J 1h J1<00 (1 -X）（2 + 九）（1 乙）（九 + 1）丿由(1 -九）（2 +幾）",(1 -丸）（12+人）式0得= -2時，方程組無解 R（A）二 R（B） 3 ,由（1 一 ）（2） =

10、（1 -）（1 j = 0 ,得，=1時,方程組有無窮多個解廣21 1 - 2-2112解 B =1-2 1 &01-1（九1）:豪231 11- 2九<000（丸1）（丸+2）丿方程組有解,須(1一 X ）（人 +2） = 04H r得扎1, X =-210.解2 _， 2-21125 -42-2- 45-幾 -k -1初等行變換15 -21201 -1 -1 -00（1 - ）（10 - ）（1 -）（4 -）22-1且-10時，有唯一解2（1 一 ）（10 - ）2(1、(1、1k = 1時，方程組解為X2=k1+0 11嚴丿J丿1°丿1 ,i ,卩】X2=k1+

11、2I0當二-2時，方程組解為當(1 -)(10),且(1 -)(4 -)“，即一 10 時，無解.2 2當(1 -)(10)= 0且(1 -)(4)= 0，即= 1時，有無窮多解2 212-21、I此時，增廣矩陣為00004000fX1廣2、廣2原方程組的解為X2=k11+ k 20+0宀丿1I。丿丿丿(ki,k211.解3 00I321100"1廣321100、1(1)3150100-14-1110223001°02-1031、r79、200-3002一 12222 |-1011- 20-1011- 2 102-101001101)22 >/723、(723 )1

12、0 0-1632632 |0 1 0-1-12故逆矩陣為-1-12 |11110 0 1_ 0一_0-22丿< 22丿2 0-110 0(0110 10-3-2000I001-3-20010、1210001 119510-30210100210 0 05- 20104.02-3-200101210001 111110-3-4-2-1010-21 20100<001-2-3-20010121000001110-3000121-60I1-4-1010001'0-1010-1-13600121-6-10-2 0 0 - 1-1 - 2-2001°-400112故逆矩陣為

13、02R -3 _ = 一Bl11-2-4、10-1-1361-610丿卜1-21-3 初等行變換0010 2122122010-15- 31-13一 101124 21-6-1010-1212.解（A B)=102-151221-13初等列變換3-423f 1000100012_ 1一1_ 474)2-311 ( 2 - 1 - 1 X = BA =474 丿第四章向量組的線性相關性小TT1 解Vi -V2 二(1,1,0)-(0,1,1)=(1-0,1-1,0-1)丁=(1,0,-1)T3V12V2 - V3 =3(1,1,0)T 2(0,1,1)T-(3,4,0)T=(3120 3,312

14、1 4,3021一0)T= (0, 1, 2)T2.解 由 3(at -a) 2(a2 - a)二 5(a3 a)整理得11TTTa (3a2a2 -5a3)3(2,5,1,3)2(10,1,5,10)-5(4,1,-1,1)66= (1,2,3,4)T3解 設 a = e = (1,0,0，0)S = S 八二 5=0滿足a1, a2 , am線性相關，但a1不能由a2,am ,線性表示.有不全為零的數 “ 2,，m使'® mam山 mb= 011mm11mm原式可化為1® f)m(ambm H 0取 a1 =e1= -R ,a2 二e2=-b2,am =em=b

15、m其中e1，,em為單位向量，則上式成立，而a-，am , d,bm均線性相關由2mam也mbm = 0 (僅當1 = 八m = °)= a1 b1 ,a2 b2,，am - bm 線性無關取 ai = a?二=am - 0取b,，bm為線性無關組 滿足以上條件，但不能說是a_,a2,，am線性無關的. a, =(1,0)T a (2,0)t b, =(0,3)t b (0,4)Tra,，；“2a2 = 0二 ,二 _2 2 丄3 > n幾,=九2 = 0與題設矛盾 丸i b, + 入zb? = 0 n k,=幾24 4 證明 設有X, X2, X3 , X4使得x,b,x2b

16、2x3b3x4b4 = 0 則x,(a, a?) x?(a? a?) 乂彳心彳3°) 乂彳心彳 a,) = 0(x, X4)a,(x,X2)a2 (x?乂彳總 (X3= 0(1)若a,a2,a3,a4線性相關,則存在不全為零的數 k,k2,k3,k4,k, = x,x4; k2 = x, x2; k3 = x2 x3 ; k4 = x3x4;由k, k2, k3,k4不全為零，知x,x2,x3, x4不全為零，即b, b2, b3, b4線性相關x,X,若a, a2 ,a3 ,a4線性無關，則| x?X3+ X4 = 0500,、1+ x2 = 0,00 1X2a1=0+ x3 =

17、00,0X3+ x4 = 0<00,1X4,0 0,0由0 ,0=0知此齊次方程存在非零解則b, b2, b3, b4線性相關綜合得證5.證明 設k1b1 - k2b2亠亠krbr = 0則(匕亠kr )a1(k2 亠 亠 kr )a2kr )a p+ krar = 0因向量組a1 ,a2 ,ar線性無關,故k1=0F1亠1、01=00 1 1k2 1.二:11 : 1010 0blkr丿(0>00丿k2川川krk2亠 亠kr因為1 亠亠1 厶1=10310-0 1則k1=k2 = 1 八r 6.廣253117759453解(1)|759454<253220253117r.

18、_r343012r3 一r2001<00043、132134484333所以第1、2、kr =-0故方程組只有零解0所以a ,匕2,r2br線性無關25311743一 3ri1011221、11221、01215-10 -2幾”0215-11203-13幾-幾0-2-1-51<1104-1><00-22-2>0丿3列構成一個最大無關組a 2-0 -所以第7 解T a1T a2Ta 3r41、2、3列構成一個最大無關組.-2a a3,a3線性相關12-14、1 ,2-14910010408219-32-2-42一 81°000=a1秩為2, 一組最大線性無

19、關組為&證明 n維單位向量e1, e2, en線性無關廣12135213 、1a；=4-1-5-60-9-9-18T®丿-3-4-7<0-5-5-10 a 1 , a 2 .-18秩為2,最大線性無關組為不妨設：e1 二 kn a 1 k12 a2k1nane2= k21a1 k22 a2k2nanen 二 kn1a1 kn2a2knn an所以T e1T e2k11k21k12k22k1 nk2nT a1T a2Ten丿Tan兩邊取行列式，得Te1k11k12Te2k 21k22aTenkn1kn2T1T2aTn即n維向量組a1, a2, an所構成矩陣的秩為 n故a

20、1, a2 , an線性無關.9 證明 設；4，；2,，5為一組n維單位向量，對于任意n維向量維向量都a =（匕，k2, kn ）T則有a =匕 2k2亠 亠：nkn即任一 n可由單位向量線性表示必要性=a1, a2 , an線性無關，且 a1, a2 , an能由單位向量線性表示,:1 二 kii ；1ki2 ；2kin ；n:2 二 k2i ；ik22 ；2k2n ；nkn2knnT1T2k11k 21k12k22kn2k 1 n j ； 1 k2n II 打 II :兩邊取行列式，得Ta1Ta2k11k21kn1k12k 22kn2k1nk2 nknna1k11k 21k n1k12k2

21、2k n2k1nk2nk nnkiik12kin12令An nk2ik22k2nknnknikn2T aiT a 2a“a2， ,a“位向量線性表示，故任,：T線性表示，因為任一 n維向量能由單n維向量都可以由a1,a2 ,an線性表示充分性=已知任一 n維向量都可由a1, a2, a n線性表示，則單位向量組:勺，；2，；n可由a1, a2 , an線性表示，由 8題知a1 ,a2,an線性無關.10.證明 設A, B,C的最大線性無關組分別為 A , B , C ,含有的向量個數 （秩）分別為r1, r2, r2,則A, B,C分別與A , B ,C 等價,易知A, B均可由C線性表示，則

22、秩（C ） _秩（A ）,秩（C ） _秩（B ），即max幾，r2乞r3 設A 與 B沖的向量共同構成向量組 D ,則A,B均可由D線性表示， 即C可由D線性表示,從而C 可由D線性表示，所以秩D為r1 r2階矩陣，所以秩（D ） < r1r2即r3 < r111.證明：設 A = （ai，a2，,an）TB = （b-b?.打，；，二且A, B行向量組的最大無關組分別為：，；，：bTb；顯然,存在矩陣A ,B ,使得a；Ta 2alTa2b：bT二 ATanbT因此 R A B12證明=若B組線性無關 令 B = (b- ,br) A = (a- ,as)則有 B = AK由定

23、理知 R(B)二 R(AK )乞 min R(A), R(K )乞 R(K )由B組：Q,b2,，br線性無關知R(B) = r，故R( K ) _ r .又知K為r s階矩陣則R(K )豈min r,s由于向量組B : 6山2廠，0能由向量組 A : at，a2,，as線性表示，則r乞smin r, s = r綜上所述知r < R( K )乞r即R( K )二r 二若 R(k)二 r令 x1b1x2b2xrbr = 0 ,其中 xi 為實數 i = 1,2, rXi則有(b, ,b2,，br)<xr丿X1又(b, ,Q)二(a, ,as)K ,則(a,as)KXr丿由于a,a2

24、,as線性無關,所以K -X2xi<xr丿+k21x2 + + k r1 x r =0=( 2由于由于k12 x1 k22 x2 川八 川 kr2xr =(1)k 1r X1 k2rX2 亠 亠 krrXr 二kisXiR(K)二kn Xiki2Xik2sX2krsXr =r則(1)式等價于下列方程組k21x24 亠 kr1xr 二-k22 x2 ：；' 川，kr2xr =k1r x1 k2r x2 - krr xr 二k11k21k r1k12k22k1rk2rkrr所以方程組只有零解Xi 二 X2=0 .所以b-b?,，br線性無關,證畢13.證明集合V成為向量空間只需滿足條

25、件:V1是向量空間，因為:十 1，： 2，：n)T=(1, -2 / ,-n)T，:2，:n)T2)川小川爲n ) = 0 故很亠” 5 V1R, =(二冷，二2,，:n亠；.很2亠亠；很n ='(亠-：2亠亠"：n ) =' 0 = 0故八圧5 V1V2不是向量空間，因為:（：11 ）（： 2： 2）（： nn）=C 1 2:n ) (T卜壯2亠 亠：n )二11=2故工亠、七7 2nn/ nn a bn兒R, *=（/.-； 1，八用 2,，飛 n）+ Ct'：； 'A 2 亠.亠很 n =，(<|，壽 2故當北1時，很V214證明 設 A

26、= (a1 ,a2, a3)1=（-1），1于是R(A) = 3故線性無關.由于a1, a2, a3均為三維，且秩為3,所以a1,a2,a3為此三維空間的一組基，故由a1, a2 ,a3所生成的向量空間 就是R3.15證明 設V= k1a k2a2 k1, k R>V2 = Q =九 1 A + 九2 薦 L，1 R>任取V1中一向量,可寫成k1a1k2a2,要證 k1a1 - k2a2 V2,從而得 V V2由 k1a1 - k2a 1 2 2得k1 k21k121k2 = 3 1上式中,把k1, k2看成已知數,把 1, 2看成未知數X1 二-4X3Dj =2式0 n 町，丸2

27、有唯一解-1 11 1同理可證：V2匸Vp ( T D2 =式0)1 0故 V1 =V212316.解由于a1 , a 2 j a 3=-111=6 式 0032即矩陣(a1, a2, a3)的秩為3故a1, a 2, a 3線性無關，則為 R的一個基.設 v k1a1 k2a2 k3a3，貝Hk 十 2k2 十 3k3 = 5 匕=2-匕 k2 k3 = 0 二 k2 = 33k2+2k3=7k3 = -1故 Vt = 2a 1 3a2 - a3設 v2 二'at 2a2 3a3，貝H入十2扎2十3扎3 = 9k = 3-123 = -8 = k2 = -3丄SI陽2 + 23 =

28、-13出3 = -2故線性表示為72 = 3a 1 - 3a_ 2a31_ 81021040初等行變換3117.解A =245_ 101-144 1<386-2000丿所以原方程組等價于X2= 一 X3 一 X4取X3-1 , X4二-3 得 Xj = -4, x2取X3工 0, X4=4 得 x 0, x2因此基礎解系為J4、0u1,-2 =I101一 3e111初等行變換1914197所以原方程組等價于X1X31X41914X219 X37X419190190取 x3 =1,x4 = 2得 Xt =0,x2 = 0取 x3 =0, x4 =19 得 Xt =1,x2 =7r 1、I因

29、此基礎解系為7 10J9(3)原方程組即為Xn 二-nX1 一(n 一 1)X2- 2xn_1取 X1 =1,x2 =X3 二 二 Xn/ =0 得 Xn - n取 X2 = 1, Xt = x3 = x4 二= xn/ = 0得 xn - -(n-1) - - n 1取x=1, X1X2所以基礎解系為(打，、，n_118.解由于R(B)則由f2 - 213、01P 0、(9- 528X1X2<0 °10可得ABX4丿X3廣1030、2J 2、0103X2I212080X 八3-9<0208)<X4丿< 511,解此非齊次線性方程組可得唯一解19.解故所求矩陣

30、B顯然原方程組的通解為11為其基礎解系向量，故此方程組的通解:41,3 1x = k+I543(k R)0312ki 2 k2 1,( g R)2 丿1 Xi =3 k2x2 = & + 2 k2即消去k1sk2得X3 二 2ki k2X4 二 3k1"2 Xt - 3 x2 + X4 = 0丿此即所求的齊次線性方程組.Xi - 3X3 2x4 = 020.解 由于矩陣的秩為3, n-r=4-3=1 , 維.故其對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量，且由于1, 2, 3均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結構性質得齊次解3)=(1-2)(1-2)=(齊次解)(齊次解)

31、21證明 設a的秩為r1 , B的秩為r2，則由AB = 0知，B的每一列向量 都是以A為系數矩陣的齊次線性方程組的解向量.當n時,該齊次線性方程組只有零解 ，故此時B = 0,片=n , r2 = 0 , r1 r2 二 n 結論成立.(2) 當r1n時,該齊次方程組的基礎解系中含有n - r1個向量,從而B的列向量組的秩 _ n -片,即r2 - n -匚，此時r2 - n -片,結論成立。綜上,R(A) R(B) < n .22.證明A( A - E )所以由21題所證可知R( A)又 R( A _ E )二 R(EA)由11題所證可知R( A) R(A - E )二 R( A)

32、R( EA) _ R( A-A)1005、初等行變換010-8、123. 解B =|2112101-1013 123223><00012由此R(A) R( A - E )11324證明11初等行變換(1卜9r 1)1-21-11，_1 =，_ 2 1070< 01°2反證法，假設',n-線性相關，則存在著不全為的數C0,C1，Cn使得下式成立：C。6 1 G- n0其中,C0 = 0否則，打，,r線性相關,而與基礎解系不是線性相關的 產生矛盾。由于"為特解，n r為基礎解系，故得A（C。6 i6n八 C°A 二 C°b而由式可得

33、A（C C1-亠故b = 0，而題中，該方程組為非齊次線性方程組 ，得b = 0 產生矛盾,假設不成立,故n ，軋線性無關. 反證法，假使線性相關則存在著不全為零的數 CoCj，Cn使得下式成立：Co 6（1）Cn（n）二 0（ 2）即（Co 6Cn）6 J6n二 0若C0 CCn= 0 ,由于1,是線性無關的一組基礎解系,故C 0 =二二Cn_r = 0 ,由（2）式得C 0 = 0此時C0 = Ct =Cn_r = 0與假設矛盾若c0 CCn- 0由題知,"，打，nj線性無關,故C0.C_,. Cnj = C C=Cn_r= 0 與假設矛盾,綜上,假設不成立，原命題得證25. 證

34、明 由于1/, s是非齊次線性方程組 Ax二b的s個解故有 A . = b （i=1,，s）而 A（ki 1k2 2ks s）二 kiA 1 k?A 2ksA s二 b（kks）二 b即Ax = b （= k1 1k2ks s）從而x也是方程的解.26. 證明設x為Ax = b的任一解.由題設知：1, 2,，n_r計線性無關且均為 Ax二b的解.取 二 2 一 1, 2= 3 一 1 ,n_r = n _r，1 一 1，則它的均為 AX = b 的解.用反證法證：；,2廠,n線性無關.反設它們線性相關，則存在不全為零的數：IJ2，兒使得 h 112 2Inn_r =0即 li（ 2 - J2（

35、 3 - Jn1 - J = 0亦即 -（|1 ID 1 h 2 b 3InJ n_r 1 = 0由1,2,，njV線性無關知-（|1 Jln_rl = | ln 0矛盾，故假設不對.二J,©2,，3線性無關，為 AX = b的一組基.由于X, 1均為Ax二b的解，所以x - ' 1為的Ax = b解= X - ' 1可由打，2, n _r線性表出.X - 1 二 k2 1k3 2kn_r_1 n _r=k2（ 2 - 1） k3（ 3 - 1）j 1（ n1 - 1）X = 11 （1 -k2- k3- kn_r1 ）k22k33k r1n _r0令匕=1 -k? - k3- 心一1 則匕 k?k3心_1 二 1X 二匕 1k22kn_r 1n _r 1，證畢.第五