高考數(shù)學(xué)經(jīng)典例題匯總一含解析

1、兩平面的平行判定和性質(zhì)（含解析）例1：已知正方體求證：平面平面 證明：為正方體，  又平面，故 平面同理 平面又 ，平面平面說(shuō)明：上述證明是根據(jù)判定定理1實(shí)現(xiàn)的本題也可根據(jù)判定定理2證明，只需連接即可，此法還可以求出這兩個(gè)平行平面的距離典型例題二例2：如圖，已知，典型例題一例1 已知，求點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形為等腰梯形分析：利用等腰梯形所具備的性質(zhì)“兩底互相平行且兩腰長(zhǎng)相等”進(jìn)行解題解：如圖，設(shè)，若，則，即由、解得若，則即由、式解得故點(diǎn)的坐標(biāo)為或說(shuō)明：(1)把哪兩條邊作為梯形的底是討論的標(biāo)準(zhǔn)，解此題時(shí)注意不要漏解(2)在遇到兩直線平行問(wèn)題時(shí)，一定要注意直線斜

2、率不存在的情況此題中、的斜率都存在，故不可能出現(xiàn)斜率不存在的情況典型例題二例2當(dāng)為何值時(shí)，直線與直線互相垂直？分析：分類討論，利用兩直線垂直的充要條件進(jìn)行求解或利用結(jié)論“設(shè)直線和的方程分別是，則的充要條件是”（其證明可借助向量知識(shí)完成）解題解法一：由題意，直線(1)若，即，此時(shí)直線，顯然垂直；(2)若，即時(shí)，直線與直線不垂直；(3)若，且，則直線、斜率、存在，當(dāng)時(shí)，即，.綜上可知，當(dāng)或時(shí)，直線解法二：由于直線，所以，解得故當(dāng)或時(shí)，直線說(shuō)明：對(duì)于本題，容易出現(xiàn)忽視斜率存在性而引發(fā)的解題錯(cuò)誤，如先認(rèn)可兩直線、的斜率分別為、，則，由，得，即解上述方程為從而得到當(dāng)時(shí)，直線與互相垂直上述解題的失誤在于機(jī)

3、械地套用兩直線垂直（斜率形式）的充要條件，忽視了斜率存在的大前提，因而失去對(duì)另一種斜率不存在時(shí)兩直線垂直的考慮，出現(xiàn)了以偏概全的錯(cuò)誤典型例題三例3 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被兩平行直線和截得的線段之長(zhǎng)為5，求直線的方程分析：(1)如圖，利用點(diǎn)斜式方程，分別與、聯(lián)立，求得兩交點(diǎn)、的坐標(biāo)（用表示），再利用可求出的值，從而求得的方程(2)利用、之間的距離及與夾角的關(guān)系求解(3)設(shè)直線與、分別相交于、，則可通過(guò)求出、的值，確定直線的斜率（或傾斜角），從而求得直線的方程解法一：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)與、的交點(diǎn)分別為和，截得的線段的長(zhǎng)，符合題意，若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為解方程組得，解

4、方程組得由，得解之，得，即欲求的直線方程為綜上可知，所求的方程為或解法二：由題意，直線、之間的距離為，且直線被平等直線、所截得的線段的長(zhǎng)為5（如上圖），設(shè)直線與直線的夾角為，則，故由直線的傾斜角為135°，知直線的傾斜角為0°或90°，又由直線過(guò)點(diǎn)，故直線的方程為或解法三：設(shè)直線與、分別相交、，則：，兩式相減，得又聯(lián)立、，可得或由上可知，直線的傾斜角分別為0°或90°故所求直線方程為或說(shuō)明：本題容易產(chǎn)生的誤解是默認(rèn)直線的斜率存在，這樣由解法一就只能得到，從而遺漏了斜率不存在的情形一般地，求過(guò)一定點(diǎn)，且被兩已知平行直線截得的線段為定長(zhǎng)的直線，當(dāng)小

5、于兩平行直線之間距離時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)有唯一解；當(dāng)時(shí)，有且只有兩解另外，本題的三種解法中，解法二采取先求出夾角后，再求直線的斜率或傾斜角，從方法上看較為簡(jiǎn)單；而解法三注意了利用整體思想處理問(wèn)題，在一定程度上也簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程典型例題四例4 已知點(diǎn)，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，可有兩種情況，即在軸或軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為或由題意，直線與直線垂直，其斜率乘積為1，可分別求得或2，或4，所以滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），（2，0），（0，4）說(shuō)明：本題還可以有另外兩種解法：一種是利用勾股定理，另一種是直角三角形斜邊與軸交點(diǎn)恰為斜邊中

6、點(diǎn)，則由到、距離相等的性質(zhì)可解本題易錯(cuò)，可能只解一個(gè)坐標(biāo)軸；可能解方程時(shí)漏解；也可能看到、各有兩解而誤以為有四點(diǎn)典型例題五例5 已知的一個(gè)定點(diǎn)是，、的平分線分別是，求直線的方程分析：利用角平分線的軸對(duì)稱性質(zhì)，求出關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，它們顯然在直線上解：關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別是和，且這兩點(diǎn)都在直線上，由兩點(diǎn)式求得直線方程為典型例題六例6 求經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，并且垂直于直線的直線的方程解一：解得兩直線和的交點(diǎn)為（，），由已知垂直關(guān)系可求得所求直線的斜率為，進(jìn)而所求直線方程為解二：設(shè)所求直線方程為，將所求交點(diǎn)坐標(biāo)（，）代入方程得，所以所求直線方程為解三：所求直線過(guò)點(diǎn)（，），且與直線垂直，所以，所求直線方

7、程為 即 解四：設(shè)所求直線得方程為 即 （1） 由于該直線與已知直線垂直 則 解得 代入（1）得所求直線方程為典型例題七例7已知定點(diǎn)（3，1），在直線和上分別求點(diǎn)和點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短，并求出最短周長(zhǎng)CAxCNOyBM圖1分析：由連接兩點(diǎn)的線中，直線段最短，利用對(duì)稱，把折線轉(zhuǎn)化為直線，即轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離解：如圖1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn)分別為，又周長(zhǎng)最小值是：由兩點(diǎn)式可得方程為：而且易求得：（，），（，0），此時(shí)，周長(zhǎng)最短，周長(zhǎng)為典型例題八例8 已知實(shí)數(shù)，滿足，求證：解：本題的幾何意義是：直線上的點(diǎn)（，）與定點(diǎn)的距離的平方不小于因?yàn)橹本€外一點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線中，垂線段距離最短，而垂線段的長(zhǎng)度

8、即距離，所以，即說(shuō)明：本題應(yīng)為不等式的題目，難度較大，證明方法也較多，但用解析幾何的方法解決顯得輕松簡(jiǎn)捷，深刻地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想典型例題九例9 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在上，試在軸的正半周上求一點(diǎn)，使取得最大值分析：要使最大，只需最大，而是直線到直線的角（此處即為夾角），利用公式可以解決問(wèn)題xCOBAy圖2解：如圖2，設(shè)點(diǎn)，于是直線、的斜率分別為：，當(dāng)且僅當(dāng)即，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），由可知為銳角，所以此時(shí)有最大值說(shuō)明：本題綜合性強(qiáng)，是三角、不等式和解析幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)另外本題也是足球射門最大角問(wèn)題的推廣為了更好地理解問(wèn)題，可以演示用“幾何畫板”制作的課件.典型例題十例10直線，求關(guān)于直線對(duì)稱的

9、直線的方程分析：本題可有多種不同的解法，給出多種解法的途徑是：一類利用直線方程的不同形式求解；另一類采用消元思想進(jìn)行求解解法一：由得與的交點(diǎn)為，顯見(jiàn)也在上設(shè)的斜率為，又的斜率為-2，的斜率為，則，解得故的直線方程為即解法二：在直線上取一點(diǎn)，又設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得故由兩點(diǎn)式可求得直線的方程為解法三：設(shè)直線上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，顯然在上，即，也即這便是所求的直線的方程解法四：設(shè)直線上一動(dòng)點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，可設(shè)的坐標(biāo)為，則即消去，得，即此所求的直線的方程說(shuō)明：在解法一中，應(yīng)注意正確運(yùn)用“到角公式”，明確由哪條直線到哪條直線的角在具體解題時(shí)，最好能準(zhǔn)確畫出圖形，直觀地

10、得出關(guān)系式在解法四中，脫去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，運(yùn)用了平面區(qū)域的知識(shí)否則，若從表面上可得到兩種結(jié)果，這顯然很難準(zhǔn)確地得出直線的方程本題的四種不同的解法，體現(xiàn)了求直線方程的不同的思想方法，具有一定的綜合性除此之外，從本題的不同解法中可以看出，只有對(duì)坐標(biāo)法有了充分的理解與認(rèn)識(shí)，并具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，才有可能駕馭本題，從而在解法選擇的空間上，真正做到游刃有余，左右逢源典型例題十一例11不論取什么實(shí)數(shù)，直線都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)分析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母，給任何一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以為參數(shù)的直線系方程要證明這個(gè)直線系的直線都過(guò)一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共

11、點(diǎn)的直線系，我們可以給出的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過(guò)的定點(diǎn)另一思路是由于方程對(duì)任意的都成立，那么就以為未知數(shù)，整理為關(guān)于的一元一次方程，再由一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo)解法一：對(duì)于方程，令，得；令，得解方程組得兩直線的交點(diǎn)為將點(diǎn)代入已知直線方程左邊，得：這表明不論為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過(guò)定點(diǎn)解法二：將已知方程以為未知數(shù)，整理為：由于取值的任意性，有，解得，所以所給的直線不論取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)說(shuō)明：(1)曲線過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)無(wú)關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)(2)分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值，得方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程

12、滿足，則此點(diǎn)為定點(diǎn)典型例題十二例12一年級(jí)為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺(tái)，將裝畫的鏡框旋置桌上，斜靠展出已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A角為()鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距、()，學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為鏡框邊，為畫的寬度，為下邊緣上的一點(diǎn)，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知，在軸的正方向向上求一點(diǎn)，使取最大值因?yàn)橐暯亲畲髸r(shí)，從理論上講，看畫的效果最佳（不考慮其他因素）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為()，從三角函數(shù)定義知、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，于是直線、的斜率分別為，于是，即由于是銳角，且在上，則：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此

13、時(shí)取最大值，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因此，學(xué)生距離鏡框下緣處時(shí)，視角最大，即看畫效果最佳說(shuō)明：解決本題有兩點(diǎn)至關(guān)重要：一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題求解；二是把問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求的最大值如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求的最大值，都將使問(wèn)題變得復(fù)雜起來(lái)本題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及三角知識(shí)的結(jié)合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力典型例題十三例13知實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值分析：本題可使用減少變量法和數(shù)形結(jié)合法兩種方法：可看成點(diǎn)與之間的距離解：(法1)由得()，則，的最小值是2.(法2)實(shí)數(shù)，滿足，點(diǎn)在直線上而可看成點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離(如圖所示)

14、顯然的最小值就是點(diǎn)到直線的距離：，的最小值為2說(shuō)明：利用幾何意義，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化形如的式子即可看成是兩點(diǎn)間的距離，從而結(jié)合圖形解決典型例題十四例14直線是中的平分線所在的直線，且，的坐標(biāo)分別為，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)并判斷的形狀分析：“角平分線”就意味著角相等，故可考慮使用直線的“到角”公式將“角相等”列成一個(gè)表達(dá)式解：(法1)由題意畫出草圖（如圖所示）點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，由圖易知到的角等于到的角，因此這兩個(gè)角的正切也相等，解得的坐標(biāo)為，是直角三角形(法2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則必在直線上以下先求由對(duì)稱性可得解得，直線的方程為，即由得，是直角三角形說(shuō)明：(1)在解法1中設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，由于在直線上

15、，故可設(shè)，而不設(shè)，這樣可減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)(2)注意解法2中求點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的求法：原理是線段被直線垂直平分典型例題十五例15兩條直線，求分別滿足下列條件的的值(1) 與相交； (2)與平行； (3)與重合；(4)與垂直； (5)與夾角為分析：可先從平行的條件(化為)著手解：由得，解得，由得(1)當(dāng)且時(shí)，與相交；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，與重合；(4)當(dāng)，即，時(shí)，；(5)，由條件有將，代入上式并化簡(jiǎn)得，；，當(dāng)或-5或3時(shí)與夾角為說(shuō)明：由解得或，此時(shí)兩直線可能平行也可能重合，可將的值代入原方程中驗(yàn)證是平行還是重合當(dāng)時(shí)兩直線一定相交，此時(shí)應(yīng)是且典型例題十六例16點(diǎn)，和，求過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)，距離相等的直線方

16、程分析：可以用待定系數(shù)法先設(shè)出直線方程，再求之；也可從幾何意義上考察這樣的直線具有的特征解：(法1)設(shè)所求直線方程為，即，由點(diǎn)、到直線的距離相等得：化簡(jiǎn)得，則有：或，即或方程無(wú)解方程無(wú)解表明這樣的不存在，但過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，它與，的距離都是3所求直線方程為或(法2)設(shè)所求直線為，由于過(guò)點(diǎn)且與，距離相等，所以有兩種情況，如下圖：(1)當(dāng)，在同側(cè)時(shí)，有，此時(shí)可求得的方程為，即；(2)當(dāng)，在異側(cè)時(shí)，必過(guò)中點(diǎn)，此時(shí)的方程為所求直線的方程為或說(shuō)明：該題如果用待定系數(shù)法解易漏掉，即斜率不存在的情況所以無(wú)論解什么題目，只要圖形容易畫出，就應(yīng)結(jié)合圖形，用代數(shù)法、幾何法配合來(lái)解典型例題十七例17經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直

17、線平行的直線的方程分析：已知直線與直線平行，故的斜率可求，又過(guò)已知點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可得到的方程另外由于與已知直線平行，利用平行直線系方程，再由已知點(diǎn)，也可確定的方程解法一：由已知直線，知其斜率又由與直線平行，所以直線的斜率又由直線經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，所以利用點(diǎn)斜式得到直線的方程為：，即解法二：因?yàn)橹本€平行于直線，所以可設(shè)直線的方程為又點(diǎn)在直線上，所以，解得故直線的方程為說(shuō)明：解法二使用的是平行直線系，并用了待定系數(shù)法來(lái)解典型例題十八例18過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程分析：已知直線與直線垂直，故的斜率可求，又過(guò)已知點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式可得到的方程另外由于與已知直線垂直，利用垂直直線系方程，再由已知點(diǎn)，也可確定的

18、方程解法一：由直線，知其斜率又由與直線垂直，所以直線的斜率又因過(guò)已知點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式得到直線的方程為，即解法二：由直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為：又由直線經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，有解得因此直線的方程為說(shuō)明：此題的解二中使用垂直直線系方程，并使用了待定系數(shù)法典型例題十九例19知直線經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且與直線的夾角為，求直線的方程分析：先求與的交點(diǎn)，再列兩條直線夾角公式，利用與夾角為，求得的斜率也可使用過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程的方法省去求交點(diǎn)的過(guò)程，直接利用夾角公式求解解法一：由方程組解得直線與的交點(diǎn)于是，所求直線的方程為又由已知直線的斜率，而且與的夾角為，故由兩直線夾角正切公式，得，即有，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)

19、時(shí)，解得故所求的直線的方程為或，即或解法二：由已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，則可設(shè)直線的方程為，（*）即又由與的夾角為，的方程為，有，即，也即，從而，解得，代入（*）式，可得直線的方程為或說(shuō)明：此題用到兩直線的夾角公式，注意夾角公式與到角公式的區(qū)別。解法二還用到了過(guò)兩相交直線的交點(diǎn)的直線系方程，用它可以省去求交點(diǎn)的過(guò)程，但不一定這樣的運(yùn)算就簡(jiǎn)單，還要根據(jù)具體題目選擇合適的方法。典型例題二十例20直線，一束光線過(guò)點(diǎn)，以的傾斜角投射到上，經(jīng)反射，求反射線所在直線的方程分析：此題解法很多如圖，入射線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)易得求反射線的方程只缺少一個(gè)條件，尋求這個(gè)條件的主要思路有：思路一：已知的傾斜角為

20、，入射線的傾斜解為，可由三角形外角定理得到反射線的傾斜角思路二：如圖，由光線的反射定律可知，到的角等于到反射線的角，可得到反射線的斜率思路三：由光的反射性質(zhì)，可知反射線所在直線除經(jīng)過(guò)點(diǎn)外，還經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，反射線方程也可求得思路四：由直線為入射線和反射線所在直線交角的平分線，上任意一點(diǎn)到入射線和反射線的距離相等，也可求得反射線的斜率思路五：可求得，直線為，入射線和反射線關(guān)于對(duì)稱，利用反函數(shù)性質(zhì)，由入射線的方程可以求出反射線的方程解法一：由已知入射線的傾斜角為，其斜率為，又入射線過(guò)點(diǎn)，所以入射線所在直線的方程為：解方程組得交點(diǎn)又因的傾斜角為，入射線的傾斜角，所以入射線與的夾角為于

21、是據(jù)外角定理，即反射線所在直線的斜率為故反射線所在直線的方程為，即：解法二：由已知可得，設(shè)反射線的斜率為，則由入射線到的角等于到反射線的角，可得，即解得以下求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式得反射線所在直線的方程（略）解法三：由已知得入射線所在直線方程為，再與直線的方程聯(lián)立得交點(diǎn)利用關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)，求得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)又由反射線所在直線過(guò)與兩點(diǎn)，它的方程為，即：解法四：可求得入射線所在直線方程為，即，入射線與交點(diǎn)為于是可設(shè)反射線所在直線的方程為：，即由于直線為入射線與反射線夾角的平分線，則上的任一點(diǎn)到它們的距離相等，于是在上取點(diǎn)，有：所以，即故，（等于入射線斜率，舍去）于是反射線的方程為：，即解法五：

22、由點(diǎn)，得直線的方程為又因入射線與反射線所在直線關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為由于反射線所在直線經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)，所以它的方程為：，即典型例題二十一例21已知直線，試求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程分析：對(duì)稱問(wèn)題可分為四種類型：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線；直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線對(duì)于利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可對(duì)于需利用“垂直”“平分”兩個(gè)條件若在對(duì)稱中心（軸），及一個(gè)曲線方程已知的條件下給出，則通常采取坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，其次對(duì)于對(duì)稱軸（中心）是特殊直線，如：坐標(biāo)軸、直線，采取特殊代換法，應(yīng)熟練掌握解：(1)設(shè)點(diǎn)

23、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且解之得：即坐標(biāo)為(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，則上任一點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線上，反之也成立由得把代入方程并整理，得：即直線的方程為(3)設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線為，則直線上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線上，反之也成立由得將代入直線的方程得：直線的方程為說(shuō)明：本題是求有關(guān)對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱直線的問(wèn)題，主要用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線垂直的斜率關(guān)系典型例題二十二例22已知直線和兩點(diǎn)、(1)在上求一點(diǎn)，使最小；(2)在上求一點(diǎn)，使最大分析：較直接的思路是：用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，再求它的最小值這樣計(jì)算量太大也不可行我們可以求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而將轉(zhuǎn)化為

24、，從而當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，才最小，對(duì)于最大也可以利用這樣的方法解：(1)如圖，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則，的的是，與的交點(diǎn)是，故所求的點(diǎn)為(2)如下圖，是方程，即代入的方程，得直線與的交點(diǎn)，故所求的點(diǎn)為說(shuō)明：本例利用求對(duì)稱點(diǎn)的方法巧妙地求出了所求點(diǎn)的坐標(biāo)典型例題二十四例24 已知點(diǎn)，和直線，求一點(diǎn)使，且點(diǎn)到的距離等于2分析：為使（如圖），點(diǎn)必在線段的垂直平分線上，又點(diǎn)到直線的距離為2，所以點(diǎn)又在距離為2的平行于的直線上，求這兩條直線的交點(diǎn)即得所求點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為又的斜率的垂直平分線方程為，即而在直線上又已知點(diǎn)到的距離為2點(diǎn)必在于平行且距離為2的直線上，設(shè)直線方程為，由兩條平行直線之間的距

25、離公式得：或點(diǎn)在直線或上或由得：，或，點(diǎn)或?yàn)樗蟮狞c(diǎn)說(shuō)明：在平面幾何中，常用交軌法作圖得點(diǎn)的位置，而在解析幾何中，則是將直線用方程來(lái)表示，用求方程組的解的方式來(lái)求得點(diǎn)的坐標(biāo)這是解析法的重要應(yīng)用，也是其方便之處求證：證明：過(guò)直線作一平面，設(shè)，又在同一個(gè)平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)有兩條直線與直線平行與重合，即 說(shuō)明：本題也可以用反證法進(jìn)行證明典型例題三例3：如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它和另一個(gè)也相交已知：如圖，求證：與相交證明：在上取一點(diǎn)，過(guò)和作平面，由于與有公共點(diǎn)，與有公共點(diǎn)與、都相交設(shè)，又、都在平面內(nèi)，且和交于與相交所以與相交典型例題四例4：已知平面，為夾在，間的異面線段，、分別為、的中

26、點(diǎn)求證： ，證明：連接并延長(zhǎng)交于 ，確定平面，且，所以 ，又 ， 又 ，故 同理說(shuō)明：本題還有其它證法，要點(diǎn)是對(duì)異面直線的處理典型例題六例6如圖，已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在平面上的射影分別為、，且、互不重合，也無(wú)三點(diǎn)共線求證：四邊形是平行四邊形證明：， 不妨設(shè)和確定平面 同理 和確定平面 又，且 同理 又又，同理四邊形是平行四邊形典型例題七例7設(shè)直線、，平面、，下列條件能得出的是（）A，且，B，且C，且D，且分析：選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與可能相交選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的，理由同A選項(xiàng)C是正確的，因?yàn)椋?，又，選項(xiàng)D也是錯(cuò)誤的，滿足條件的可能與相交答案：C說(shuō)明：此題

27、極易選A，原因是對(duì)平面平行的判定定理掌握不準(zhǔn)確所致本例這樣的選擇題是常見(jiàn)題目，要正確得出選擇，需要有較好的作圖能力和對(duì)定理、公理的準(zhǔn)確掌握、深刻理解，同時(shí)要考慮到各種情況典型例題八例8設(shè)平面平面，平面平面，且、分別與相交于、，求證：平面平面分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面上找到兩條相交直線，或作出相交直線，它們分別與平行（如圖）證明：在平面內(nèi)作直線直線，在平面內(nèi)作直線直線平面平面，平面，平面，又，平面平面說(shuō)明：如果在、內(nèi)分別作，這樣就走了彎路，還需證明、在、內(nèi)，如果直接在、內(nèi)作、的垂線，就可推出由面面垂直的性質(zhì)推出“線面垂直”，進(jìn)而推出“線線平行”、“線面平行”，最后得到“面面平行”，最

28、后得到“面面平行”其核心是要形成應(yīng)用性質(zhì)定理的意識(shí)，在立體幾何證明中非常重要典型例題九例9如圖所示，平面平面，點(diǎn)、，點(diǎn)，是、的公垂線，是斜線若，、分別是和的中點(diǎn)，(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)分析：（1）要證，取的中點(diǎn)，只要證明所在的平面為此證明，即可(2)要求之長(zhǎng)，在中，、的長(zhǎng)度易知，關(guān)鍵在于證明，從而由勾股定理可以求解證明：(1)連結(jié)，設(shè)是的中點(diǎn)，分別連結(jié)、是的中點(diǎn)，又，同理是的中點(diǎn)，平面平面， (2)分別連結(jié)、，又是、的公垂線，是等腰三角形又是的中點(diǎn)，在中，說(shuō)明：(1)證“線面平行”也可以先證“面面平行”，然后利用面面平行的性質(zhì)，推證“線面平行”，這是一種以退為進(jìn)的解題策略(2)空間線段的長(zhǎng)

29、度，一般通過(guò)構(gòu)造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來(lái)求解(3)面面平行的性質(zhì)：面面平行，則線面平行；面面平行，則被第三個(gè)平面所截得的交線平行典型例題十例10 如果平面內(nèi)的兩條相交直線與平面所成的角相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是_分析：按直線和平面的三種位置關(guān)系分類予以研究解：設(shè)、是平面內(nèi)兩條相交直線(1)若、都在平面內(nèi)，、與平面所成的角都為，這時(shí)與重合，根據(jù)教材中規(guī)定，此種情況不予考慮(2)若、都與平面相交成等角，且所成角在內(nèi)；、與有公共點(diǎn)，這時(shí)與相交若、都與平面成角，則，與已知矛盾此種情況不可能(3)若、都與平面平行，則、與平面所成的角都為，內(nèi)有兩條直線與平面平行，這時(shí)綜上，平面、的位置關(guān)

30、系是相交或平行典型例題十一例11試證經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行已知：，求證：過(guò)有且只有一個(gè)平面分析：“有且只有”要準(zhǔn)確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一的，缺一不可證明：在平面內(nèi)任作兩條相交直線和，則由知，點(diǎn)和直線可確定一個(gè)平面，點(diǎn)和直線可確定一個(gè)平面在平面、內(nèi)過(guò)分別作直線、，故、是兩條相交直線，可確定一個(gè)平面，同理又，所以過(guò)點(diǎn)有一個(gè)平面假設(shè)過(guò)點(diǎn)還有一個(gè)平面，則在平面內(nèi)取一直線，點(diǎn)、直線確定一個(gè)平面，由公理2知：，又，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾，因此假設(shè)不成立，所以平面只有一個(gè)所以過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行典型例題十二例12已知點(diǎn)

31、是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，且，為上的高，、分別是、的中點(diǎn)，試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn)證法1：連結(jié)交于點(diǎn)，是的中位線，在中，是的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)是的中位線，又平面，平面，平面分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出證法2：為的中位線，平面，平面，平面同理：平面，平面平面，又平面，平面典型例題十三例13如圖，線段分別交兩個(gè)平行平面、于、兩點(diǎn)，線段分別交、于、兩點(diǎn)，線段分別交、于

32、、兩點(diǎn)，若，的面積為72，求的面積分析：求的面積，看起來(lái)似乎與本節(jié)內(nèi)容無(wú)關(guān)，事實(shí)上，已知的面積，若與的對(duì)應(yīng)邊有聯(lián)系的話，可以利用的面積求出的面積解：平面，平面，又，同理可證：，與相等或互補(bǔ)，即由，得，由，得：，又的面積為72，即的面積為84平方單位說(shuō)明：應(yīng)用兩個(gè)平行的性質(zhì)一是可以證明直線與直線的平行，二是可以解決線面平行的問(wèn)題注意使用性質(zhì)定理證明線線平行時(shí)，一定第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，其交線互相平行典型例題十四例14 在棱長(zhǎng)為的正方體中，求異面直線和之間的距離分析：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們解決了如下的問(wèn)題：若和是兩條異面直線，則過(guò)且平行于的平面必平行于過(guò)且平行于的平面我們知道，空間兩條異面直

33、線，總分別存在于兩個(gè)平行平面內(nèi)因此，求兩條異面直線的距離，有時(shí)可以通過(guò)求這兩個(gè)平行平面之間的距離來(lái)解決具體解法可按如下幾步來(lái)求：分別經(jīng)過(guò)和找到兩個(gè)互相平等的平面；作出兩個(gè)平行平面的公垂線；計(jì)算公垂線夾在兩個(gè)平等平面間的長(zhǎng)度解：如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：連結(jié)，分別交平面和平面于和因?yàn)楹头謩e是平面的垂線和斜線，在平面內(nèi)，由三垂線定理：，同理：平面，同理可證：平面平面和平面間的距離為線段長(zhǎng)度如圖所示：在對(duì)角面中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)和的距離等于兩平行平面和的距離為說(shuō)明：關(guān)于異面直線之間的距離的計(jì)算，有兩種基本的轉(zhuǎn)移方法：轉(zhuǎn)化為線面距設(shè)、是兩條異面直線，作出經(jīng)過(guò)而和平行的平面，通過(guò)計(jì)算和的距離，得出

34、和距離，這樣又回到點(diǎn)面距離的計(jì)算；轉(zhuǎn)化為面面距，設(shè)、是兩條異面直線，作出經(jīng)過(guò)而和平行的平面，再作出經(jīng)過(guò)和平行的平面，通過(guò)計(jì)算、之間的距離得出和之間的距離典型例題十五例15正方體棱長(zhǎng)為，求異面直線與的距離解法1：（直接法）如圖：取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn)，易證：，為異面直線與的公垂線段，易證：小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來(lái)解但通常尋找公垂線段時(shí)，難度較大解法2：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面，與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長(zhǎng)為所求距離，小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面平面，與的距離等于平面與平面的距離平面，且被平面和平面

35、三等分；所求距離為小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離解法4：（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)，則，且則，故的最小值，即與的距離等于小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的最小值來(lái)得到二異面直線之間的距離解法5：（體積橋法）如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即與的距離等于小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之這種方法在后面將要學(xué)到說(shuō)明：求異面直線距離的方法有：(1)（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時(shí)，直接求此時(shí)，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵(2)（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過(guò)且平行于的平面，則與距離就是、距離（線面轉(zhuǎn)化法）也可以轉(zhuǎn)化為過(guò)平行的平面和過(guò)平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離（面面轉(zhuǎn)化法）(3)（