直線、圓位置關系

1、 直線，圓的位置關系 問題 一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心， 半徑為30km的圓形區(qū)域。已知小島中心位于輪船正西70km，港口 位于小島中心正北40km,如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁 危險? 為解決這個問題，我們以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如下的直角坐標系，其中，取10km為單位長度。OXy347229xy輪船航線所在直線的方程為： 47280 xy問題歸結為圓心為0的圓與直線l有無公共點。這樣，圓的方程為：相離相切相交由平面幾何知，直線與圓有三種位置關系： （1）直線與圓相交，有兩個公共點； （2）直線與圓相切，只有一個公共點； （3）直線與圓

2、相離，沒有公共點。思考？ 在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系？現(xiàn)在，如何用直線的方程和圓的方程判斷他們之間的位置關系？ 下面我們先看幾個例子:例1 已知直線l：360 xy和圓心為c的圓22240 xyy， 判斷直線l與圓的位置關系；如果相交，求它們交點坐標。 分析：方法一，判斷直線l與圓的位置關系，就是看由它們的 方程組成的方程組有無實數(shù)解，有幾組實數(shù)解；方法二，可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關系，判斷直線與圓的位置關系。解法一：由直線與圓的方程，得 360 xy22240 xyy消去y，得 2320 xx因為 = =10234 1 2 所以，直線與圓相交，有兩個公共點解法二: 圓

3、可化為 ，其圓心C的坐標為（0,1），半徑長為 ，點C（0,1）到直線L的距離為22240 xyy2215xy5223 0 1 6551031d 所以，直線L與圓相交，有兩個公共點。 由 ，解得 2320 xx122,1xx把 代入方程 ，得 ；把 代入方程 ，得 。所以，直線L與圓有兩個交點，它們的坐標分別是 A(2,0) , B(1,3)12x 10y 21x 23y 例2 已知過點M(-3，-3)的直線L被圓 所截得的弦長為 ，求直線的方程。224210 xyy4 5解：將圓的方程寫成標準形式，得所以，圓心的坐標是（0，-2），半徑長r=5如圖，因為弦長是 ，所以弦心距為22225xy4

4、 5224 5552即圓心到所求直線L的距離為 。 因為直線L過點M（-3，-3），所以可設所求直線L的方程為即 根據(jù)點到直線的距離公式，得到圓心到直線L的距離因此即3(3)yk x330kxyk22331kdk223351kk23155kk兩邊平方，并整理得到解得 或 所以，所求直線L有兩條，它們的方程分別為或即22320kk12k 2k 13(3)2yx 32(3)yx290 xy230 xy或 通過上述例子我們可以發(fā)現(xiàn)：判斷直線L與圓C的位置關系有兩種方法 方法一：判斷直線L與圓C的方程組成的方程組是否有解。若有解，則有公共點。有兩組實數(shù)解時，直線與圓相交；有一組解時，相切；無實數(shù)解時，相離。 方法二：判斷圓心C到直線L的距離d與圓的半徑r的關系。若dr,相離；若d=r,相切。練習1.試解本節(jié)引言中的問題。2.已知直線 與圓心在原點的圓C相切，求圓的方程。3.判斷直線 與圓 的位置關系