三角形重心外心垂心內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、知識點總結(jié)1. O是AABC的重心 oOA + OB + OC = 0若0是AABC的重心，則S“g=Ssoc=S“ =gS“Bc故OX + OB + OC = 6.PU =i+ + PdPdOG為wc的重心.2. 0是AABC的垂心 O 広.65=而.況=疋61若0是AABC（非直角三角形）的垂心，則SABOC:SAAOCSSOB=仙A：tanB：tanC故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63. 0是AABC的外心 OIOA 1=1 OBH OCI(ngOA= OR2= Oc)若o是AABC的外心則SABOC：Sac：SMOB = sinZBOC：sinZAOC:

2、sinZAOB = sin2A : sin2B: sin2C故sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 6引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為ee2,e3，則剛才。是. I .OA （e, + e3） = OB （e, + e2） = OC （e2+ e3） = 00是AABC內(nèi)心的充要條件也可以是a6A + bdB + cOC = 6。若。是AABC的內(nèi)心，則故aOA + bOB + cOC = 6或sin A&X + sinBOB + sinCOC = 6例1- O是平面上的一定點，A.B.C是平面上不共線的三個點，動點P滿足（A）外

3、心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心三角形“四 心”向量形式的充要條件應(yīng)用6X _51L_AS4- 0是內(nèi)心AABC的充要條件是 盲石一疋竺竺-I BA I I BC ICBI CA I I CB I(AABC內(nèi)心的充要條件可以寫成SABOC：AAOC2| | ABAB | | PC+PC+ BCPA+CAPBBCPA+CAPB = = OO P P是WC的內(nèi)心;向量兄（ABAB|麗|+法右）（幾工0）所在直線過AABCAABC的內(nèi)心（是ABACABAC的角平分線所在直線）；范 例（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考/ e 0.-HX）則戸點的軌跡一定通過AA3C的（TR.解析：因為篤是向量忌的單位

4、向量設(shè)恥與方向上的單位向量分別為和乂_ 網(wǎng) _OP-OAOP-OA = = APAP，則原式可化為喬二兄站+勺），由菱形的基本性質(zhì)知AP平分ABAC,ABAC,那么在AABCAABC中，AP平分ZB4C,則知選B（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H H是ZVlBC所在平面內(nèi)任一點，HAHA HBHB = = HBHB HCHC = = HCHC HAHAO 點H是ZVlBC的垂心.由7M =WC WB （WC-/M） = 0AC = 0 AC,同理就丄屈，頁丄i?.故H是ZVlBC的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是厶品。所在平面上一點，若PAPBPAPB = =

5、PBPCPBPC = = PCPAPCPAf f則P是AABC的（D）A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析:PAPB:PAPB = = PBPCPAPB-PB-PCPBPCPAPB-PB-PC = = O.O.即西（顧元） =0,即西乙5 = 0則丄CA,同理P4丄ECEC、PCPC丄43所以P為AABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是ZVIBC所在平面內(nèi)一點，GAGA + + GB+GC=0GB+GC=0O 點G是4肌?的重心.證明作圖如右，圖中GBGB + + GCGC = = GEGE連結(jié)BE和C,則BEBE 二 GCoBGCEGCoBGCE為

6、平行四邊形n D是的中點，ADAD 為 BCBC 邊上的中線.GB+GC=GE弋入刃+而+荒=0,得GAGA + + EG=0=EG=0=GA = -GE = -2GD,故G是4BC的重心.（反之亦然（證略） 例5. P是ZVlBC所在平面內(nèi)任一點.G是ABC的重心 oPG= （PA+PB+PC）.證明PGPG = = PAPA + + AGAG = = PBPB 七 BGBG = = PCPC + + CGCG33PG3PG = = （AG+BGAG+BG +CG+CG） + + （PA+PB+PCPA+PB+PC）VG是厶ABCABC的重心 二GAGA + + GBGB + + GC=0=

7、GC=0= AG+BGAG+BG + + CGCG=0,即3PG = PA + 7B+PC由此可得PGPG = = （FAFA + + pi+7cpi+7c）. .（反之亦然（證略）例6若0為AABCAABC內(nèi)一點，OAOA + + OBOB + + OCOC = = 0 0,則0是AABCAABC的（）B外心C垂心D重心解析：由OAOA + + OBOB + + OCOC = = OOBOOB + + OCOC = = -OA,-OA,如圖以O(shè)B、0C為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則OBOB + + OCOC = = ODODf f由平行四邊形性質(zhì)知OEOE = = OD,OD,|Q4| = 2

8、|OE|,同理可證其它兩邊上的這個性 質(zhì)，所以是重心，選D。（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為辺C內(nèi)一點，|o5| = | -IAMAM = = AB,AN=AB,AN= yACyAC, ,求證：+ 6、小結(jié)處理與三角形有關(guān)的向量問題時，要允分注意數(shù)形結(jié)合的運用，關(guān)注向量等式中的實數(shù)互化, 合理地將向量等式和圖形進行轉(zhuǎn)化是處理這類問題的關(guān)鍵。7、作業(yè)1、己知0是ZXABC內(nèi)的一點，OAOA + + OBOB + + OCOC = = 0 0f f則0是AABC的（）A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心2、若ZABC的外接圓的圓心為0,半徑為1,且OAOA + + OBOB + + OC

9、OC = = O Of f則頁而等于（）A、丄B、0C、1D、一丄2 23、 己知0是ZABC所在平面上的一點，A、B、C、所對的過分別是a a、b b、c c若 處頁 +b麗+c龍=6,貝IJ0是ZiABC的（）A、重心垂心C、外心D內(nèi)心4、己知P是AABC所在平面內(nèi)與A不重合的一點，滿足ABAB + + ACAC = = 3AP3AP,則P是ABC的（）例3、己知P是AABC所在平面內(nèi)的一動點,且點P滿足OPOP = = WiWi + + A A卷 + 絲MG(O,+S),則動點P的軌跡一定通過AABC的（）A、重心 例4、己B、 知0垂心是ABCC、外心D、內(nèi)心所在平面內(nèi)的一點，動OPO

10、P = = OAOA + + A AABABACACcosB |AcjcosCA、重心B、垂心練習(xí)3、己知0是説丘（O,+s）,則動點P定過AABC的（ABCC、外心 所在平面D、內(nèi)心 內(nèi)的一點，動尿亜運+兄ABABcos/網(wǎng)cosCACA、 重心 例5、已知點岡B、垂心G是的重心，過G則動點P定過A ABC的（D、內(nèi)心C、外心作直線與AB、AC分別相交于N兩點,OPOP = = OAOA + +1_、+ + BCBC,2 e(0,+co),A重心B、垂心C、外心D內(nèi)心5、平面上的三個向量丙、OBOB . . OCOAOCOA + + OBOB + + OCOC = = O Of f|dX|

11、= |o| = |oc| = 1,求證:A ABC為正三角形。6、在ZXABC中，0為中線AM上的一個動點，若AM=2,求OA(OBOC)三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體， 有方向， 大小， 雙重性， 不能比較大小。 在高中數(shù)學(xué)“平面向量”(必 修4第二章)的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運算；另一方面，我們乂以向 量為工具，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和兒 何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn) 化為基向量的運算問題，最

12、后將運算的結(jié)果再還原為兒何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點，應(yīng)用向量相關(guān)知識，巧妙的解決了三角形四心所具備的一 些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)，乂體會了向量帶來的巧妙獨特的數(shù)學(xué)美感。、“重心”的向量風(fēng)采【命題1】G是/xABC所在平面上的一點， 若G4 + GB +GC = O,則G是ZVIBC的重心.如圖.圖AB,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OPOP = = OAOA + + A(AB+AC)A(AB+AC)f f2G(0, +S),則P的軌跡一定通過ZVIBC的重心.【解析】 由題意APAP = = A(ABA(AB + + AC),AC),當(dāng)/lw(0,+o

13、o)時，由于A(ABA(AB + + ACAC)表示BC邊上的中線所在 直線的向量，所以動點P的軌跡一定通過4BC的重心，如圖(2).二、“垂心”的向量風(fēng)采【命題3】P是4BC所在平面上一點，若PAPA PBPB = = PBPB PCPC = = PCPC PAPA . .則P是ZVlBC的垂心【命題2己知0是平面上一定點,【解析】 由PAPBPAPB = = PBPC,PBPC,得PB(PA-PC)PB(PA-PC) = = O Of f即PBcAPBcA = = O O , ,所以P萬丄C4.同理可證Pf丄ABABf fPA丄BCBC . .P是ZkABC的垂心.如圖. bABbAB +

14、 + cACcAC= |AC|-ABAB+ |AZ?|-AC = |AC|-卜科./ 、ABAB ACACABAB+ +ACAC石cici + + b b + + c c ABAB岡岡餡 與窗 分別為殛和疋 方向上的單位向量,I KI【命題4】 己知O是平面上一定點，AB,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足 II即篤眈+當(dāng)M=阿_冋=0,所以麗表示垂直于氏的向量，即P點在過點4且 的cosB ACcosC垂直于C的直線上，所以動點P的軌跡一定通過ABC的垂心，如圖(4).三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】 己知/為ZVIBC所在平面上的一點，且ABAB = = c c , , ACAC =

15、 = b b , , BCBC = = a a . .若OPOP = = OAOA + + A AABABACAC卜料cosB |Ac|cosC,朕(0,+s),則動點P的軌跡一定通過4BC的垂心.【解析】由題意APAP= 2 -_ ._ABcosBABcosB ACACcosCABABAC4聞cos B |AC|cosCz?c = o,【解析】9：7B=1A+AB,IC=IA+AC9則由題意得(a + b + c)Z4 + bM + c4C = 0 ,B BaMaM + + b b 雨+ c c 疋=0,=0,則/是AABCAABC的內(nèi)心圖石與ZBACZBAC平分線共線，即4/平分ABACA

16、BAC 同理可證：刃平分ZABC,ZABC,C7平分ZAC3.從而/是ABC的內(nèi)心，如圖(5).【命題6己知0是平面上一定點，AB,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足久w (0, + 8),則動點P的軌跡一定通過43C的內(nèi)心方向的向量，故動點P的軌跡一定通過4BC的內(nèi)心，如圖(6).四、“外心的向量風(fēng)采【命題7】 已知O是ABC所在平面上一點，若加=0礦=0小，貝IJO是4BC的夕卜心.【解析】 由題意得APAP= AACACI ACAC,當(dāng)兄丘(0，+切時，喬表示ZBACZBAC的平分線所在直線ABAB【解析】 若0A0A2 2= = 0B0B2 2= = 0C0C2 2,貝ij|oA|2=|o|2= |oc|2,網(wǎng)=|o料=pq,則0