命題邏輯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用_第1頁
命題邏輯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用_第2頁
命題邏輯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用_第3頁
命題邏輯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用_第4頁
命題邏輯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用_第5頁
已閱讀5頁,還剩8頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、命題邏輯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用學(xué)生姓名: 指導(dǎo)老師: 一、引言在一些數(shù)學(xué)競賽和考試中我們經(jīng)常會(huì)遇到一些很難推斷推理的題,它們一般是用自然語言表述的,容易引起歧義,這時(shí)如果用一般的推斷推理方法時(shí),需要進(jìn)行多個(gè)假設(shè),即使通過很復(fù)雜的假設(shè)能夠推斷推理出結(jié)論,也不一定正確,而用我們所學(xué)的命題邏輯的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的分析演算后,這些題就會(huì)很容易地得到解決,著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茨說過“在人們有爭議的時(shí)候,只要把他們想說的話寫下,我們就可以簡單的說,讓我們進(jìn)行演算,而無須進(jìn)一步忙亂,就能看出誰是正確的?!蹦敲丛鯓討?yīng)用命題邏輯來解決這些問題呢?我們中學(xué)所學(xué)過的證明題又是應(yīng)用了什么樣的邏輯依據(jù)呢?在解決以上問題之前,先讓

2、我們來了解一下關(guān)于命題邏輯的一些相關(guān)知識(shí)。二、相關(guān)知識(shí)1命 題:在特定范圍、時(shí)間和空間內(nèi),具有唯一確定的真假性的陳述句。也可以說是能夠判斷真假的陳述句。2 復(fù)合命題:由簡單命題用連結(jié)詞聯(lián)接而成的命題。 3聯(lián) 結(jié) 詞:將簡單命題聯(lián)結(jié)成復(fù)合命題的一種基本的詞語。主要有“否定” 、“合取” 、“析取” 、“蘊(yùn)涵” 、“等價(jià)”這五種聯(lián)結(jié)詞。否定聯(lián)結(jié)詞有“非” 、“不是”等,如設(shè)是任一命題,復(fù)合命題“非”稱為的否定式,可以表示為“”,“ ”稱為否定聯(lián)結(jié)詞。合取聯(lián)結(jié)詞有“且” 、“并且” 、“而且”等,如設(shè),是兩個(gè)命題,那么復(fù)合命題“并且”稱為與的和取式,可以表示為“”,“”稱為和取聯(lián)結(jié)詞。析取聯(lián)結(jié)詞有“

3、或”等,如設(shè),是兩個(gè)命題,那么復(fù)合命題“或”稱為和的析取式,可以表示為“,“”稱為析取聯(lián)結(jié)詞。蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞有“如果,那么” 、“如果,則”等,如設(shè),是兩個(gè)命題,那么復(fù)合命題“如果,那么”,可以表示為“”,“”稱為蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞。等價(jià)聯(lián)結(jié)詞有“當(dāng)且僅當(dāng)”, 如設(shè),是兩個(gè)命題,那么復(fù)合命題“當(dāng)且僅當(dāng)”,可以表示為“”,“”稱為等價(jià)聯(lián)結(jié)詞。4命題公式:將命題常項(xiàng)和命題變項(xiàng)用聯(lián)結(jié)詞和圓括號(hào)按一定邏輯關(guān)系聯(lián)系起來的符號(hào)串(也就是說命題公式不是單個(gè)命題而是幾個(gè)命題通過聯(lián)結(jié)詞聯(lián)接起來的一串的命題)。若、為命題公式,那么,等,也為命題公式。5重 言 式:若為一命題公式,如果在它的各種賦值下取值都為真。三、命題邏輯在

4、數(shù)學(xué)推斷、推理題中的應(yīng)用在解決推斷、推理題過程中,一般情況下我們會(huì)按照正常思維的方式來假設(shè)推斷推理,但是常常會(huì)覺得思維混亂,推斷推理復(fù)雜,有時(shí)候需要假設(shè)很多,所以很容易出錯(cuò),但是如果用數(shù)學(xué)中的命題演繹推理就會(huì)事半工倍,推理思路清晰,方法簡單明了,可以更容易且準(zhǔn)確的解決這些問題。數(shù)理邏輯中的命題邏輯是最簡單也是最基礎(chǔ)的,也是運(yùn)用非常廣泛,數(shù)理邏輯是研究命題間的推理,“命題”是研究的最小的單位,而命題邏輯在推斷、推理題中的應(yīng)用主要特征就是“形式化”,也就是將研究對(duì)象“數(shù)學(xué)推理”形式化。形式化分為兩步:1.將推理系統(tǒng)符號(hào)化;2.符號(hào)化的命題和語言表述的公理和推理規(guī)則形成一個(gè)形式系統(tǒng)。最后這種形式系統(tǒng)

5、可按照命題演繹推理的方法進(jìn)行推斷或推理。(一)在推斷題中的應(yīng)用例1某公司為了提高工作人員的專業(yè)工作能力,故決定派出幾名優(yōu)秀的工作人員出國考察學(xué)習(xí),甲、乙、丙、丁、戊是公司從眾多申請(qǐng)者中選出的幾名比較合格的人員,但為了不影響正常工作需要,他們五個(gè)不能全去,所以這次選派必須滿足以下條件:如果甲被派出國學(xué)習(xí),則乙也要被派出國學(xué)習(xí);丁、戊兩人中必有人被選派出國學(xué)習(xí);乙、丙兩人中有且僅有一人被選派出國學(xué)習(xí);丙、丁兩人要么都派去,要么都不去;若戊被派出學(xué)習(xí),那么甲、乙也將被派出。為了合理安排工作,那么根據(jù)這些條件這個(gè)公司應(yīng)該從這五人中怎樣挑選,挑選誰進(jìn)行出國學(xué)習(xí)呢?方法一:一般的推斷方法分析:此題是為了推

6、斷出幾個(gè)人派出,誰應(yīng)該派出,而且肯定有人被派出,但派出人數(shù)和人物不固定,那么我們就必須一個(gè)一個(gè)假設(shè),看怎樣的假設(shè)才是合理的。假設(shè)如果甲一定被派出,那么根據(jù)條件我們可以推斷出乙一定也被派出,又由可以推斷出丙、丁都不去,那么根據(jù)條件又可推斷出戊一定去,經(jīng)過以上推斷我們可得出一種選派方案:甲、乙、戊被派出學(xué)習(xí),丙、丁不會(huì)被派去。假設(shè)如果乙一定被派出,那么由條件可以推斷出丙、丁一定不被派出,而又由可以推斷出戊一定被派出,那么由條件又可以推斷出甲、乙也將會(huì)派出,經(jīng)過以上推斷我們也可得一種選派方案:甲、乙、戊被派出學(xué)習(xí),丙、丁不會(huì)被派去。假設(shè)如果丙一定被派出,那么由條件可以推斷出丁一定也被派出,由條件可以

7、推出乙一定不被派出,而又條件可以推出戊可能派出,也可能不派出,假設(shè)如果戊被派出的話,由條件可以推出甲、乙一定也被派出,這就與前面的推理相矛盾,所以戊一定不被派出,因此由以上推斷可以得到一種選派方案:丙、丁被派出,甲、乙、戊不被派出。假設(shè)如果丁一定被派出,那么由條件可以推斷出丙一定派出,乙一定不被派出,又條件可以推出甲、戊一定也不被派出,所以由以上推斷可得出一種派出方案:丙、丁被派出,甲、乙、戊不被派出。假設(shè)如果戊一定被派出,那么由條件可以推斷出甲、乙一定也被派出學(xué)習(xí),而又由可以推斷出丙、丁一定不被派出,所以由以上的推斷可以得出一種派出方案:甲、乙、戊被派出學(xué)習(xí),丙、丁不會(huì)被派去。由以上的分析我

8、們可以得出此公司只有兩中派出方案:一種是甲、乙、戊被派出學(xué)習(xí),丙、丁不會(huì)被派去;另一種是丙、丁被派出,甲、乙、戊不被派出。方法二:用命題邏輯推斷的方法分析:如果要推斷他們五人誰去,又有怎樣的派出方案,我們只需將必要的命題符號(hào)化,再根據(jù)所給條件寫出各個(gè)命題公式,那么我們只需將變換成析取范式的形式,那么此題就可以解決。將命題符號(hào)化:令:甲一定被派出學(xué)習(xí);:乙一定被派出學(xué)習(xí);:丙一定被派出學(xué)習(xí);:丁一定被派出學(xué)習(xí); :戊一定被派出學(xué)習(xí)那么各條件可符號(hào)化為: ;由于各條件都是已知的,所以它們的合取式一定為真。設(shè):=()()()()()要想得到派出方案,只需求出的析取范式,那么求的析取范式的主要步驟是:

9、 由上面的推斷可以很容易得出只有兩種方案:一種是甲、乙、戊被派出學(xué)習(xí),而丙、丁不會(huì)被派出;另一種是丙、丁被派出,而甲、乙、戊不被派出。(二)在推理題中的應(yīng)用在推理題中用到命題演繹推理,而其中應(yīng)用的各種推理規(guī)則大多是依靠推理定理完成的。常用的推理定理有:1. 附加2. 化簡3. 假言推理4. 拒取式5. 析取三段論6. 假言三段論例2某大學(xué)為慶祝建校60周年,特別舉行了“唱響未來”歌唱比賽,同學(xué)們踴躍參加,比賽圓滿結(jié)束,比賽情況如下:若趙獲得了冠軍,那么錢或?qū)O獲得了亞軍;若孫獲得了亞軍,那么趙一定不能獲得冠軍;若李獲得了亞軍,那么錢一定不能獲得亞軍;最后趙獲得了冠軍那么有人說“李一定未獲得亞軍”

10、問:這個(gè)人說的對(duì)嗎?并加以證明。方法一:一般的推理方法分析:一般做這樣的推理題,想要推出所得的結(jié)論是否正確,我們首先得應(yīng)用所給條件中最明了的,這道題中所給的條件我們可以看出“最后趙獲得了冠軍”,很明顯的告訴了我們可以從這里著手。因?yàn)椤白詈筅w獲得了冠軍”,那么我們可以根據(jù)這條來推,由條件“若趙獲得了冠軍,那么錢或?qū)O獲得了亞軍”,我們可以知道錢或?qū)O獲得了亞軍。假設(shè)錢獲得了亞軍,那么我們可以由“若李獲得了亞軍,那么錢一定不能獲得亞軍”推出李沒有獲得亞軍。所以這個(gè)假設(shè)可以推出這道推理題的推理結(jié)果是正確的。假設(shè)孫獲得了亞軍,那么我們可以由“若孫獲得了亞軍,那么趙一定不能獲得冠軍”推出趙一定不能是冠軍,這

11、就與所給條件“最后趙獲得了冠軍”相矛盾了,所以這樣的假設(shè)不成立。所以只能是錢得亞軍,而李一定未獲得亞軍。方法二:用命題邏輯推理的方法分析:當(dāng)遇到這樣的推理題時(shí),如果用命題演繹推理,只需將一些命題符號(hào)化,然后應(yīng)用一些推理定律,就可推出結(jié)果。將命題符號(hào)化:令:趙獲得了冠軍;:錢獲得了亞軍;:孫獲得了亞軍;:李獲得亞軍前提條件:,.結(jié)論: 證明: 前提條件引入 前提條件引入 假言推理 的化簡 的化簡 前提條件引入 拒取式 拒取式 前提條件引入 拒取式由此可以很明確的看出,上面的條件推出這個(gè)結(jié)論是正確的,李一定未獲亞軍。上面的例1和例2分別用兩種不同的方法解答,一種是我們常用的一般方法,一種就是應(yīng)用了

12、命題邏輯的相關(guān)知識(shí),從中我們可以看出:在一些推斷推理題中,如果我們應(yīng)用一般的方法,那么得進(jìn)行多次假設(shè),而且每次假設(shè)都得重新思考每句話之間的關(guān)系,得重新進(jìn)行推斷,這樣進(jìn)行的次數(shù)越多,那么思維也會(huì)越發(fā)混亂,因此這樣的推斷推理也將會(huì)浪費(fèi)更多的時(shí)間,即使推出了結(jié)果也不一定正確,而如果應(yīng)用命題邏輯來做的話,只需將必要的命題符號(hào)化,然后根據(jù)已知條件寫出各個(gè)命題公式,聯(lián)立公式進(jìn)行一些等值變換或應(yīng)用已知條件進(jìn)行演繹推理,且不需要再反復(fù)推斷推理就可以推出我們所想要的結(jié)論,所以思路及推斷推理過程清晰,只需熟練掌握一些公式就可以又快又準(zhǔn)確的解決這些推斷推理題。四、命題邏輯數(shù)學(xué)證明題中的應(yīng)用在數(shù)理邏輯中,證明是一個(gè)描

13、述推理過程的命題公式序列,其中的每個(gè)命題公式或者是已知的前提,或者是由前提條件通過一些推理規(guī)則而得到的結(jié)論。在我們解題過程中經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的數(shù)學(xué)證明題,而用來證明它們的方法也非常多,可歸根就底來看這些方法實(shí)際上大多數(shù)都是命題邏輯的一些推理理論。下面就通過一些實(shí)例來分析常見的數(shù)學(xué)證明方法的邏輯依據(jù)。(一) 直接證明法 直接證明法就是根據(jù)已知條件來直接推出結(jié)論的方法。例1如圖1,四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面, CDEAB 圖1 圖2(I)證明:;證明:(I)如上圖2,取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),又面面,面,即,面,邏輯分析:在這道高考證明題中,主要用到了命題邏輯證明方法中的直接證明法,這也是證明中最

14、常用的一種方法。將命題符號(hào)化:令底面為矩形,側(cè)面底面,所以整個(gè)證明過程可以看作為已知前提,為要證結(jié)論,若為正確的,則從前提推出結(jié)論的證明過程是正確的。這種方法的邏輯依據(jù)為:像這種證明方法,也就用到了命題邏輯判斷推理是否正確的方法,就是判斷重言蘊(yùn)涵式的方法,即蘊(yùn)涵式為推理的形式結(jié)構(gòu),為推理的前,為推理的結(jié)論,若為重言式,則從前提推出結(jié)論的推理正確。(二) 附加前提證明法 附加前提證明法就是將要證明結(jié)論中的條件作為已知前提條件來用的直接證明法。例2已知在數(shù)列中,成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,證明:若的倒數(shù)成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列。證明:由已知,有 (1)由,得由(1)得代入,得整理得即 所以成等比數(shù)列邏

15、輯分析:從這道題中我們可以看出這不是我們所看到的一般證明的形式,也就是說不是從一些已知的前提直接來證明的,而它所需證明的是一個(gè)“若,則”的形式,即可符號(hào)化為蘊(yùn)涵式“”,這時(shí)下面的證明卻把這個(gè)要證明的蘊(yùn)涵式的條件作為了已知的前提條件去用,像這樣的證明方法也就是命題邏輯中的附加前提證明法。這種證明方法的邏輯依據(jù)為:設(shè)是個(gè)前提條件,是結(jié)論,那么推理形式結(jié)構(gòu)為: 就是這道證明題的推理形式。對(duì)進(jìn)行下列等值演算: . 在中我們可以清楚的看到原來結(jié)論中的前提條件已經(jīng)變成了整個(gè)證明中的大前提條件,而它的地位和已經(jīng)相同,這樣就演變成了我們所一般用到的直接證明法,同時(shí)可以得到要證明式是重言式的話,只要證明式是重言

16、式就可以。因此,按進(jìn)行推理時(shí),稱為附加條件,那么像這樣的應(yīng)用附加條件證明的方法方法就是附加條件證明法。 (三)歸謬法(反證法) 歸謬法就是將結(jié)論的否定作為前提條件引入推出矛盾,從而證明原推理過程正確的方法。例3證明:若且,那么中至少有一個(gè)不小于0.證明:假設(shè)都小于0,也就是說: 那么= 這與相矛盾, 所以假設(shè)不成立, 所以中至少有一個(gè)不小于0.邏輯分析:一般的當(dāng)一道證明題用直接證明的方法不方便證明時(shí),我們就會(huì)選擇應(yīng)用反證法,而這種方法也就是間接證明法,在命題邏輯中也就是歸謬法。歸謬法是將命題通過變換成它的等價(jià)命題,一般從結(jié)論的否定出發(fā),通過推理來證明結(jié)論的否不成立,從而說明結(jié)論成立。而當(dāng)我們?cè)?/p>

17、所要證明的命題中出現(xiàn)像“至少”、“至多”、“僅有”、“都是”、“都不是”等表示的太絕對(duì)的字眼時(shí),我們常用歸謬法來證明。這道證明題的證明過程用命題邏輯的方法可寫成下面的形式:將命題符號(hào)化:令:;:;:;:;:中至少有一個(gè)不小于0(那么:都小于0)前提: 結(jié)論:證明: 前提引入 否定結(jié)論引入 假言推理 前提引入 附加 前提引入 析取三段論 合取顯然為矛盾式,所以前面的證明結(jié)論是正確的。這種證明方法的邏輯依據(jù)為:設(shè)是個(gè)命題公式,相容的: 若合取式是可滿足式,則是相容的;不相容的: 若合取式是矛盾式,則是不相容的;在例3中我們用直接證明法的推理形式結(jié)構(gòu)應(yīng)該是,但是解題時(shí)設(shè)的是,并將其做為前提條件,這就

18、用到了可見如果是不相容的,那么說明就是重言式,所以與它等價(jià)的也為重言式,因此推理是正確的。即是的邏輯結(jié)論。而在這樣的推理過程中,可以發(fā)現(xiàn)我們要證明是不相容的,是另外加上去的條件,而這種將結(jié)論的否定作為附加條件引入來推導(dǎo)出矛盾的證明方法就是歸謬法。五、總結(jié)數(shù)理邏輯在數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位,因?yàn)樗俏覀冏鋈魏螖?shù)學(xué)題的基礎(chǔ),貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,而命題邏輯作為其中的一部分,可以算是最簡單,但是卻是應(yīng)用最廣泛的,謂詞邏輯是它的推廣,由于比較難,所以在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較少。研究命題邏輯,主要是研究其嚴(yán)密推理方法,而命題邏輯主要應(yīng)用在數(shù)學(xué)中的推斷推理題和證明題中。在推斷推理題中,可以應(yīng)用命題邏輯首先先將命題符號(hào)化,這樣可以將命題簡單化;然后就可以應(yīng)用等值演算和推理定理推出其結(jié)果或證明推理過程是否正確。這樣就比一般的推理方法思路更清晰,推理更嚴(yán)密,也更便于人理解。在證明題中,我們常用的直接證明法和間接證明法其實(shí)就是用到命題邏輯中的一般證明法的蘊(yùn)涵式為推理的

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論