江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)及信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文

1、江西師范大學(xué)13屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文一些無(wú)理數(shù)的證明The Effect On some irrational proof姓名:熊玉斌學(xué)號(hào):0907130067 專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師:楊登允完成時(shí)間:2013年2月15號(hào)一些無(wú)理數(shù)學(xué)的證明熊玉斌【摘要】數(shù)的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)的發(fā)展輔車相依，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，無(wú)一不體現(xiàn)數(shù)的身影。從自然數(shù)到正負(fù)數(shù)，再到后來的無(wú)理數(shù)和超越數(shù)數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)的發(fā)現(xiàn)，數(shù)的發(fā)現(xiàn)促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的發(fā)展又不斷擴(kuò)充著數(shù)系?！盁o(wú)理數(shù)”第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物，它的發(fā)現(xiàn)大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)和科技的發(fā)展。的發(fā)現(xiàn)極大的挑戰(zhàn)著畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，希伯索斯被無(wú)

2、情殺害，但這并不能擋住真理的腳步。科學(xué)是一種生活習(xí)慣，一些常見無(wú)理數(shù)的證明顯得十分必要和重要，這不但體現(xiàn)了相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用與技巧，更是數(shù)學(xué)的理性精神的重要表現(xiàn)。【關(guān)鍵詞】第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 無(wú)理數(shù) The Effect On【Abstract】The number of the discovery and development of math be interdependent, throughout the history of mathematics all reflect the number of the figure. From the natural number is negat

3、ive, then later irrational and transcendental number. The development of mathematics from the discovery of the number, the number that promote the development of math, the development and expand backward system. "Irrational" the first mathematical crisis product, it's found that greatl

4、y promoted mathematics and the development of science and technology. 2 findings challenge the Pythagoras school, heber line be ruthless, kill, but it doesn't stop the footsteps of truth. Science is a kind of life habit, some common irrational proof is very necessary and important, it not only e

5、mbodies the relevant mathematical knowledge application and skills, but also mathematical rational spirit of the important performance. 目錄引言第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與無(wú)理數(shù) 無(wú)理數(shù)的定義是無(wú)理數(shù)的證明一些特殊無(wú)理數(shù)的證明 1 引言 在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，直觀的、表面的、直覺的、經(jīng)驗(yàn)的甚至實(shí)驗(yàn)都不是絕對(duì)可靠的。人們根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)提出一些命題，但并不是每個(gè)命題都是正確的。數(shù)學(xué)也是如此，任何一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的得出必須有理有據(jù)，一定要有嚴(yán)密的推理和嚴(yán)格的證明。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)極大地推

6、動(dòng)了數(shù)學(xué)理性推理演繹的發(fā)展。反證法就是在無(wú)理數(shù)發(fā)現(xiàn)之時(shí)出現(xiàn)，無(wú)理數(shù)的證明大部分用到了反證法。2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與無(wú)理數(shù)公元前500年左右，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派十分興旺，它是由畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立的一個(gè)唯心主義學(xué)派。他們認(rèn)為，“萬(wàn)物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界，并認(rèn)為宇宙間各種關(guān)系都可以用整數(shù)或整數(shù)之比來表達(dá)。數(shù)學(xué)的知識(shí)由純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗(yàn)。然而，大約在公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯(Hippasus）發(fā)現(xiàn)了：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表達(dá)。新發(fā)現(xiàn)的數(shù)由于和之前的所謂“合理存在的數(shù)”即有理數(shù)在學(xué)派內(nèi)部形成了

7、對(duì)立，所以被稱作了無(wú)理數(shù)。于是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)這個(gè)新發(fā)現(xiàn)的“怪?jǐn)?shù)”保密，可希帕索斯則無(wú)意中泄露了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，于是他被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人扔進(jìn)大海淹死了。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人感到迷惑不解，因?yàn)檫@違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，而且極大地沖擊著當(dāng)時(shí)古希臘人持有的“一切量都可以用有理數(shù)表示”的信仰。大約在公元前370年，柏拉圖的學(xué)生歐多克斯（Eudoxus）解決了關(guān)于無(wú)理數(shù)的問題，他純粹用公理化方法創(chuàng)立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度而暫時(shí)消除危機(jī)。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無(wú)理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對(duì)無(wú)理數(shù)的使用只有在幾

8、何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無(wú)理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號(hào)，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無(wú)理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無(wú)理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來后，無(wú)理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。3無(wú)理數(shù)的定義 無(wú)理數(shù)一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)·芬奇稱之為“無(wú)理的數(shù)”。17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱之為不可名狀的數(shù)。無(wú)理數(shù)在那時(shí)還

9、十分神秘，但經(jīng)過無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的努力，無(wú)理數(shù)的神秘面紗被揭開。無(wú)理數(shù)的定義眾說紛紜，主要有戴德金的分割說、康托爾的序列說、比例說、小數(shù)說、區(qū)間套說等。在中學(xué)階段，無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。或者通俗地講無(wú)理數(shù)即是開方開不盡的數(shù)。證明一個(gè)數(shù)為無(wú)理數(shù)，初中階段的定義肯定無(wú)法完成。最有用的還是比例說，它是相當(dāng)于有理數(shù)來說的，有理數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比。也就是說，無(wú)理數(shù)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比。4、是無(wú)理數(shù)的證明是最早發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)，可以說，就是它的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；也可以說，就是它的發(fā)現(xiàn)促進(jìn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的一次飛躍。它的證明方法有很多種。法一 反證法 假設(shè)是有理數(shù); 設(shè)= (m、n 為整數(shù)，且n0

10、);且(m,n)=1;則m=n ,兩邊同時(shí)平方得：m2 = 2n2 觀察左右兩邊得 m必為2的倍數(shù) 設(shè)m=2p(p為整數(shù)) 代入上式得 2p2 =n2 同理可得n必為2的倍數(shù) 所以，m，n 都為2的倍數(shù)， 與假設(shè)(m,n)=1 矛盾 故是無(wú)理數(shù)。證畢。此方法可以類比推出、為無(wú)理數(shù)。 法二 定理2（艾森施坦因Eisenstein判別法 ）設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù)使得： （） ； （）； （）那么在有理數(shù)域上是不可約的 利用此定理證明是無(wú)理數(shù)。證明:取整系數(shù)多項(xiàng)式=x2 -2 取素?cái)?shù)p=2; 的最高次項(xiàng)系數(shù)為1；（1）2 1；（2）2|0，-2 ；（3）4-2在有理數(shù)域上是不可約的 =

11、0 在有理數(shù)域內(nèi)無(wú)解 =0 是的無(wú)理根 是無(wú)理數(shù)。證畢。此方法也可以推廣到證明、等為無(wú)理數(shù)的證明中去。例如為無(wú)理數(shù)的證明引入整系數(shù)多項(xiàng)式= x2 -3 ,取p=3即可同理證明。然而對(duì)于像這樣的數(shù)，要證明它為無(wú)理數(shù)卻無(wú)能為力。從此證明方法中我們可以總結(jié)出當(dāng)整系數(shù)多項(xiàng)式= x2 -n 中n為素?cái)?shù)時(shí)，我們可以取p=n，同理可以證明到當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)為無(wú)理數(shù)。5一些特殊無(wú)理數(shù)的證明5.1 從1+談起這是一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無(wú)理數(shù)的和，那它是不是無(wú)理數(shù)呢？回答是肯定的。證明：反證法 假設(shè)1+為有理數(shù)，并設(shè)1+=（0, ,b為正整數(shù)，且（,）=1 ）兩邊同時(shí)平方 右邊為有理數(shù)左邊為無(wú)理數(shù)等式不成立 即為無(wú)理數(shù)根據(jù)

12、上面的方法，我們也可以證明、等都為無(wú)理數(shù)。根據(jù)上面的證明，我們是否可以再下一個(gè)比較一般的結(jié)論呢？即（,）為無(wú)理數(shù)。光有猜想不行，帶著這個(gè)猜想證明。證明之前有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：對(duì)于非完全平方數(shù),則為無(wú)理數(shù)。此條結(jié)論的證明利用前面的方法即可證明。證明:反證法 設(shè)為有理數(shù)，設(shè)（0, ,b為正整數(shù)，且（,）=1 ）兩邊同時(shí)平方得 右邊為有理數(shù)又為非完全平方數(shù)左邊為一無(wú)理數(shù) 矛盾，（,）為無(wú)理數(shù)。證畢受上面的啟發(fā)，繼續(xù)把類似的無(wú)理數(shù)證明推廣，如為無(wú)理數(shù)的推廣。證明之前要先了解，當(dāng)n為非完全平方數(shù)時(shí)，n+2可能是完全平方數(shù)，也可能是非完全平方數(shù);而當(dāng)n+2是完全平方數(shù)時(shí)，n一定是非完全平方數(shù)，也就是說n和n+2

13、不可能同時(shí)為完全平方數(shù)。故在證明下面這些推廣時(shí)，要假設(shè)n是非完全平方數(shù)或者假設(shè)n+2是完全平方數(shù)。證明:反證法 假設(shè)為有理數(shù) 不妨設(shè)n為非完全平方數(shù)設(shè)（0, ,b為正整數(shù)，且（,）=1 ）移項(xiàng)可得 兩邊同時(shí)平方可得 即有 為正整數(shù) 右邊為有理數(shù) 這與為無(wú)理數(shù)矛盾（,）為無(wú)理數(shù)推廣到此，不自覺對(duì)感興趣，是不是可以下結(jié)論它為無(wú)理數(shù)？如果是，那、是否也可以下此結(jié)論呢？經(jīng)過上面的證明，我們發(fā)現(xiàn)n和n+k這兩個(gè)正整數(shù)中，只要有一個(gè)為非平方數(shù)，那它們的和即為無(wú)理數(shù)，證明方法如上。所以我們要證明、為無(wú)理數(shù)，一定要去掉根號(hào)里面兩個(gè)數(shù)同時(shí)為完全平方數(shù)的情況。要驗(yàn)證他們是不是同時(shí)為完全平方數(shù)得先了解完全平方數(shù)之間

14、的差值。如下6481100121 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，平方數(shù)間的差值是遞增的的等差數(shù)列，且都為奇數(shù)。例如：，我們要排除差值為3的情況，即當(dāng)n=1,時(shí)，為有理數(shù)，而也為有理數(shù)，顯然此時(shí)，它為有理數(shù)。那還存在別的數(shù)使n和n+3為完全平方數(shù)嗎？通過所列差值和差值的遞增性，斷定不存在其它情況。至此，我們可以下結(jié)論為無(wú)理數(shù)。又例如：，首先要排除差值為4的情況，但經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)并沒有這樣的數(shù)。故可以直接下結(jié)論，（,）為無(wú)理數(shù)。同理我們可以發(fā)現(xiàn)很多這種形式的無(wú)理數(shù)，但相應(yīng)的排除了個(gè)別情況。如下：（）、（,）、（）、（）值得注意的是，要排除根號(hào)里兩數(shù)同時(shí)為完全平方數(shù)的情況。有時(shí)候是唯一的，然而當(dāng)中k的值增大時(shí)，要排除的可能不只一種情況，有可能出現(xiàn)兩種或者兩種以后的情況，例如：在中，當(dāng)時(shí)為有理數(shù)；當(dāng)也為有理數(shù)