同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版下冊(cè)第九章習(xí)題課二重積分的計(jì)算

1、習(xí)題課習(xí)題課 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：積分為累次積分的步驟是：作出積分區(qū)域的草圖作出積分區(qū)域的草圖選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系選定積分次序，定出積分限選定積分次序，定出積分限1。關(guān)于坐標(biāo)系的選擇。關(guān)于坐標(biāo)系的選擇 這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個(gè)方面來(lái)考慮兩個(gè)方面來(lái)考慮一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容被積函數(shù)呈被積函數(shù)呈 )(),(22xyfyxf 常用極坐標(biāo)常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜其它以直角坐標(biāo)為宜2。關(guān)于積分次序的選擇。關(guān)于積分次序的選擇選序

2、原則選序原則能積分，能積分，少分片，少分片，計(jì)算簡(jiǎn)計(jì)算簡(jiǎn)3。關(guān)于積分限的確定。關(guān)于積分限的確定二重積分的面積元二重積分的面積元 )( rdrdddxdyd 為正為正確定積分限時(shí)一定要保證下限小于上限確定積分限時(shí)一定要保證下限小于上限積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形看圖定限看圖定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先選序，后定限先選序，后定限直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系。先。先 y 后后 x ，過(guò)任一過(guò)任一x a , b ,作平行于作平行于 y 軸的直線軸的直線穿過(guò)穿過(guò)D的內(nèi)部的內(nèi)部從從D的下邊界曲線的下邊界曲線)(1xy 穿入穿入 內(nèi)層積分的下限內(nèi)層積分的下限從上

3、邊界曲線從上邊界曲線)(2xy 穿出穿出內(nèi)層積分的上限內(nèi)層積分的上限。先。先 x 后后 y過(guò)任一過(guò)任一 y c , d 作平行于作平行于 x 軸的直線軸的直線定限定限左邊界左邊界 )(1yx 內(nèi)層積分的下限內(nèi)層積分的下限右邊界右邊界 )(2yx 內(nèi)層積分的上限內(nèi)層積分的上限則將則將D分成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域分成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限再按上述方法確定每一部分的上下限分片計(jì)算，結(jié)果相加分片計(jì)算，結(jié)果相加極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系積分次序一般是積分次序一般是 后先r過(guò)極點(diǎn)過(guò)極點(diǎn)O作任一極角作任一極角 為為 ),( 的射線的射線從從D的邊界曲線的邊界曲線 )(1 r穿入穿入從從 )(2 r穿出

4、穿出。如。如D須分片須分片)(1 r內(nèi)下限內(nèi)下限)(2 r內(nèi)上限內(nèi)上限具體可分為三種情況具體可分為三種情況)()(,21 rrr 極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的邊界上的邊界上)()(,21 rrr 是邊界在極點(diǎn)處的切線的極角是邊界在極點(diǎn)處的切線的極角 ,)(1 r絕大多數(shù)情況下為絕大多數(shù)情況下為0極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的內(nèi)部的內(nèi)部)(0 ,20 rr 化累次積分后化累次積分后外限是常數(shù)外限是常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)極坐標(biāo)系下勿忘極坐標(biāo)系下勿忘 r極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的外部的外部4。關(guān)于對(duì)稱性。關(guān)于對(duì)稱性 利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有

5、效的，它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱性是過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱性是要兼顧要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用不可誤用對(duì)對(duì) DdxdyyxfI),(若若D關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1 (yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1 (yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(yxfyxf 1),(2D

6、dxdyyxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若若D關(guān)于關(guān)于原點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1(yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(稱為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性稱為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì)是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì) 奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)域上積分的兩于對(duì)稱域的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于倍，完全類似于 對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的

7、對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)性質(zhì)簡(jiǎn)述為簡(jiǎn)述為“你你對(duì)稱，我對(duì)稱，我奇偶奇偶”、簡(jiǎn)單地說(shuō)就是簡(jiǎn)單地說(shuō)就是若若 D 關(guān)于關(guān)于直線直線 y = x 對(duì)稱對(duì)稱5 關(guān)于二重積分的換元法關(guān)于二重積分的換元法f(x,y)在在D上連續(xù)上連續(xù) 變換變換T： x=x(u,v),y=y(u,v)將將 uov 平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域D1 變成變成 xoy 平面的閉區(qū)域平面的閉區(qū)域D（1） x=x(u,v),y=y(u,v)在在D1上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（2）在）在D1上上0),(),(),( vyuyvxuxvuyxvuJdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD 1),(),()

8、,(),(的形式的形式同時(shí)也兼顧被積函數(shù)同時(shí)也兼顧被積函數(shù)的形狀，的形狀，于積分區(qū)域于積分區(qū)域作什么變換主要取決作什么變換主要取決),(1yxfD基本要求基本要求: :變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 注意注意二、例題分析二、例題分析例例1 計(jì)算計(jì)算 Ddyx )(222242:xyxxD 解解積分區(qū)域由不等式給出積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號(hào)所得的曲線是兩個(gè)半圓在不等式中取等號(hào)所得的曲線是兩個(gè)半圓但它們圍不成區(qū)域但它們圍不成區(qū)域224,2xxx 要使要使都有意義都有意義必須限制必須限制 2 , 0 x因此因此D只能在只

9、能在x=0 ， x=2 之間之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)單分區(qū)域的特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)單20 顯然顯然 r 呢？呢？極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的邊界上，所以的邊界上，所以20 r 那就錯(cuò)了那就錯(cuò)了不能以為極點(diǎn)不能以為極點(diǎn)O在區(qū)域的邊界上在區(qū)域的邊界上就誤以為對(duì)就誤以為對(duì) r 積分的下限為積分的下限為0定定 r 的積分限，應(yīng)先固定的積分限，應(yīng)先固定2, 0 以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線這射線和兩個(gè)半圓相交這射線和兩個(gè)半圓相交 cos2 r穿入穿入從從從從2 r穿出穿出積分限如何確定積分限如何確定盡管極點(diǎn)在盡管極點(diǎn)

10、在D的邊界上的邊界上但極角為但極角為 )2, 0( 的射線并不是從極點(diǎn)穿入的射線并不是從極點(diǎn)穿入2cos2 ,20 r 而不是而不是20 ,20 r 202cos22 rdrrdI45)221432(4 204)cos1616(41 d域域D的極坐標(biāo)表示為的極坐標(biāo)表示為 Ddyxx )232(2222:ayxD 解解D關(guān)于關(guān)于 x , y 軸及原點(diǎn)及軸及原點(diǎn)及 y = x 對(duì)稱對(duì)稱故故 Ddyx0)32( Ddyx )(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故故 Ddyxx ) 232(22424aa 例例2 計(jì)算計(jì)算 Ddxdyyx)cos(2020: y

11、xD解解例例3 計(jì)算計(jì)算2 yxD1D2 12)cos()cos(DDdxdyyxdxdyyxI 2020)cos( xdyyxdx 2022)cos( xdyyxdx 20202sincossin2sin dxxdxx2 Ddxdyyx 2)sin( yxD0 ,0: DyxyxDdxdyyx22:,)(解解D的邊界的邊界 21)21()21(22 yx極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的邊界上的邊界上圓周在圓周在(0, 0)的切線斜率為的切線斜率為1 y故故43,4 434sincos02)sin(cos drrdI 4344)sin(cos31 d 4344)4(sin34 d例例4 計(jì)算計(jì)算 04sin3

12、4tdt2 )4( t令例例5 計(jì)算計(jì)算 Ddyxyfx )(1 221, 1,:3 xyxyDD2D1解解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 （和差化積）（和差化積）例例6設(shè)設(shè) f (x) 在在 0,1 上連續(xù)上連續(xù) 10)(Adxxf求求 101)()(xdyyfxfdx解解 101100)()()()(xydxyfxfdydyyfxfdxI 100)()(xdyyfxfdx 100101)()()()(2xxdyyfxfdxdyyfxfdxI 10101010)()()()(dyyfdxxfdyyfxfdxD

13、 1022)(Adxxf22AI 上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)),()( xf試將二重積分試將二重積分 DdyxfI )(221: xyD化成定積分化成定積分解解由積分域和被積函數(shù)的對(duì)稱性由積分域和被積函數(shù)的對(duì)稱性有有 1)(422DdyxfI xyxD 0 , 10:1用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)例例7 sec0 ,40 r 40sec0)( rdrrfdI 為將二次積分化為所需要的定積分，為將二次積分化為所需要的定積分，須變換積分次序須變換積分次序 10402141arccos)(4)(4 rdrrfdrdrrfdrIdrrrfrdrrrf)()1arccos4()(1021 drrrrfdrrrf 2021

14、1arccos)(4)( DD1依題意，要化為定積分首先應(yīng)設(shè)法將二元函數(shù)依題意，要化為定積分首先應(yīng)設(shè)法將二元函數(shù) )(22yxf 化為一元函數(shù)化為一元函數(shù) 自然想到用極坐標(biāo)自然想到用極坐標(biāo)其次，若先對(duì)其次，若先對(duì) r 后對(duì)后對(duì) 不可進(jìn)一步化為定積分不可進(jìn)一步化為定積分 又想到換序又想到換序例例8設(shè)設(shè) f(x) 連續(xù)，證明連續(xù)，證明 DAAdttAtfdxdyyxf|)()(2| ,2|:|AyAxD 注注證一證一 令令yxvyxu ,則則yuvxuv2,2 AuvAAvuADD ,:021),(),( vuyxJ DDdudvufdxdyyxf)(21)( AuAAuAuAuAdvduufdvduuf00)(21)(21 00)()(21AAduuAufduuAufuv 00|)(|)(AAduuAufduuAuf AAduuAuf|)(證二證二 2222)(AAAxAxdttfdx 022022)()(AAtAAAAtdxtfdtdxtfdt DAAAAdyyxfdxdxdyyxf2222)()(xy