工科數(shù)學(xué)分析：chap3-3換元積分法

1、定理1 CxFdxxxfCuFduuf)()()( ,)()( 則若1.第一類換元法（湊微分法）第3節(jié) 換元積分法 證明：)()(ufuF，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 )()()()()(xxfxxFxF， dxxxf)( )(CxF)(。 一類第一換元法求積過(guò)程形式為：dxxxf)( )( )()(xdxf 湊微分)(:xu換元duuf)(積分CuF)(ux )(:回代CxF)( 第一換元法或稱為湊微分法湊微分法，是與復(fù)合函數(shù)的 微分法則相對(duì)應(yīng)的積分方法。 1.該定理將積分基本公式大大擴(kuò)充了，例如：注：Cxxdxcossin Cxxdx) 1cos() 1() 1sin( 則 ) 1cos() 1

2、() 1sin(222Cxxxxdxx2.很多情況下要“湊微分”，例如：Cxxdxdxx)1cos( )1()1sin()1sin(Cxxxdxdx2cos21 22sin212sin .11 )7(;1 )6( ; )0( ) 5( ;1 )4(;) 52( ) 3( ; )2( ;231 ) 1 (22222220062dxedxaxaxadxdxxadxxdxxedxxxx例1.求下列積分：xdx 23(1) 解)23(23121xdx;23ln21Cx ;212Cexdxxex2 )2( )(2122xdex) 52() 52(21) 52( ) 3 ( 20062006xdxdxx;

3、) 52(2007121 2007Cx;ln21)ln(ln21 CaxaxaCaxaxa2222)(1)(11 ) 5 (axaxdaxdxaxadxC;ax arcsin dxaxaxaaxdx)11(21 )6(22)()(21 )(21axaxdaxaxdaaxdxaxdxa22222)(11)(11 ) 4(axaxdaaxdxaxadx;arctan1 Caxa )11 ( 11 ) 7 (dxeedxexxxCexx)1ln(例2.計(jì)算下列積分: 4cos2cos )6( ; sec )5( ; csc )4(dxxxdxxdxx 解dxxxxdxcossintan ) 1 (;

4、coslncoscosCxxxd;tan )1(xdx ; cos )2(2dxx ; sec ) 3 ( 6dxxdxxxdx22cos1cos ) 2(2xdxdx2cos2121;2sin412)2(2cos412Cxxxxdx;tan51tan32tan53Cxxxdxxxdxx2226sec)(secsec )3(xdxtan)tan1 (22xdxxtan)tantan1 (422cos2sin2csc )4(xxdxxdx2cos2tan22xxxd)cotcscsincos1sin2sin22cos2sin2tan ( 2xxxxxxxxxCxxcotcsclnCxxxd2ta

5、nln2tan2tan;2sin416sin121Cxx得及上題的結(jié)果利用,)2csc()2sin(1cos1sec )5(xxxx.tansecln )2cot()2csc(lnsec CxxCxxxdxdxxxxdxx)2cos6(cos214cos2cos )6()2(2cos41)6(6cos121xxdxxd例3.計(jì)算下列積分:.54 )2( ; )0( 1 ) 1 (22dxxxxaedxxCedxeeedx xxxxarcsin11(1) 22解Cxxxdxxdxxxxdxxxx)2arctan(2) 54ln(21 1)2(254422154 )2( 2222有理函數(shù)例 3.求

6、下列不定積分 （2）dxxx) 1sin( . ) 1cos(2Cx（3）221)(arcsinxxdx .arcsin1Cx（1）dxexxln22 xdxex22)2(41222xdex.4122Cex) 1( ) 1sin(2xdx)(arcsin)(arcsin12xdxxxdx12)(1)(2xxd.arcsin2Cx (4)2xxdx （5）xdxxxdxsinsinsin23 .coscos31)(cos)cos1 (32Cxxxdx（5）dxxx18 244) 1)(1(121dxxx24444) 1)(1() 1() 1(41dxxxxx2222221)(1411)(141d

7、xxdxx.)arctan(4111ln81222Cxxx定理2 ，則有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)，設(shè)0)()( ttxfdtttfdxxf)()()( CxFCtF)()(1 )()()(1)()()()(1xftftttfdxdtdttdFxFdxd ）（證2.第二類換元法二類) (adxxa0 22求例 4解tdtadxtaxcos ,sin,令為去根號(hào)原式Cttta)cossin(22tdtatdtata22coscoscosdtta)2cos1(22Ctta)2sin21(22Caxaaxaxa)(arcsin2222axt22xa .21arcsin2222Cxaxaxa三角代換三角axt)

8、0( 522axadx求例:解于是令 ,tan tax tdtdttataaxdxsecsecsec 22212tanseclnCtt例Cax(xCaaxax)lnln22122)ln(1aCC其中Caxxaxdx2222ln 同理三角代換例 622)1( 22xxxdx求tdtdxtx2sec ,tan1 于是令:解22) 1( 22xxxdxdtttdtttt222sincossectansecCxxxCttdt122sin1sinsin122242411114 2tdttdttxxdxt14 2xxdx求 1,1:2dttdxtx令解Cxxx)41ln( 2Ctt)4ln( 2倒代換例

9、7倒 xxdx)2)(21 ( 3求duudxuxux2333, 2,2 :則令解duuuduuuuuduuI)111(3)1 (13)1 (3 32.21ln32ln3CxxCuu)1ln(ln3 xxdx)1 ( 3duuudtuuuux2232516)1 (66.)arctan(666Cxx例 8例 9根式duuudxuuxuxx232333) 1(6,11 , 11令 xxdx32) 1)(1( I求dxxxxI31111 :解1ln43)21(323) 1(1121)11132111221(13222223uduuuuduuduuuuuuuduuI例 10CxxxxxxxxCuuuu

10、31)11( 2arctan3 1)11(1)11()11(ln211ln312arctan3) 1ln(213123132322.2tanln212tan2tan41 2Cxxxdx xxx)cos1 (sinsin1 求dttttttttI2222212)111 (12121 :解Ctttdttt)ln22(21)12(21 2,11cos ,12sin ,12 ,2tan 2222ttxttxdttdxtx則令解萬(wàn)能（半角）代換例 11萬(wàn)能.sincos1 22dx xax求 :解xdxadxxaxItantan11)tan1 (cos1 222000tan1tan1ln21tan)ta

11、narctan(1 aaaCxaxaaCxCxaa例 12.)()()(的分解確定的分解由分母xQxQxPmmn有理函數(shù)的積分：關(guān)于 ),(,)(),(,)()( nmmnxQxPxQxPmnmn項(xiàng)式次多分別為為真分式設(shè);)( 因式之積二次總能分解為一次因式與分母xQm分解：分式真整式總能化為有理函數(shù) : )( xR)3(31312)3(123162 22222435xxxxxxxxxx如例3111 )3)(1(4324 223xxxxxxxxxxx) 04()( ) 4( ; ) 3 (;)(1 ) 2( ;1 ) 1 (222qpdxqpxxBAxdxqpxxBAxdxaxdxaxkk有理

12、函數(shù)的積分，可歸納為下面四個(gè)積分：)(1)2()(22)(222kkkqpxxBApqpxxpxAqpxxBAx )1)(21 ( 2xxdx求22151522154)1)(21 (1 :xxxxx由解dxxxxI)151522154(2.arctan51)1ln(5121ln522Cxxx例 13222151)1 (1151)21 (21152xdxxdxxdx可化為有理函數(shù)的積分：有限次四則運(yùn)算所構(gòu)表示三角函數(shù)經(jīng)過(guò))sin,(cosxxR.成的函數(shù)三角函數(shù)有理式：簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)：.2的函數(shù)或含有根式dcxaxdcxbaxn, )(2),CCx 或或1定理二.定積分的換元法，若滿足，令設(shè))()

13、(,txxfCba dtttfdxxfa)()()(b 則則；單單調(diào)調(diào)地地變變到到從從時(shí)時(shí)，變變到到從從當(dāng)當(dāng)baxtba ,)(,)( (1)定換304:dxxx計(jì)計(jì)算算例例tdtdxtxxt2,4,4:2則則令令解解12230)2(44dttttdxxx )82(122dtt310)16316()832()832(123tt2ln01dxex求1 xet令令解解)41 (2)arctan(2 1112121 101021022ln0ttdttdttttdxex例 15dtttdxtx12),1ln(22則則222324dxxx求txtxtdttdxtx 2 ;4322 tansec2sec2

14、，則解：令例 1416242sin81sin21 tansec2cos81tan2 43432343tttdttdtttt原式tdtttttxtxtxtansec2cos81tan2 tan24 245223452原原式式但但此此時(shí)時(shí)。時(shí)時(shí)，；時(shí)時(shí)，也也可可取取注注：此此題題中中，:錯(cuò)誤指出并改正下列題中的5ln28)1ln(22 )122(121)1 (40404040ttdttdtttxdxxt011 t11 )1(t1t11 (2)11-211-211-222111-2dxxdtdttdxxtx例 160sin32 sinsincossin cossin sinsin (3)030002

15、03xxdxxdxxdxxxdxxx試證設(shè),)(,baCxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(證 )()()(0aaadxxfxfdxxfaaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()( )()( 而aaadxxfxfdxxf0)()()( 例 17.)(2)(0aaadxxfdxxf連續(xù)且為偶函數(shù)，則若)( (1)xf連續(xù)且為奇函數(shù)，則若)( )2(xf.0)(aadxxf3例例 18 )(則連續(xù)，為周期的周期函數(shù)，且是以設(shè)Txf )()(0TTaadxxfdxxfTaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00證aaTtxTaTdttfdtTtfdxxf00)()()( 而.)2( 02cos110)(30dxxfxxxxexf2x計(jì)算，設(shè)，解：令tx 21230)()2( dttfdxxf則10022cos11dttedttt10022212tantet21211tan1e例 19.cos1sin)(sin2)(sin)2(;)(cos)(sin)