電工技術(shù)(第三版席時達)教學指導(dǎo)、習題解答第三章

1、第三章正弦交流電路【引言】。在生產(chǎn)和生活的各個領(lǐng)域中所用的 交流電，一般都是正弦交流電，即電路各部分的電壓和電流均按正弦規(guī)律變化。分析正弦交流電路的主要依據(jù)仍然是各種元件的伏安關(guān)系和基爾霍夫定律，但交流電路有其特殊的規(guī)律，不少現(xiàn)象和結(jié)論用直流電路的概念是無法理解的。正弦交流電路是本課程的重點內(nèi)容，是學習以后各章的基礎(chǔ)，學習好壞，對以后影響很大。學習目的和要求1 .理解正弦交流電的三要素以及相位差和有效值的概念。2 .理解正弦交流電的各種表示方法及互相間的關(guān)系，掌握正弦交流電的相量表示法。3 .理解正弦交流電路中電流與電壓的關(guān)系及電路基本定律的相量形式。4 .理解正弦交流電的瞬時功率、平均功率和

2、功率因數(shù)的概念。了解無功功率、視在功 率的概念。理解提高功率因數(shù)的意義和方法。5 . 了解分析正弦交流電路的一般方法。6 . 了解串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的條件和特征。7 . 了解非正弦交流電路的概念。本章重點：單一參數(shù)的交流電路。本章難點：相位及無功功率的概念。(a)(b)圖 3-1-13-1正弦交流電的基本概念【講授】圖3-1-1 （a）。直流電一一不隨時間變化的電壓（U） 和電流（I）。【講授】圖3-1-1 （b）。正弦交流電一一隨時間按正弦規(guī)律周期性變化的電壓（u）和電流?！菊f明】通常直流電由直流發(fā)電機、電池、穩(wěn)壓電源產(chǎn)生，正弦交流電由交流發(fā)電機、電子振蕩 器產(chǎn)生。正弦交流電的優(yōu)點是：易于產(chǎn)

3、生和使用，易于輸送和分配、易于變換?！局v授】正弦交流電常用波形圖來表示。如圖 3-1-2所示。波形圖正弦電流隨時間變化的曲線【說明】波形圖的橫座標可用 t表示，也可用3 t表示。史圖 3-1-2周期T交流電變化一周所需的時間（s)52頻率f 一一每秒變化的周數(shù)（Hz）【講授】正弦交流電可用三角函數(shù)式表示。解析式一一表示正弦交流電隨時間變化的三角函數(shù)式。瞬時值【講授】正弦電流可以由 Im、3.這三個參數(shù)決定，因此稱最大值、角頻率、初相位為正弦量的特征量，亦稱為正弦量的三要素，現(xiàn)分述如下:、正弦量的三要素幅值?！菊f明】最大值用帶下標 m的大寫字母表示，如 Im、 Um、 Em。瞬時值用小寫字母表示

4、，如 i、u、e2.角頻率一一單位時間內(nèi)正弦函數(shù)輻角的增長值（rad/s)。T【說明】f、T和3三個物理量都是說明正弦交流電變化快慢的同一物理實質(zhì)的。知其一就可知其它兩個量。我國電力系統(tǒng)供電的頻率 f =50HZ,可知其周期為 T = (1/50)s= 0.02s,角頻率3 = 2無/T = 2% f =314rad/s。這一頻率稱為工業(yè)標準頻率，簡稱 工頻。世界上多數(shù)國家以50HZ為標準頻率，美國、加拿大、日本等少數(shù)國家以60HZ為標準頻除工頻外，各種技術(shù)領(lǐng)域則采用不同頻率的交流電，例如：工業(yè)用中頻爐500800Hz高頻爐 200300kHz音頻信號 2020kHz無線電通信30kHz3X1

5、04M Hz3.初相位計時開始時刻正弦量的相位角_ (rad或° )。【解釋】圖3-1-3 o3 t+0i)正弦量隨時間變化的進程(a)選i=0瞬時作為記時起點時，初始值 i (0) = Im sin 6 =0,則初相角。i =0,波形經(jīng)過原點；(b)當選i>0的某一瞬間作為計時起點，則sini>0,打>0,波形前移一個 打角；(c)當選i<0的某一瞬間作為計時起點時，則 sin tp i<0, ip i<0,波形=后移一個 。i角50Hz。試分別寫出電壓和電流的瞬時值圖 3-1-4例3-1-1某正弦電壓的最大值Um =310V,初相角Ou =30

6、° ;某正弦電流的最大值Im= 14.1A ,初相角 妨=-60° o它們的頻率均為 表達式。并畫出它們的波形。解電壓的瞬時值表達式為u = Um sin ( 3 t+。u ) =310 sin (2 兀 f t+ 1 u )V =310 sin (314 t+30 ° )V電流的瞬時值表達式為i = Im sin (31+ 6 i ) =14.1 sin (314t-60° )A電壓和電流的波形如圖 3-1-4所示。例3-1-2試求上式中電壓 u和電流i在t=(1/300)s時的瞬時值。解u =310 sin (2 兀 x 50 t+30°

7、)V=310 sin (250 x 1/300+30° )V=310 sin (兀/3+30° )V=310 sin90 ° V =310Vi =14.1 sin (2兀><50>< 1/300 60° )A=14.1 sin0 A=0【說明】在t=1/300s瞬時，電壓u達到最大值 Um=310V,而電流i到零點，見圖3-1-4 ou與i的頻率相同而最大值和初相位不同。分析電路經(jīng)常會遇到兩個同頻率正弦量，因為電路中所有的電壓、電流都是與電源頻率相同的正弦量，這種初相位的差異反映了兩者隨時間變化的步調(diào)不一致。這種步調(diào)不一致的程度一

8、般用相位差來表示。二、相位差6 兩個同頻率正弦量的初相角之差。() = ( 3 t+。u) ( 3 t+。i)= 。u 。i6 =30° ( 60) ° =90°【說明】兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相角之差。計時起點(t= 0)不同，兩個同頻率正弦量的初相位和相位不同，但相位差不變不同頻率的正弦量比較相位無意義。() = Ip u。0() = ip u ip i = 90°6=。u i=06=Ou6i=±180。電壓超前于電流電壓與電流同相電壓與電流反相t兩個同頻率正弦量的相位差有以下幾種情況，如圖3-1-5所示。電壓滯后于電流90&#

9、176; 相圖 3-1-5選定某正弦量為參考正弦量令其初相角。=0,則其它各正弦量的初相角，即為該正弦量與參考 正弦量的相位差例3-1-3已知正弦電壓u和電流i1、i2的瞬時值表達式為u = 310sin ( cot -45° )Vi1 =14.1sin( wt-30° )Ai2 =28.2sin(cot +45 ° )A試以電壓u為參考量重新寫出電壓 u和電流ii、i2的瞬時值表達式。解若以電壓u為參考量，則電壓u的表達式為u = 310sin 3 t V由于ii與u的相位差為（j）i=6i i ipu= 30 4 45）=15故電流ii的瞬時值表達式為ii =

10、i4.isin（ cot+i5° ）A由于i2與u的相位差為（j）2=6i 2 ip u = 45 4 45）=90故電流i2的瞬時值表達式為i2 =28.2sin（3t +90° ）A【講授】正弦量三要素的實質(zhì)是正弦量的大小、變化快慢和起步位置。正弦量的大小是不斷變化的的，許多場合用最大值來表示它的大小并不合適，例如最大值iA的交流電與iA直流電通過同一電阻的熱效應(yīng)是不同的，電流值不能看作是相等的。實際上不論是周期性變化的電流還是直流，我們把通過同一電阻熱效應(yīng)相等的電流值看作是相等的。我們通常說的交流電多少安培、多少伏特并不是指最大值，而是指有效值。三、正弦量的有效值 從

11、能量轉(zhuǎn)換角度去考慮的等效直流值。問題有效值肯定比最大值小，那么究竟是多大呢？【朗讀教材第50頁第8行】有效值是從電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的，因為在電工技術(shù)中，電 流常表現(xiàn)其熱效應(yīng)。不論是周期性變化的電流還是直流，只要它們在相等的時間內(nèi)通過同 一電阻而兩者的熱效應(yīng)相等，就把它們的電流值看作是相等的。也就是說，當某一交流電 流i通過一個電阻 R在一個周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量，與某一直流電流I通過相同的電阻在相同時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等時，則該交流電流的有效值在數(shù)值上就等于這個直流值I?！窘忉尅繄D3-i-6【說明】圖上標出的電壓和電流方向是參考方向，當交流電為正半周時，電流（或電壓）的實際方向與參考方向一致，此時電

12、流（或電壓）為正值；當交流電為負半周時，電流（或電壓）的實際方向與參考方向相反，電流（或電壓）為負值。交流電流i在一 周期時間（T）內(nèi) 通過電阻R所產(chǎn)| II/裝嗎co交僚電通過電阻隹流胞通過電困直流電流I在相 同時間（T）內(nèi) 通過電阻R所產(chǎn)圖 3-1-6i 2 Rdt= I 2 RT交流電有效值= 0.707Im正弦交流電有效值U=Um萬=0.707Um【說明】正弦交流電的有效值是它最大值的1 /、，'2 o 一般用有效值表征一個交流電的大小，而最大值只表明交流電最大的瞬時值交流電的有效值是從能量轉(zhuǎn)換角度去考慮的等效直流值。引入有效值后，便可借鑒直流電路220V、交流電的分析方法去處

13、理交流電路的許多問題。實際生活和工作中經(jīng)常見到的交流電的數(shù)值都是有效值，例如家庭用的交流電機和電器的銘牌上所標的額定電壓和額定電流、交流電壓表和電流表的讀數(shù)等都是有效值。只有在說明某些電氣設(shè)備或器件上的擊穿電壓或絕緣耐壓時才用到電壓的最大值，例如電容器上所標的額定電壓，通常指的是直流電壓值。當電容器用在交流電路時，交流電壓的最大值應(yīng)不超過它的額定電壓值，否則電介質(zhì)將被擊穿，電容器將損壞。例3-1-4試求例3-1-3中正弦電壓u和電流i1、i 2的有效值。解Um 3102.2 VI1m 14.1220VA 10AI 2m28.2-m A 20A提問思考題 3-1-1、3-1-3、3-1-4、3-

14、1-5 。思考題3-1-1 已知 i1 = 5sin314tA, i2= 15sin(942t+90° )A。你能說 i2 比 i1 超前 90° 嗎？為什么？答兩者頻率不同，比較其相位是沒有意義的，因此不能說i2超前i1 90。3-1-2正弦量的最大值和有效值是否隨時間變化？它們的大小與頻率、相位有沒有關(guān)系?答正弦量的最大值和有效值是不隨時間變化的，它們的大小與頻率、相位沒有關(guān)系。3-1-3將通常在交流電路中使用的 220V、100W白熾燈接在220V的直流電源上，試問發(fā)光亮度是否 相同？為什么？答通常在交流電H中使用的 220V、100W白熾燈，接在有效值為 220V的

15、交流電源上，其功率是 100W,由于交流電有效值是從能量轉(zhuǎn)換角度去考慮的等效直流值，如果將它接在 220V的直流電源上， 其功率也是100W,故發(fā)光亮度相同。3-1-4交流電的有效值就是它的均方根值，在什么條件下它的幅值與有效值之比是衣?答必須是正弦交流電，它的幅值與有效值之比才是，萬。3-1-5有一直流耐壓為220V的交、直流通用電容器，能否把它接在220V交流電源上使用？為什么？答220V交流電壓的最大值為 220 y2 V,超過電容器的耐壓值 220V,會使電容器的絕緣擊穿，故 耐壓為220V的電容器不能用在220V交流電壓上。3-2正弦量的相量表示法解析式',a計算不便【引出】

16、 正弦量的表示方法j波形圖1相量一一用復(fù)數(shù)表示。計算方便，本章重點相量表示法是用復(fù)數(shù)來表示正弦量，下面簡單復(fù)習一下復(fù)數(shù)。、復(fù)數(shù)代數(shù)形式【講授】圖3-2-1 o三角函數(shù)形式(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式模 a =v/a2+b2+ j*復(fù)平面bA虛軸圖 3-2-1aA復(fù)數(shù)輻角。=arctan 實軸+ 1A | sin。A | cos 少(2)復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式A= | A | （ cos。+ j sin。）(3)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式A= | A | ej *1 .復(fù)數(shù)的表示形式67/ =cos。+ j sin。歐拉公式復(fù)數(shù)的極坐標形式90°90°2 .復(fù)數(shù)運算設(shè)Ai=ai±jbi=

17、| Ai | / 6 iA2 =a2 ± jb2= | A2 I / 2(1)力口、減運算一一用代數(shù)形式，實部與虛部分別相加或相減。A1+A2 = (ai ± a2)+j( bi ± b2)【說明】圖3-2-2(2)乘、除運算一一用指數(shù)或極坐標形式， 模相乘、除，輻角相加、減。Ai , A2 = | Ai | | A2 I / 6 i + 1 2I Ai I,A2=”【說明】圖3-2-3(3)復(fù)數(shù)乘以± j+ j = 0+j=i/90 °j Ai=i /90° Ai= 1 Ai 1 / 6 i+90 °一 j = 0一 j=

18、i/ 90-j Ai=Ai /" i 一 90°【說明】圖3-2-4。任一復(fù)數(shù)乘以十j ,相當于在復(fù)平面上把復(fù)數(shù)矢量沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)任一復(fù)數(shù)乘以-j ,相當于在復(fù)平面上把復(fù)數(shù)矢量沿順時針方向旋轉(zhuǎn)J旋轉(zhuǎn)因子逆時針旋矢量長度轉(zhuǎn)角速度矢量與橫軸 的正向夾角【講授】圖3-2-5圖 3-2-5矢量在縱軸上的投影、正弦量與復(fù)數(shù)的關(guān)系i =Im sin （ wt+ 山矢量長度逆時針旋轉(zhuǎn)角速度矢量與橫軸 的正向夾角E要素決定一個正弦量【說明】正弦量可用旋轉(zhuǎn)矢量來表示。求解一個正弦量必須求得它的三要素。但在分析正弦交流電路時，由于電路中所有的電壓、電流都 是同頻率的正弦量，通常只要分析最大值

19、(或有效值)和初相角兩個要素就夠了。用一個有一定長度，與橫軸有一定夾角的靜止矢量就可來表示正弦量。這樣的靜止矢量置于復(fù)平面 上就是復(fù)數(shù)，所以可以直接用復(fù)數(shù)來表示正弦量。?n、Un、?m,、相量 用來表示正弦量的復(fù)數(shù)【講授】相量有最大值相量和有效值相量兩種，相量符號是在大寫字母上加黑點，如(2)有效值相量?、U、？。如圖3-2-6所示。(1)最大值相量相量的卞H=正弦量的最大值(a)最大值相量? m = Im / 山圖有效值相量運算更方便，故一般都采用有效值相量。若已知一正弦量，則可求出與之對應(yīng)的相量，反之亦然I /Jl V > i = 2 2 I sin （ 31+。）相量是一個復(fù)常數(shù)，

20、而正弦量是周期性的實變數(shù)，是時間 t的函數(shù)，兩者不能相等。? = I /_i|r 豐 i =、'2I sin ( 3 t+。)非正弦量不能用相量表示四、正弦電路的相量分析【講授】引入正弦量的相量表示法后，正弦量的分析計算就變得十分簡便。在分析正弦交流電路時，有兩種方法可用：一是利用相量圖上各相量之間的關(guān)系，用幾何方法求出所需的結(jié)果；二是用復(fù)數(shù)式 直接進行運算。f相量式 ？ = I /山用復(fù)數(shù)進行運算。兩種分析方法，I相量圖幾個同頻率的相量畫在一起，利用相量圖上各相量之間的關(guān)系，用幾何方法求出所需的結(jié)果， 如圖3-2-7 (a)所示。(b)圖 3-2-7【說明】幾個同頻率的相量畫在一起，

21、可取其中一個相量作為參考相量，令其初相角為零，即畫在橫軸方向上，其他相量的位置按其與此相量之間的相位差定出，坐標軸可不畫出，如圖3-2-7 (b) 、 (c)所不。例 3-2-1已知圖 3-2-8 (a)所示的電路中，ii =42 8 sin (wt+60° )A , i2=J26sin (cot30° )A,試求總電流i的有效值及瞬時值表達式。解先將正弦電流ii和i2用相量來表示:?i = 8 /60° A?2 =6 /- 30° A(1)用相量圖求解畫出相量圖，如圖3-2-8 (b)所示，然后用平行四邊形法則求出總電流i的相量？。由于？1和？2的夾角

22、為90° ,故I = VI12+I22=v/82+62A=10A這就是總電流i的有效值。相量？與橫軸的夾角4就是i的初相角。8。=arctan "6" 30° =23.1 °所以總電流的瞬時值表達式為i =<2 10 sin (wt+23.1 ° )A(2)用復(fù)數(shù)運算求解? = ? 1+ ?2=(8/60° +6/-30° ) A=(4+j6.9+5.2 j3)A=(9.2+j3.9)A=10/23.1° A故電流的有效值為10A,初相角為23.1°。瞬時值表達式為i =<2 10

23、sin ( wt+23.1 ° )A【注意】計算表明，I WI1 + I2。這是因為同頻率正弦量相加時，除了要考慮它們的數(shù)值外，還要考 慮相位問題，這是與直流不同之處。例 3-2-2已知圖 3-2-9 (a)所示的電路中,Ui =141sin ( wt+45° )V , U2 =84.6 sin (cot30° )V,試求總電壓u的有效值及瞬時值表達式。(a)(b)圖 3-2-9解U1和U2的相量分別為.141U 1=/45 V=100 /45 VU 2=84.672/ 30°V=60 / 30° V(1)用相量圖求解畫出電壓相量U1和U2,根

24、據(jù)U = U1+U2,由平行四邊形法則作出U,如圖3-2-9 (b)所示。從相量圖中各相量之間的幾何關(guān)系可得總電壓的有效值U = V (Uicos。i+U2cos。2) 2+ ( Uisin。i+U2sin。2) 2=V (100cos45° +60cos30° ) 2+ (100sin45° - 60sin30 ° ) 2 V=129V初相角為所以總電壓的瞬時值表達式為(2)用復(fù)數(shù)運算求解總電壓的相量為。=arctanU 1sin。1+U2sin。2U 1cos 1 1+U2cos 1 2=arctan100sin45° +60sin (30

25、° )100cos45° +60cos (30° )=arctan 0.332=18.4u =129 '2 sin ( wt+18.4° )VU =U 1+U 2=(100/45° +60/-30 ° ) V=(70.7+j70.7+51.9 j30)V=(122.6+j40.7)V=129/18.4° V故總電壓的有效值為129V,初相角為18.4° ,瞬時值表達式為u =12972 sin ( wt+18.4° )V【說明】用相量圖求解和用復(fù)數(shù)運算求解的結(jié)果應(yīng)相同。【小結(jié)】隨時間按正弦規(guī)律周期

26、性變化的電壓和電流統(tǒng)稱為正弦電量，或稱為正弦交流電。最大 值、角頻率和初相位是確定一個正弦量的三要素。最大值反映正弦量的變化范圍；角頻率反映正弦量變化的快慢；初相位反映正弦量在計時起點的狀態(tài)。兩個同頻率正弦量的初相位之差稱為相位差，相位差是不隨計時起點而變化的。在熱效應(yīng)方面與交流電等效的直流值稱為交流電的有效值。正弦量的有效值是最大值的0.707倍正弦量可用三角函數(shù)式、波形圖和相量三種方法來表示。三角函數(shù)式和波形圖是兩種基本的表示方法，能將正弦量的三要素全面表示出來，但不便于計算；相量表示法是分析和計算交流電路的一種重要 工具，它用相量圖或復(fù)數(shù)式表示正弦量的量值和相位關(guān)系，通過簡單的幾何或代數(shù)

27、方法對同頻率的正弦交 流電進行分析計算，十分方便。復(fù)數(shù)的加減以代數(shù)形式運算最為簡便，復(fù)數(shù)的乘除以指數(shù)形式或極座標形式運算最為簡便。轉(zhuǎn)90酌算符，任一相量乘上+j后，即逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°乘上j后，即順時針方向旋轉(zhuǎn) 90交流電的符號：瞬時值卜u、e恒定值I、U、E有效值I、U、E最大值Im> Um、Em額定值In、Un、En相量？、u、？( ？m、Um、？m)【提問】思考題3-2-1?！揪毩暋?-2-2 (肯定或指出錯誤)、思考題3-2-3o【作業(yè)】習題 3-1、3-2 、 3-3 、 3-4 、 3-5 。j是旋思考題3-2-1不同頻率的幾個正弦量能否用相量表示在同一圖上？為

28、什么？答幾個相量畫在同一圖上應(yīng)表示出它們之間的相位差，如果各相量的頻率不同，則相位差無意 義，這樣的相量圖也是無意義的，故不同頻率的幾個正弦量不能用相量表示在同一圖上。3-2-2 正弦交流電壓的有效值為220V,初相角4=30° ,試問下列各式是否正確？(1) u =220 sin ( wt+30° )V(2) U=220 /30° V(3) U =220ej30 V(4) U =$ 220 sin ( wt+30 )V(5) u =220 /30° V(6) u = 72 220 /30° V答只有(3)是正確的。3-2-3已知 = 10/3

29、0° A,試將下列各相量用對應(yīng)的時間函數(shù)(角頻率為3)來表示：(1) ?(2) j?(3) -j?答(1) i1=V2 10sin(3t+30° )A(2) i2=V2 10sin( 3t+120。)A(3) i3=V2 10sin(3t 60。)A【提問】思考題 3-2-3o3-3單一參數(shù)的交流電路R=上1【概述】電路參數(shù)W l=上 丁c= ql 丁本章討論單一參數(shù)電路加上交流電壓時產(chǎn)生的電流與功率。是分析、計算正弦交流電路的基礎(chǔ), 也是本章的重點內(nèi)容。一、電阻電路【講授】電阻中的電流和它兩端的電壓在任一瞬時都服從于歐姆定律。在圖 3-3-1 中，u=iR1.正弦電壓與電

30、流的關(guān)系設(shè) u =Umsin 3t,則UUmsin 3 t，一二，二丁 i=ImSin 3 tR R式中U m= RIm或U= RIu =Umsin 31i= I msin 3 t頻率相等3不變1匚三三相位相同 。u=6i=0符合歐姆定律U= RI【講授】據(jù)此可作圖3-3-2 (a)用相量表示：如圖 3-3-2 ( b)所示。U =RI/0° =R ?u =UmSin 3 t 13> U =U/0°i= I msin 91 > ? = I/0°圖 3-3-2U =?R圖 3-3-3歐姆定律的相量形式是同頻率正弦量. . _ . , . . 一 一 一【

31、說明】式U =?R反映電壓與電流關(guān)系同相位根據(jù)式U=?R同樣可畫出圖 3-3-2 (a)、(b)圖3-3-1的電路可用相量模型來代替，如圖3-3-3所示2 .電阻電路中的功率(1)瞬時功率p電路任一瞬時所吸收的功。p= u i =Umsina t Im sin 3 t=UI (1cos2cot)【講授】圖3-3-4圖 3-3-4i k n【說明】電阻所吸收的功率在任一瞬時總是大于零的，說明電阻是耗能元件(2)平均功率P有功功率P=UI=I 2R= U R單位：W （瓦）、kW （千瓦）【說明】此公式與直流電路相似通常40W燈泡、4kW電動機都指有功功率。例3-3-1已知一白熾燈，工作時的電阻為

32、484 Q,其兩端的正弦電壓為u= 311sin（314t60° ）V,試求（1）白熾燈電流的相量及瞬時值表達式；（2）白熾燈工作時消耗的功率。解（1）電壓相量為U=U/。產(chǎn) 11- /-60° V=220 /- 60° V一 2電流相量為U 220 /60°484A = 0.45/60° A電流瞬時值表達式為i = J2 I sin( 3 t +。u)=0.4572 sin (314 t 60° )A(2)工作時消耗的功率即平均功率P =U I = 220V X 0.45A = 100W、電感電路【講授】在圖3-3-5中,ul5 d

33、t1.正弦電壓與電流的關(guān)系設(shè)i = Imsin3t則 u =-e= L d(ImSTt)=3LImsin(3t+90dt'式中Um= w LI m)=Umsin(wt+90° )U= co LI =Xl I感抗Xl= 3 L=2 ti f L單位為（歐姆）【說明】I=U/Xl, U 一定時I與Xl成反比，感抗Xl起阻礙電流通過的作用感抗Xl與L和f成正比。電感有 阻高頻，通低頻 的作用。f頻率相等3不變i=Imsin 3 tu =Umsin( 3t+90)若f =0,則Xl =0,可視為短路。感抗有 阻交通直的作用電壓超前電流 90° 6 u_ 6 i=90

34、6; ；符合歐姆定律U= XlI【講授】據(jù)此可作圖3-3-6 （a）【解釋】電感元件在交流電路中使電壓與電流之間出現(xiàn)相位差，除了從數(shù)學推導(dǎo)中得出結(jié)論外, 還應(yīng)從物理概念上理解。即電感只在電流變化時才有自感電動勢，當正弦交流電的電流為最大值時，其變 化率為零，故自感電動勢為零，端電壓也為零，而當電流過零值時，其變化率最大，自感電動勢也最大，,一 di與它相平衡的電壓也最大。在圖3-3-6(a)上可看出u與一成正比的關(guān)系。dt用相量表示：如圖 3-3-6 ( b)所示。i=Imsin 3 t|? = I/O °'/ 'r UU = XlI /90。= XlI ju =Um

35、sin(3t+90° ) > U = U/90°(a)圖 3-3-6歐姆定律的相量形式U = j Xl?【說明】式U=j XL?反映電壓與電流關(guān)系juh E(b)是同頻率正弦量電壓超前電流90 °有效值關(guān)系u=xI圖3-3-5的電路可用相量模型來代替，如圖3-3-7所示。2 7圖 3-3-72.電感電路中的功率(1)瞬時功率p= u i = 22 Usin (at+90° ) - 22=2UI sin 3 tcosa t=U1Sn2 (t幅值為UI 角頻率為2 3【講授圖3-3-8。k的正弦量,65g i jXr =Isin 31T方向一致P>

36、;0P<0P>0P<0萬向 相反角頻率為2 3勺正弦量一幅值為UIP=0 pdt = T/"0UI sin2 3t=0；儲能：放能：儲能：放能圖 3-3-(2)平均功率P瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值吞吐作用?！局v授】電感不消耗能量，是儲能元件，在電路中起著能量的電感與電源之間有功率的交換，電源必須供給它電流，要占用電源設(shè)備的容量。電源對電感元件提供電流時，通電線路上的電阻仍要消耗功率。無功功率電感吞吐能量的快慢如何表示？工程上用瞬時功率的最大值來衡量(3)無功功率Ql瞬時功率的最大值，反映電路中能量互換的速率。單位：var (乏爾，簡稱乏)QL = L I 2 Xl

37、=乎I=U/X lU=IX L【說明】不要把“無功”功率理解為“無用”功率。實際上無功功率在工程上占有重要地位，例如 電磁鐵、變壓器、電動機等一些具有電感的設(shè)備，沒有磁場是不能工作的，而磁場能量是由電源提供的, 電源需要向設(shè)備提供一定規(guī)模的能量與之進行交換才能保證設(shè)備的正常運行O例3-3-2設(shè)有一電感線圈，其電感 L=0.5H ,電阻可略去不計，接于50Hz、220V的電壓上，試求:(1)該電感的感抗Xl；(2)電路中的電流I及其與電壓的相位差;(3)電感的無功功率 Ql；(4)若外加電壓的數(shù)值不變，頻率變?yōu)?000Hz ,重求以上各項。解(1)電感的感抗Xl= w L=2 tt f L =2

38、 % X 50X 0.5Q =157Q(2)選電壓為參考相量，即 U =220 /0° V,則U220/Olj15766A= j1.4A?=-jXL即電流的有效值I=1.4A,電流滯后于電壓90°。(3)電感的無功功率Ql= I 2Xl = 1.42x 157var=308varQl= U I = 220x 1.4var= 308var(4)當頻率為5000H z增大到100倍68Xl' =2Ttf ' L =2 % X 5000 X 0.5 Q =15700 Q 一增大到 100 倍T=彘A=0.014A減小到100倍Ql' = I ' ?

39、Xl' = 0.0142X 15700var=3.08 var 一 減小到 100 倍【說明】同一電感對不同頻率的電流呈不同的感抗，頻率越高，則感抗越大，電流越小，因而與電源交換功率的最大值也越小，即無功功率越小。電感電流的相位永遠滯后于電壓90°三、電容電路【講授】在圖3-3-9中,dQdui= dT=C dT1 .正弦電壓與電流的關(guān)系圖 3-3-9u=U msin a t式中= coCUmCos3 t = co CUmSin (cot+90° ) =ImSin (cot+90° )Im = 3 CU mI =Xc I容抗Xc =3 c 2fC單位為(歐

40、姆)i= =Imsin ( wt+90 ° )比較三要素電壓滯后電流90° 6 u_ 6 i=90°符合歐姆定律U= XcI【講授】I=U/X C,容抗XL起阻礙電流通過的作用。容抗與C和f成反比，有 通高頻阻低頻 的作用。若f =0,則Xl-8,可視為開路，電容有 通交隔直的作用。u=Umsin a tr頻率相等【講授】據(jù)此可作圖 3-3-10 (a)【解釋】電容元件在交流電路中使電壓與電流之間出現(xiàn)相位差，除了從數(shù)學推導(dǎo)中得出結(jié)論外，還應(yīng)注意其物理概念。電容只在端電壓發(fā)生變化時才有電流，當正弦交流電壓為最大值時，其變化率為零，故電流也為零，而當正弦交流電壓過零值

41、時，其變化率最大，故電流也最大。從圖3-3-10(a)上可看成正比的關(guān)系用相量表示：如圖 3-3-10 (b)所示。u =Umsinco tU U = U /0。'U = XcI /0 = Xc?/ /90 =- j Xci =Imsin(wt+90° )【>？ = I /90°圖 3-3-10歐姆定律的相量形式U = j Xc?r是同頻率正弦量. ._ . , . . 一 一 一【說明】式U =j Xc?反映電壓與電流關(guān)系”電壓滯后電流90°有效值關(guān)系U= X I圖3-3-9的電路可用 相量模型 來代替，如圖3-3-11所示。圖 3-3-112.電

42、容電路中的功率(1)瞬時功率pp= u i = 22 Usin w t ,<2 I sin (31+90° )=2U Isin a tcos3 t【講授】圖3-3-12 oP>0P>0方向相反角頻率為2 的正弦量I方向P<0放電3J幅值為UI曲P<0P=4/:pdt=UI sin2 3 t=0充電放電'充電圖 3-3-12(2)平均功率P 瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值【說明】電容不消耗能量，是儲能元件，在電路中起著能量的存吐作用。(3)無功功率Qc瞬時功率的最大值。U 2Qc=UI=I 2Xc= -Xc接于50Hz 、 220V例3-3-3設(shè)有一

43、電容器，其電容 C=38.5科F,電阻可略去不計,的電壓上,試求:(1)該電容的容抗Xc；(2)電路中的電流I及其與電壓的相位差;(3)(4)電容的無功功率Qc；若外加電壓的數(shù)值不變，頻率變?yōu)?000Hz ,重求以上各項。解(1)電容的容抗Xc =-2fCQ80Q2 兀 50 X38.5 10 6(2)選電壓為參考相量，即令 U =220 /0CV,則 U _220_j Xc = - j80A=j2.75A即電流的有效值為2.75A ,相位上比電壓超前 90°。(3)無功功率Xc= 2.752x 80var = 605varQc= U I= 220X2.75var=605var增大到

44、100倍(4)若 f ' =5000Hz12£ C12 兀 5900 >38.5 10 6Xc'Q0.8Q 一減小到100倍220-J0.8A=j275A一增大到100倍Qc' = UI ' = 220X 275var=60500var=60.5kvar 一增大到 100 倍【說明】同一電容對不同頻率的電流呈不同的容抗。頻率越高，則容抗越小，電流越大，無功功率 也越大，與電感恰好相反。電容電流的相位永遠超前于電壓90°。表3-3-1單一參數(shù)電路元件的交流電路基本性質(zhì)電路模型a&u iIdlc電路參數(shù)電阻R電感L電容C電壓與電 流

45、的關(guān)系瞬時值u=Riu=Li=C有效值U=RIU=X lIU=X cI相位u與i同相u超前于i90° diu滯后于i90° di電阻或電抗RdtXl= co Lxc= dt用相 量表 示電 壓與 電流 的關(guān) 系相量模型小Hn 0J jX/r0L-風相量關(guān)系式U=R ?,U=jXL?,U=jxc?相量圖LrwC有功功率P=UI=I 2RP=0P=0無功功率Q=0Q= UI=I 2XlQ= UI=I 2Xc關(guān)聯(lián)參考方向一伏安棒性有效值歐姆定律可記憶為:威樂箭，容樂后 電感阻高頻，通低頻（阻交通直）電容通高頻，阻低頻關(guān)聯(lián)參考方向歐姆定律相量形式包含二要素羊系/電阻是耗能元件J電感

46、、電容是儲A、能元件瞬時功率72【小結(jié)】單一參數(shù)電路元件的交流電路是理想化（模型化）的電路。電阻是耗能元件，電阻電路的端電壓與電流成正比，電壓與電流同相；電感和電容是儲能元件。電感電路的端電壓與電流的變化率成正 比，電壓超前于電流 90°電容電路的電流與電容端電壓的變化率成正比，電流超前于電壓90 c單一參數(shù)電路歐姆定律的相量形式是：, , U = R ?U= jXL ? U = jXc?它們反映了電壓與電流的量值關(guān)系和相位關(guān)系，其中感抗Xl=3L=2 fL,容抗Xc =1/301/2 fC電感、電容和電阻一樣都具有阻礙交流電流的作用，電感以自感電動勢的形式反抗交流電流的變 化，電容

47、以充放電的形式通過交流電流。交流電流的頻率越高，則電感的自感電動勢越大，對電流的阻礙 也越大，而電容的充放電則越快，對交流電流的阻礙越小。因此，感抗與電源頻率成正比，而容抗與電源 頻率成反比?！揪毩暋克伎碱} 3-3-1、3-3-2、3-3-3、3-3-4?！咀鳂I(yè)】習題3-6。思考題3-3-1在圖3-3-13所示的電路中，正弦電壓 ui與電流ii的相位有怎樣的關(guān)系？答設(shè)仃=i1,則i1'的參考方向與u1的參考方向一致（關(guān)聯(lián)參考方向），在此條件下，電感元件上電壓圖 3-3-13U1的相位超前于電流90°。由于i1'與i1反相，作相量圖如圖 3-3-14所示，可知U1滯后于

48、i190I1：-U1I1'圖 3-3-143-3-2 在圖3-3-15所示的電路中，當交流電壓u的有效值不變，頻率增高時，電阻元件、電感元件、電容元件上的電流將如何變化？答當交流電的頻率增高時，電阻不變，感抗增大，容抗減小，故電阻元件上的電流不變，電感元件 上電流減小，電容元件上電流增大。圖 3-3-153-3-3 解答上題的根據(jù)是否是：在正弦交流電路中，頻率越高則電感越大，電容越小 ，而電阻不變？答不對，在正弦交流電路中，頻率越高則感抗越大，容抗越小。而不是電感越大，電容越小。3-3-4 指出下列各表達式正確與否？R=u/iXl=u / wLjXc= Uc / ? jXc=Uc /?

49、XL=U L /II= UL / jXL? = UL /jXL? UC / jXc答只有 R=u/i, - jXc= Uc / ?, Xl=Ul /I 三式正確。3-4 RLC串聯(lián)電路【引出】實際電路的電路模型一般都是由幾種理想電路元件組成的,RLC串聯(lián)電路是一種典型電路，從中引出的一些概念和結(jié)論可用于各種復(fù)雜的交流電路，而單一參數(shù)電路、RL串聯(lián)電路、RC串聯(lián)電路則可看成是它的特例。電壓與電流之間的關(guān)系【講授】在圖3-4-1中，設(shè)i=I msin 31則A ?=I/0°R =URmsin 3 t=U cmsin ( 31 90° )a= |&=R ?(b)R+ jX

50、= Z/JlM =U Lmsin ( 3 t+90 ° )(c)圖 3-4-1(a)+= jXL ?. 十, %-r =' = jXc ?根據(jù)基爾霍j夫電壓定律 U=UR+U L+U C:U= UR+ Ul+ Uc圖(a)可用圖(b)代替U = UR+ UL+ Uc=R ?+ jXL ?-jXc ?電抗 X= Xl Xc= R+j(XLXc) ?=(R+jX) ?=Z ?圖(b)可用圖(c)代替復(fù)阻抗 Z=R+jX (Q)阻抗 | Z =v/R2+x=v/R2+ (Xl-Xc) 2阻抗角 6 =arctan =arctan,XCRR歐姆定律相量形式U =Z ?= Z ? /

51、=72是同頻率正弦量電壓超前電流巾角 有效值U= Z I【說明】式U =Z ?= Z ?/J 反映電壓與電流關(guān)系復(fù)阻抗Z是一個復(fù)數(shù)，實部為阻，虛部為抗。單位也是歐（Q ）,也具有對電流起阻礙作用的性質(zhì)。Z雖然是復(fù)數(shù)，但不是相量，符號上不能加點。3-4-2所示，稱為 阻抗三角形I Z |與R、X之間的關(guān)系可用一直角三角形表示，如圖75X= XL- XC圖 3-4-2Z = VR2+X2R= I Z I cos 6X= | Z | sin 6【講授】由歐姆定律相量形式畫出相量圖，可得電壓三角形 如圖3-4-3所示。U =v/Ur2+Ux2U r = U cos 6U x = U sin 6【說明】

52、圖中假定 Xl>Xc ,即電感的電壓 Ul大于電容上的電壓 Uc 。一一一UxUl Uc,電壓與電流的相位差角 6 =arctan= arctan=阻抗角 巾UrUr電壓三角形與阻抗三角形相似，各邊長度相差I(lǐng)倍。但電壓三角形是相量三角形，而阻抗三角形不是相量三角形。電路性質(zhì)由感抗和容抗的大小決定:Xl>Xc時，X>0,則Ul>Uc ,巾>0, U 超前于？，呈 感性。（圖3-4-3 ）6 =0, U與？同相，呈電阻性。（圖3-4-5諧振）Xl=Xc 時，X=0,則 Ul=Uc ,XlvXc時，XV 0,則UlvUc , 6 <0,滯后于 ? 呈 電容性。（圖3-4-4 ）圖 3-4-4圖 3-4-5公式U =Z ?適用于RLC串聯(lián)電路的各種特例：電阻電路：Xl=0, Xc=0, Z=R+j (Xl Xc ) =R,則 U =Z ?=R ?;(電壓與電流同相位)電感電路：R=0, Xc=0, Z=R+j (Xl-Xc ) =jXL,則 U =Z ? =jXL ?；(電壓比電流超前90 )電谷電路：R=0, Xl=0, Z=R+j (Xl-Xc ) =-jXc,則 U =Z ? = jXc?；(電壓比電流滯后90)RL 串聯(lián)電路：Xc=0, Z=R+j (Xl-Xc ) = R+jXL,貝U U =Z ? = (R+jXL)?；(電壓比電