高考數(shù)學試卷分類匯編及詳細解析圓錐曲線

1、2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學分類匯編第八章圓錐曲線一、選擇題（共26題）1（安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A B C D解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D。2（福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)解析：雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，離心率e2=， e2

2、，選C3（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于A. B. C. 2 D. 4解析：依題意可知，故選C.4（湖北卷）設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是A BC D解：設(shè)P（x，y），則Q（x，y），又設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，于是，由可得ax，b3y，所以x>0，y>0又（a，b）（x，3y），由1可得故選D5（湖南卷）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是

3、 ( )A. B. C. D.解析：過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯(lián)立方程組代入消元得，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，雙曲線的離心率e=，選A.6（江蘇卷）已知兩點M（2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足0，則動點P（x，y）的軌跡方程為（A）（B）（C）（D）【思路點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，拋物線的定義.【正確解答】設(shè)，則由，則，化簡整理得所以選B【解后反思】向量的坐標表示和數(shù)量積的性質(zhì)在平面向量中的應(yīng)用是學習的重點和難點.也是高考常常考查的重要

4、內(nèi)容之一.在平時請多多注意用坐標如何來表示向量平行和向量垂直,既要注意它們聯(lián)系,也要注意它們的區(qū)別.7（江西卷）設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點，若4，則點A的坐標是（ ）A（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)解：F（1，0）設(shè)A（，y0）則（，y0），（1，y0），由·4Þy0±2，故選B8（江西卷）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9解：設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F1（5，0）與F2（

5、5，0），則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大，此時|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故選B9（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是(A) (B) (C) (D) 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區(qū)域時有。10（遼寧卷）曲線與曲線的(A)焦距相等(B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)準線相同【解析】由知該方程表示焦點在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案A?！军c評】本題考查了橢圓和雙曲線方程及各參數(shù)的幾何意義，同時著重考查了審

6、題能力即參數(shù)范圍對該題的影響。11（遼寧卷）直線與曲線的公共點的個數(shù)為(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】將代入得：，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。【點評】本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。12（遼寧卷）方程的兩個根可分別作為（）一橢圓和一雙曲線的離心率兩拋物線的離心率一橢圓和一拋物線的離心率兩橢圓的離心率解：方程的兩個根分別為2，故選A 13（全國卷I）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則A B C D解：雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍， m<0，且雙曲線方程為， m=，選A.14（全國

7、卷I）拋物線上的點到直線距離的最小值是A B C D解：設(shè)拋物線上一點為(m，m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A.15（全國II）已知ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是（A）2（B）6 （C）4（D）12解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C16（全國II）已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為（A） (B) (C) (D)解析:雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A17（山東卷）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，

8、焦點到相應(yīng)準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A) (B) (C) (D)解：不妨設(shè)橢圓方程為（a>b>0），則有，據(jù)此求出e，選B18（山東卷）在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，則該雙曲線的離心率為(A) (B)2 (C) (D)2解：不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有，據(jù)此解得e，選C19(陜西卷)已知雙曲線 =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為A.2 B. C. D.解：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，a2=6，雙曲線的離心率為，選D20（四川卷）已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡

9、所包圍的圖形的面積等于（A）（B）（C）（D）解：兩定點，如果動點滿足，設(shè)P點的坐標為(x，y)，則，即，所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于4，選B.21（四川卷）直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）48 （B）56 （C）64 （D）72解析：直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，聯(lián)立方程組得，消元得，解得，和， |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面積為48，選A.22（天津卷）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是（）A B C D解析：如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一

10、條漸近線方程為，解得，所以它的兩條準線間的距離是，選C. 23（天津卷）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是（）解析：橢圓的中心為點它的一個焦點為半焦距，相應(yīng)于焦點F的準線方程為，則這個橢圓的方程是，選D.24（浙江卷）拋物線的準線方程是 (A) (B) (C) (D) 解：2p8，p4，故準線方程為x2，選A25(重慶卷)設(shè)是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的（A）充要條件（B）必要不充分條件（C）充分不必要條件（D）既非充分也非必要解：a5，b3，c4，e，F(xiàn)（4，0），由焦半徑公式可得|AF|5x1，|BF|5×4，|C

11、F|5x2，故成等差數(shù)列Û（5x1）（5x2）2×Û故選A26（上海春）拋物線的焦點坐標為( )（A）. （B）. （C）. （D）.解：（直接計算法）因為p=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點坐標為應(yīng)選B27（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( )（A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件.解：應(yīng)用直接推理和特值否定法當k>3時，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示雙曲線；當方程表示雙曲線時，k=-4 是可以的，這不在k>3里故應(yīng)該選A二、填空題（共7題）28（江西卷）已知為雙曲線的

12、兩個焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，為坐標原點下面四個命題（）的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓必通過點其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）解：設(shè)的內(nèi)切圓分別與PF1、PF2切于點A、B，與F1F2切于點M，則|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又點P在雙曲線右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，設(shè)M點坐標為（x，0），則由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，顯然內(nèi)切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，故A、D正確。29（山東卷）已知拋物線y2

13、=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 .解：顯然³0，又4（）³8，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。30（山東卷）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是解：已知為所求；31(上海卷)若曲線|1與直線沒有公共點，則、分別應(yīng)滿足的條件是解：作出函數(shù)的圖象，如右圖所示：所以，；32(上海卷)已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是_.解：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長

14、之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是.33(上海卷)若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是_.解：曲線得|y|>1， y>1或y<1，曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是1，1.34（四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則 ;解析：如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則根據(jù)橢圓的對稱性知，同理其余兩對的和也是，又，=35三、解答題（共28題）OFxyPMH35（安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為

15、坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（）當時，經(jīng)過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。解：四邊形是，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又，。（）當時，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求。36（北京卷）已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（）求的方程；（）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.解：（1）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（1） 當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為xx0，此

16、時A（x0，），B（x0，），2 當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：（1k2）x22kbxb2201°依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則解得|k|>1又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為237（北京卷）橢圓的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且P F1PF2,| P F1|=,| P F2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關(guān)于點

17、M對稱，求直線L的方程。解法一：()因為點P在橢圓C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4,所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因為A，B關(guān)于點M對稱. 所以解得，所以直線l的方程為即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗，符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M

18、的坐標為（2，1）.設(shè)A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且由得因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)38（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；（）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。解：（I）

19、圓過點O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為39（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線上，求直線AB的方程。本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。解：（I）圓過點O、F，圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入

20、整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根，記中點則線段AB的中點N在直線上，或當直線AB與軸垂直時，線段AB的中點F不在直線上。直線AB的方程是或40（湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。解：（）依題意得a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為.（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x

21、0，y0）.M點在橢圓上，y0（4x02）. 又點M異于頂點A、B，2<x0<2，由P、A、M三點共線可以得P（4，）.從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 將代入，化簡得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點Q的坐標為（，），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2（

22、x12) (x22)y1y1又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點兩直線AP與BP的交點P在準線x4上，即y2又點M在橢圓上，則，即于是將、代入，化簡后可得.從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。41（湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.()當AB軸時,求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；()是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.解：（）當ABx軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，）. 因為點A在拋物線上.

23、所以，即.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.（II）解法一：假設(shè)存在、的值使的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為AyBOx由消去得設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程的兩根，x1x2.由消去y得. 因為C2的焦點在直線上，所以，即.代入有.即. 由于x1,x2也是方程的兩根，所以x1x2.從而. 解得又AB過C1、C2的焦點，所以，則由、式得，即解得于是因為C2的焦點在直線上，所以.或由上知，滿足條件的、存在，且或，解法二：設(shè)A、B的坐標分別為，因為AB既過C1的右焦點，又過C2的焦點，所以.即. 由

24、（）知，于是直線AB的斜率， 且直線AB的方程是,所以. 又因為，所以. 將、代入得因為，所以將、代入得由、得即解得將代入得或由上知，滿足條件的、存在，且或，42（湖南卷）已知橢圓C1：，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.（）當軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；（）若且拋物線C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.解（）當ABx軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，）. 因為點A在拋物線上，所以，即. 此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.（）解法一當C2的焦點在A

25、B時，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. 設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.AyBOx因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是過C2的焦點的弦，所以，且.從而.所以，即.解得.因為C2的焦點在直線上，所以.即.當時，直線AB的方程為；當時，直線AB的方程為.解法二當C2的焦點在AB時，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. 因為C2的焦點在直線上，所以，即.代入有.即. 設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.由消去y得. 由于x1,x2也是方程

26、的兩根，所以x1x2.從而. 解得.因為C2的焦點在直線上，所以.即.當時，直線AB的方程為；當時，直線AB的方程為. 解法三設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點，所以.即. 由（）知，于是直線AB的斜率， 且直線AB的方程是,所以. 又因為，所以. 將、代入得，即.當時，直線AB的方程為；當時，直線AB的方程為.43（江蘇卷）已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0）.（）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；（）設(shè)點P、關(guān)于直線yx的對稱點分別為、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準

27、方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力。解：（1）由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求橢圓的標準方程為（2）點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).設(shè)所求雙曲線的標準方程為由題意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求雙曲線的標準方程為44（江西卷）如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點（1） 求點P的軌跡H的方

28、程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q£），確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設(shè)l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點坐標為P（x，y），則1°當AB不垂直x軸時，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2

29、）因為，橢圓Q右準線l方程是x，原點距l(xiāng)的距離為，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0<q£）則2sin（）當q時，上式達到最大值。此時a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1設(shè)橢圓Q：上的點 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S|y1|y2|y1y2|設(shè)直線m的方程為xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韋達定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk21³1，得4S2，當t1，k0時取等號。因此，當直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。OPAFBDxy45（

30、江西卷）如圖，橢圓的右焦點為，過點的一動直線繞點轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于兩點，為線段的中點（1）求點的軌跡的方程；（2）若在的方程中，令，設(shè)軌跡的最高點和最低點分別為和當為何值時，為一個正三角形？解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點坐標為P（x，y），則1°當AB不垂直x軸時，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2）因為軌跡H的方程可化為

31、：M（，），N（，），F(xiàn)（c，0），使MNF為一個正三角形時，則tan，即a23b2. 由于，則1cosqsinq3 sinq，得qarctan46（遼寧卷）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求P的值?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB

32、為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當y=p時,d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因為x-2y+2=0與無公共點,所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當時,d有最小值,由題設(shè)得.【點評】本小題考查了平面向量的基本運算,圓與

33、拋物線的方程.點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力.47（遼寧卷）已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設(shè)圓的方程為（1）證明線段是圓的直徑；（2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值解析：本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。（I）證法一：即整理得.12分設(shè)點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則即展開上式并將代入得故線段是圓的直徑。證法二：即，整理得3分若點在以線段為直徑的圓上，則去分母得點滿足上方程，展開并將代入得所以線段是圓的直徑.證法三：即，整

34、理得以為直徑的圓的方程是展開，并將代入得所以線段是圓的直徑.（）解法一：設(shè)圓的圓心為，則，又所以圓心的軌跡方程為：設(shè)圓心到直線的距離為，則當時，有最小值，由題設(shè)得14分解法二：設(shè)圓的圓心為，則QQ又9分所以圓心得軌跡方程為11分+設(shè)直線與的距離為,則因為與無公共點.所以當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為將代入，有14分解法三：設(shè)圓的圓心為，則若圓心到直線的距離為，那么又當時，有最小值時，由題設(shè)得48（全國卷I）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程；

35、（）的最小值。.解: 橢圓方程可寫為: + =1 式中a>b>0 , 且得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= ,得切線AB的方程為: y=(xx0)+y0 . 設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .由= +得M的坐標為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2) ()| |2= x2+y2, y2=

36、 =4+ , | |2= x21+54+5=9.且當x21= ,即x=>1時,上式取等號.故|的最小值為3.49（全國卷I）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因為|y|1,a>1, 若a, 則|1, 當y=時, |PQ|取最大值;若1<a<,則當y=1時, |PQ|取最大值2.50（全國II）已知拋物線x24y的焦點為F，A、B是

37、拋物線上的兩動點，且（0）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達式，并求S的最小值解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)，將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點M的坐標為(，)(，1)4分所以·(，2)·

38、(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以·為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當1時，S取得最小值451（山東卷）雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=為C的一條漸近線.（1）求雙曲線C的方程；（2）過點P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當，且時，求Q點的坐標. 解：（）設(shè)雙曲線方程為由橢圓求得兩焦點為，對于雙曲線，又為雙曲線的一條

39、漸近線解得，雙曲線的方程為（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)的方程：，則在雙曲線上，同理有：若則直線過頂點，不合題意.是二次方程的兩根.，此時.所求的坐標為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則.，分的比為.由定比分點坐標公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.，又，即將代入得，否則與漸近線平行。解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則,。同理.即。（*）又消去y得.當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。由韋達定理有：代入（*）式得所求Q點的坐標為。52（山東卷）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x

40、軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為l.()求橢圓的方程；()直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當AOB面積取得最大值時，求直線l的方程.解：設(shè)橢圓方程為（）由已知得所求橢圓方程為.（）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得又由韋達定理得原點到直線的距離.解法1：對兩邊平方整理得：（*），整理得：又，從而的最大值為，此時代入方程（*）得所以，所求直線方程為：.解法2：令，則當且僅當即時，此時.所以，所求直線方程為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸

41、的交點，由解法一知且，解法1：=.下同解法一.解法2：=下同解法一.yxOMDABC11212BE第21題解法圖53(陜西卷) 如圖,三定點A(2,1),B(0,1),C(2,1); 三動點D,E,M滿足=t, = t , =t , t0,1. () 求動直線DE斜率的變化范圍; ()求動點M的軌跡方程.解法一: 如圖, ()設(shè)D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD2,yD1)=t(2,2). 同理 . kDE = = = 12t.t0,1 , kDE1,1.() =t (x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=

42、(2t,4t22t). , y= , 即x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.即所求軌跡方程為: x2=4y, x2,2解法二: ()同上() 如圖， =+ = + t = + t() = (1t) +t， = + = +t = +t() =(1t) +t， = += + t= +t()=(1t) + t= (1t2) + 2(1t)t+t2 設(shè)M點的坐標為(x，y)，由=(2，1)， =(0，1)， =(2，1)得 消去t得x2=4y， t0，1， x2，2故所求軌跡方程為: x2=4y， x2，254(上海卷)在平面直角坐標系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點（1）求證：“如

43、果直線過點T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由解（1）設(shè)過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,). =3；當直線的鈄率存在時,設(shè)直線的方程為，其中，由得又，綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,直線AB的方程為：，而T

44、(3,0)不在直線AB上；說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(1,0),而不過點(3,0).55(上海卷)已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點在x軸上, 橢圓的標準方程為(2)設(shè)線段PA的中點為M(x,

45、y) ,點P的坐標是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點P在橢圓上,得, 線段PA中點M的軌跡方程是.(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此ABC的面積SABC=1.當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,當k=時,等號成立.SABC的最大值是. 56（四川卷）已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點。如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點到直線的距離等知識及解析

46、幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知，故曲線的方程為設(shè)，由題意建立方程組消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有解得又依題意得整理后得或但故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點將點的坐標代入曲線的方程，得得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，點的坐標為到的距離為的面積57（天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點連結(jié)交小圓于點設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點的坐標；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點，證明本小題主要考查橢圓的標

47、準方程的幾何性質(zhì)、直線方程。平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運算能力.滿分14分.證明：（）由題設(shè)條件知，故，即因此，在，因此，在中，.于是，直線OA的斜率.設(shè)直線BF的斜率為，則.這時，直線BF與軸的交點為()由（），得直線BF得方程為且由已知，設(shè)、，則它們的坐標漫步方程組由方程組消去，并整理得由式、和，由方程組消去，并整理得由式和，綜上，得到注意到，得58（天津卷）如圖，雙曲線的離心率為分別為左、右焦點，為左準線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點，且（）求雙曲線的方程；（）設(shè)和是軸上的兩點，過點作斜率不為0的直線，使得交雙曲線于兩點，作直線交雙曲線于另一點證明直線垂本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運算能力。（I）解：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)點則、滿足因解得，故利用得于是因此，所求雙曲線方