高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：拋物線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程 知識(shí)精講

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：拋物線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程【本講主要內(nèi)容】 拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】 1. 拋物線定義： 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當(dāng)e1時(shí)為拋物線，當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓，當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。 2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)（如下表）： 其中為拋物線上任一點(diǎn)。 3. 對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)

2、化運(yùn)算。 4. 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，。 說(shuō)明： 1. 求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律一般用軌跡法。 2. 凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。 3. 解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)?！窘忸}方法指導(dǎo)】 例1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于，求此拋物線的方程。解析：設(shè)所求拋物線的方程為或設(shè)交點(diǎn)（y1>0）則，代入得點(diǎn)在上，在

3、上或，故所求拋物線方程為或。 例2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。解析：證法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)故可設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為 由，消去得 設(shè)，則 軸，且在準(zhǔn)線上 點(diǎn)坐標(biāo)為 于是直線的方程為 要證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只需證明，即證 注意到知上式成立，故直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 證法二：同上得。又軸，且在準(zhǔn)線上，點(diǎn)坐標(biāo)為。于是，知三點(diǎn)共線，從而直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 證法三：如圖， 設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過(guò)作，是垂足 則，連結(jié)交于點(diǎn)，則 又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)， 因此點(diǎn)是的中點(diǎn)，即與原點(diǎn)重合，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 評(píng)述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，

4、運(yùn)算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法，充分運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】 拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容，考點(diǎn)中要求掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值大約是分。 考查通常分為四個(gè)層次： 層次一：考查拋物線定義的應(yīng)用； 層次二：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用； 層次四：考查拋物線與平面向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題。 解決問(wèn)題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法、軌跡方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法?！镜湫屠}分析】 例3. （2006江

5、西）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. D. 答案： 解析：解法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ， 解得或（舍），代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為。 解法二：由題意設(shè)，則， 即，求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為。 評(píng)述：本題考查了拋物線的動(dòng)點(diǎn)與向量運(yùn)算問(wèn)題。 例4. （2006安徽）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ） A. 2B. 2C. 4. 4 答案：D 解析：橢圓的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，則。 評(píng)述：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量的關(guān)系?！具_(dá)標(biāo)測(cè)試】一. 選擇題： 1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A. B. C. D. 2. 設(shè)

6、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸上，又拋物線上的點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離為4，則等于（ ） A. 4B. 4或4C. 2D. 2或2 3. 焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程為（ ） A. B. C. D. 5. 正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A. 拋物線B. 雙曲線 C. 直線D. 以上都不對(duì) 6. 已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（） A. 5B. 4C. D. 7. 已知點(diǎn)是拋

7、物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是（ ） A. B. 4C. D. 5 8. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（ ） A. 12B. 12C. 3D. 3二. 填空題： 9. 已知圓和拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值是。 10. 已知分別是拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程為。 11. 過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則。 12. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是。三. 解答題： 13. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5，求拋物線的方程。 14. 過(guò)點(diǎn)（4，1

8、）作拋物線的弦，恰被所平分，求所在直線方程。 15. 設(shè)點(diǎn)F（1，0），M點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且。 當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程； 設(shè)是曲線上的三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€與軸交于E（3，0）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)?！揪C合測(cè)試】一. 選擇題： 1. （2005上海）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（ ） A. 有且僅有一條B. 有且僅有兩條 C. 有無(wú)窮多條D. 不存在 2. （2005江蘇）拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 0 3. （2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為，若它的一條準(zhǔn)線

9、與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是（ ） A. B. C. D. 21 4. （2005全國(guó)）已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 5. （2004全國(guó)）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 6. （2006山東）動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取得最小值，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 7. （2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內(nèi)放一個(gè)小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積的取值范圍是（ ）

10、 A. B. C. D. 8. （2005北京）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線與該拋物線相交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為（ ） A. 8B. 7C. 10D. 12二. 填空題： 9. （2004全國(guó)）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值是。 10. （2005北京）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為，則圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是，圓的面積是。 11. （2005遼寧）已知拋物線的一條弦，所在直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則。 12. （2004黃岡）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，現(xiàn)將拋物線沿向量進(jìn)行平移，且使得拋物線的焦點(diǎn)沿直線移到點(diǎn)處，則平移后所得拋物線被軸

11、截得的弦長(zhǎng)。三. 解答題： 13. （2004山東）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線過(guò)定點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)。 若以弦為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求的值； 在的條件下，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 14. （2005四川） 如圖，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為8。 求拋物線方程； 若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，若存在，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 15. （2005河南）已知拋物線，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)。若總存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。 求； 求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。【達(dá)標(biāo)測(cè)試答案】一. 選擇題： 1. 答案：A 解析：，準(zhǔn)線

12、，。 2. 答案：B 解析：由題意可得，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，拋物線的定義，則，又在拋物線上，故有。 3. 答案：D 解析：由于標(biāo)準(zhǔn)方程的拋物線焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（4，0），拋物線方程為或。 4. 答案：C 解析：拋物線的焦點(diǎn)為，由于圓與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切，由拋物線定義，知圓心即為直線與拋物線的交點(diǎn)，可得圓的方程為。 5. 答案：A 解析：由題意可知，到的距離與到的距離相等 的軌跡是拋物線。 6. 答案：C 解析：根據(jù)拋物線定義，求的最小值，即求拋物線焦點(diǎn)到已知直線的距離。而。 7. 答案：C 解析：如圖所示 ， 而，。 8. 答案：D 解析：設(shè)方程為， 將方程代入得， 。又

13、。二. 填空題： 9. 答案：2或14 解析：圓的圓心為，半徑為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，或。 10. 答案： 解析：由題意可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)， 且， ，解得，的直線方程為。 11. 答案： 解析：設(shè)弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（其中為直線的斜率），則方程為，與聯(lián)立可得，（為方程的兩根，即兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)），由弦長(zhǎng)公式可得 。 12. 答案： 解析：由得，代入并整理得，設(shè)，中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理得，再代入得中點(diǎn)坐標(biāo)為。三. 解答題： 13. 解析：設(shè)拋物線方程為，則準(zhǔn)線為，在拋物線上，。而點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離， 將代入，得，解之，或， 所求拋物線的方程為或。 14. 解析： 解法一：設(shè)以為中點(diǎn)

14、的弦端點(diǎn)坐標(biāo)為，則有 將（4）代入（1）（2），得， ， 所求弦所在直線方程為，即。 解法二：設(shè)弦所在直線方程為，由 消去，得。 此方程的兩根就是線段端點(diǎn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo) 由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，解得， 所求弦所在直線方程為。 解法三：設(shè)所求弦的兩端點(diǎn)為，則， 的中點(diǎn)為（4，1）， 弦所在直線的方程為。 15. 解析：，故為的中點(diǎn)。又，在軸上，為（1，0），故在軸的負(fù)方向上，設(shè)，則， ，又故， 即，是軌跡的方程。 拋物線的準(zhǔn)線方程是， 由拋物線定義知成等差數(shù)列， ，又故，的中垂線為的中點(diǎn)在其中垂線上即，由，點(diǎn)坐標(biāo)為或?！揪C合測(cè)試答案】一. 選擇題： 1. 答案：B 解析：由定義，這樣的直線有

15、且僅有兩條。 2. 答案：B 解析：設(shè)且方程化為，則必有， 。 3. 答案：B解析：由題意可求得雙曲線方程為，與聯(lián)立得兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為 4. 答案：D 解析：由已知即，。 5. 答案：C 解析：準(zhǔn)線，設(shè)，由得，當(dāng)時(shí)，即交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，或，綜上，的取值范圍是。 6. 答案：C 解析：。令， 則，令 得或或。 因定義域?yàn)?，故所求最小值為兩個(gè)極小值中較小的一個(gè) ，故的最小值即的最小值為 7. 答案：B 解析：在軸截面中設(shè)球的半徑為，則圓的方程為，與聯(lián)立，只有一組零解的的范圍即為所求 ， 只有一組零解，則。 8. 答案：A 解析：由得，準(zhǔn)線，則到準(zhǔn)線的距離之和為。二. 填空題： 9. 答案： 解析：由定義可知，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)與到軸的距離之和等于，又，即三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小值為 10. 答案：相切； 解析：，圓，故相切，。 11. 答案： 解析：不妨設(shè)弦是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦，其方程為，與聯(lián)立得，。 12. 答案： 解析：由，得，平移后拋物線的焦點(diǎn)為，又在上，由此可求得平移公式為，代入原方程得平移后的拋物線方程是，令，得，。三. 解答題： 13. 解析：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的方程為，代入得設(shè)，由題意，則 ，則。 由題知，則，即， 此時(shí)拋物線的方程為。當(dāng)不存在時(shí)，直線的方程為，代入得，此時(shí)以為直徑的圓的方程為，仍過(guò)原點(diǎn)。 設(shè)， 。又 。 當(dāng)時(shí)，。設(shè)的中點(diǎn)