備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓與相似專項易錯題及詳細(xì)答案

1、備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓與相似專項易錯題及詳細(xì)答案一、相似1 .如圖所示， ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/BAC=/ DAE=90, EC的延長線交BD于點P.(1)把4ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1, BD, CE的關(guān)系是(選填 相等”或不相等”)；簡要說明 理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/EAC=90時，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖 形，求PD的值，簡要說明計算過程；(3)在(2)的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為,最大值為【答案】(1)解：相等理由： ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=

2、Z CAE DA=EA2 .ABDAACE,BD=CE(2)解：作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點C在AD上，如圖2所示:/ EAC=90, .,CE= +疹 7司,3 / PDA=/ AEC, / PCD=Z ACE,.,.PCDAACE, PD CE.疝一星，PD=萍若點B在AE上，如圖2所示：母ABD 中，BD= 講+做 , BE=AE- AB=2,4 / ABD=Z PBE / BAD=Z BPE=90 ,5 .BADABPEPB BE PB 2. . ds 次，即“、密,解得PB=丁,PD=BD+PB= +(3) 1; 7【解析】【解答】解：(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當(dāng) C

3、E在。A下 方與。A相切時，PD的值最小；當(dāng) CE在在。A右上方與。A相切時，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?si也PED因此銳角 / PED的大小直接決定了 PD的大小. 當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 4ACB的位置時，在 RtACE 中，CE= f -=4,在RtDAE中，DE=t中*于=2 ,四邊形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在RtPDE中，PD= J郎-坦 、物 而-,即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最小值為1;當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 ABC時，可得DP為最大值，此時，DP=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最大值為7.故答案為：1, 7.

4、【分析】(1 ) BD , CE的關(guān)系是相等，理由如下：根據(jù)同角的余角相等得出 /BAD=/ CAE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BA=CA DA=EA,從而利用 SAS判斷出 ABDACE,根據(jù)全等三角形應(yīng)邊相等得出 BD=CE(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點 C在AD上，如圖2所示：首先根據(jù)勾股定理算出CE的長，然后判斷出 PCA ACE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 AE7i,根據(jù)比例式 列出方程，求解得出 PD的長；若點 B在AE上，如圖2所示：根據(jù)勾股定理算出 BD的F8 BE長，然后判斷出BA2 4BPE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 AB BL ,根據(jù)比例式 列出方程，求解得出

5、PB的長，根據(jù)線段的和差即可得出PD的長；(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當(dāng) CE在。A下方與。A相切時，PD 的值最?。划?dāng)CE在在。A右上方與。A相切時，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?s冠PED,因此銳角/PED的大小直接決定了 PD的大小.當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 4ACB的位置時，根據(jù)勾股定理算出 CE,DE的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出PC=AB=3進(jìn)而得出 PE的長，根據(jù)勾股定理算出PD的長，即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最小值為1;當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 ABC時，可得DP 為最大值，此時，DP=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過程中線段 PD的最大值為7

6、.2.如圖1,在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, E、F分別是 AB BD的中點，連接 EF, 點P從點E出發(fā)，沿EF方向勻速運動，速度為 1cm/s,同時，點Q從點D出發(fā)，沿DB方 向勻速運動，速度為 2cm/s,當(dāng)點P停止運動時，點 Q也停止運動.連接 PQ,設(shè)運動時間 為t (0vtv4) s,解答下列問題：(1)求證：ABEFADCB;(2)當(dāng)點Q在線段DF上運動時，若4PQF的面積為0.6cm2 ,求t的值;(3)當(dāng)t為何值時，4PQF為等腰三角形？試說明理由.【答案】(1)解：二四邊形ABCD是矩形，.助-BC 8, ad/BC,，在Rl /曲中,BD 10-丘尸分

7、別是被出的中點，；EF -AD = BF = DF = 5f.EF/ AD,.: h . J 、；. -EF/ BC,：.| BEF “3 DCBt(2)解：如圖1,過點Q作/臥于用，1133S 用二科 K QM -(4 - t) X -(5 - 2t) - Q. 6 q1JH 、- 一(舍)或 一秒解：當(dāng)點Q在DF上時，如圖2, PF 。憶.，/ I. = 521.當(dāng)點Q在BF上時，PF ,如圖3,.|4 - =.總 |. 掰以時，如圖4,* 7) J| 2t - 5 飛20月時,如圖5,1962bIS綜上所述，t=1或3或7或0秒時，4PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)題中的已知

8、條件可得 4BEF和4DCB中的兩角對應(yīng)相等，從而 可證BEQ4DCB; （2）過點 Q作QMLEF于 M ,先根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理可證 QMF s ABEF;再由QM F s BEF可用含t的代數(shù)式表示出 QM的長；最后代入三角 形的面積公式即可求出t的值。（3）由題意應(yīng)分兩種情況：（1）當(dāng)點Q在DF上時，因為/PFQ為鈍角，所以只有 PF = QF。（2）當(dāng)點Q在BF上時，因為沒有指明腰和底，所 以有PF=QF； PQ = FQ PQ = PF三種情況，因此所求的 t值有四種結(jié)果。3.正方形 ABCD的邊長為6cm,點E, M分別是線段BD, AD上的動點，連接AE并延長，交邊 BC于

9、F,過M作MNLAF,垂足為H,交邊AB于點N.（1）如圖，若點M與點D重合，求證：AF= MN;（2）如圖，若點M從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點E從點B出發(fā)，以m cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts.設(shè)BF= ycm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式； 當(dāng)BN=2AN時，連接 FN,求FN的長.【答案】（1）證明：二四邊形ABCD為正方形, .AD=AB, /DAN=/FBA= 90： . MN AF, / NAH+ / ANH=90 : / NDA+ ZANH=90 ,Z NAH= Z NDA,. .AB四MAN, .AF= MN.(2)解：二四邊形ABCD為正方

10、形，.AD/ BF,Z ADE= Z FBE.Z AED= Z BEF,.EBFAEDA8卜 BB.元=瓦.四邊形ABCD為正方形，AD= DC= CB= 6cm,.BD=6 X-cm.點E從點B出發(fā)，以kcm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts, BE= V- tcm , DE=(64-t)cm,I I6 = 62Jt仇 y = t .四邊形ABCD為正方形，Z MAN = Z FBA= 90 .-. MN AF,Z NAH+ Z ANH=90 .Z NMA+ ZANH= 90 ；Z NAH= Z NMA. .AB匕MAN,出國.JI = AB. BN=2AN, AB= 6cm, .

11、AN = 2cm.徐| 2 |6 - I- 6 t =6, ?t=2, 6X2BF= =3(cm).又 BN=4cm,.FN=，= 5(cm).AD= AB, Z DAN= Z FBA= 90;再根據(jù)同角的【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出余角相等得出/NAH=/NDA,進(jìn)而證出 ABB AMAN即可解答，(2)根據(jù)正方形 的性質(zhì)得出兩角相等證出AEBFAEDA,得出BD的長 度，利用 EB匕 EDA得出比例式，得出 y和t之間的函數(shù)解析式，得出比例式，進(jìn)而解答據(jù)正方形的性質(zhì)得出兩角相等證出 ABM MAN ,A (0,4),交 x 軸于點 B (4,0),點 PA作AQLPQ于點Q,

12、連接AP.(1)填空：拋物線的解析式為4.如圖，已知拋物線 y= - x2+bx + c交y軸于點是拋物線上一動點，過點 P作x軸的垂線PQ,過點，點C的坐標(biāo)【答案】(1) y= - x2+ 3x+ 4;(1,0)0C(2)解：二點A的坐標(biāo)為(0, ,一點P的橫坐標(biāo)為m , . P (m4),點C的坐標(biāo)為(一m2+ 3m + 4).1,0),0A 當(dāng)點P在直線AQ下方時，QP=4 (- m2+3m + 4)m2 3m,QP 0C由AQR/dAOC 得：1。如，即:.町 心(舍去)或昭嚀.51時，m2+3m + 4= /,此時點P的坐標(biāo)為( 當(dāng)點P在直線AQ上方時，PQ= - m2+3m+4-4

13、=-13 517m2+ 3m ,(2)點P在拋物線上運動，若 AQPAOC,求點P的坐標(biāo).QP OC由AQ24AOC 得：1。如，即:初=0 (舍去)或牝,此時P點坐標(biāo)為(13 51綜上所述：點P的坐標(biāo)為(4或(【解析】【解答】解：(1) 拋物線y=-x2+bx+ c交y軸于點A (0, 4),交x軸于點B (4, 0),/ c = 4p = 316 二& ,解得：I -/，拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4.令 y=0,得：-x2+3x+4=0,解得：x=4或 x= 1,點 C的坐標(biāo)為(1,0).【分析】(1)根據(jù)題意，將 A,B兩點的坐標(biāo)代入到解析式中，分別求出b, c,可以求出拋物線

14、的解析式；(2) C為x軸上的交點，令y=0,通過解一元二次方程，解得C點坐標(biāo)。R亞(1)當(dāng)P與O重合時(如圖2所示)，設(shè)點 C是AO的中點，連接5.已知：A、B兩點在直線l的同一側(cè)，線段 AO, BM均是直線l的垂線段，且 BM在AO 的右邊，AO=2BM,將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持/ABP=90不變，BC.求證：四邊形OCBM是正方形；AB制(2)請利用如圖1所示的情形，求證： R =而；(3)若AO=2、另，且當(dāng)MO=2PO時，請直接寫出 AB和PB的長.【答案】(1)解：-2BM=AO, 2CO=AO, .BM=CO,1. AO/ BM,四邊形OCBM是平行四邊形，

15、 / BMO=90 , .?OCBM是矩形， / ABP=90 , C是 AO 的中點, .OC=BG ,.矩形OCBM是正方形(2)解：連接 AP、OB, / ABP=Z AOP=90A、B、O、P四點共圓，由圓周角定理可知：/ APB=Z AOB,1. AO/ BM ,/ AOB=Z OBM,/ APB=Z OBM,過點B作BDAO于點D,易證PE8 4BED,PO Oh.而一應(yīng)，易證：四邊形DBMO是矩形,.BD=MO, OD=BM,.MO=2PO=BD,OF 1 一. , .AO=2BM=2 卜,.BM=kJ , L1 6 .OE= , DE= , 易證ADBsABE, .AB2=AD

16、?AE, ，ad=do=dm=., 56 .AE=AD+DE=.AB= ,由勾股定理可知：BE= 3易證：APEOAPBM,BE 煙 1日一國， .PB=5;當(dāng)點P在O的右側(cè)時，如圖所示， A_二/ Q P M過點B作BDLOA于點D, .MO=2PO, 點P是OM的中點，設(shè) PM=x, BD=2x, . /AOM=/ABP=90, A、O、P、B四點共圓，四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，/ BPM=Z A, .ABDAPBM, AD Pk 麗一就，又易證四邊形ODBM是矩形，AO=2BM ,.AD=BM= I4,6,二 .什亞解得：x= ,BD=2x=2 由勾股定理可知：AB=3、E , BM

17、=3【解析】【分析】(1)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形OCBM是平行四邊形，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得出？OCBM是矩形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=BC根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形得出結(jié)論；(2)連接 AP、OB,根據(jù)/ABP=/ AOP=90,判斷出 A、B、O、P四點共圓，由圓周角定 理可知：/APB=/ AOB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相等得出ZAOB=Z OBM,根據(jù)等量代換得AB 0M二 出/APB=/ OBM,從而判斷出APBsOBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出幽 班;(3)當(dāng)點P在O的左側(cè)時，如圖所示，過點B作BD

18、AO于點D,易證APEOABED,P0 佻根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出面一刀,易證：四邊形 DBMO是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 BD=MO, OD=BM,故 MO=2PO=BD,進(jìn)而得出 BM,OE,DE 的長，易證ADBsABE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AB2=AD?AE,從而得出AE,AB的長，由勾股定理可得 BF的長，易證：PE84PBM ,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 BE : PB=OM : PM=2 : 3 ,根據(jù)比例式得出 PB的長；當(dāng)點P在。的右側(cè)時，如圖所示， 過點B作BD) OA于點D,設(shè)PM=x, BD=2x,由/ AOM= / ABP=90 ,得出四邊形 AO

19、PB是 圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/BPM=/A,從而判斷出 ABDsPBM,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AD : BD=PM : BM,根據(jù)比例式得出 x的值，進(jìn)而得出BD, AB, BP 的長。6.已知在 ABC中，AB=AC, AD, BC,垂足為點 D,以 AD為對角線作正方形 AEDF, DE交AB于點M, DF交AC于點N,連結(jié)EF, EF分別交AB、AD、AC于點G、點。、點H.(1)求證：EG=HF;(2)當(dāng)/ BAC=60時，求XC的值；HFS；(3)設(shè)HE “AAEH和四邊形EDNH的面積分別為 Si和S ,求九的最大值.【答案】(1)解：在正方形 AEDF

20、中，OE=OF EF AD,1 .ADXBC,2 .EF/ BC,，/AGH=/ B, /AHG=/ C,而 AB=AC,/ B=/C,/ AGH=Z AHG,.AG=AH,3 .OG=OH, .OE-OG=OF-OH .EG=FH(2)解：當(dāng)/BAC=60時，ABC為正三角形， ADXEF,/ OAH=30 ;AO 廠一二 5OH ?設(shè) OH=a,貝U OA=OE=OF= , a,EH=（十* 2） a, HF=（小 7 ） a, . AE/ FN, .AEhMANFH,AH EH 書h.朋 7 - .：i, EF/ BC, .AOHAADC,OH OA/二.-.pc AD二， .CD=2a

21、,易證HNFsCND,(3)解：設(shè) EH=2m,貝U FH=2km, OA= EF= (k+1) m, Si= (k+1) m2 ,由(2)得，AEHNFH,.-.SAHNF=k2Si=k2 (k+1) m2 ,而 Saedf=OA2= (k+1) 2m2 ,1. S2=Sa edf- Sa hnf= (k+1) 2m2-k2 (k+1) m2= (-k2+k+1) (k+1) m2 ,M卜( =-k2+k+1,j| Sj 1 ，當(dāng)卜=i：時，最大=、.【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)易證4AGH為等腰三角形，通過 主線合一 ”可得OG=OH,即可得證；(2)由等

22、邊三角形的性質(zhì)可設(shè) OH=a, 則 OA=OE=OF=N5 a,貝U EH=(巾 * J) a, HF= (-2)a,根據(jù)相似三角形判定易證 AEHsNFH, AOHsADC, ahnfacnd,然后通過相似1三角形的對應(yīng)邊成比整理即可得解；(3)設(shè)EH=2m,則FH=2km, OaE EF=(k+1) m,分別得到 &、Sahnf和Saedf關(guān)于k, m的表達(dá)式，再根據(jù) S2=Sedf - Sahnf得到S2的表達(dá) 目式，進(jìn)而得到 附關(guān)于k的表達(dá)式，通過配方法即可得解.7.如圖1,在4ABC中，在 BC邊上取一點 P,在 AC邊上取一點 D,連 AP、PD,如果 APD是等腰三角形且 4AB

23、P與4CDP相似，我們稱 4APD是AC邊上的 等腰鄰相似三角 形”.(1)如圖2,在4ABC中AB=AC/B=50, 4APD是AB邊上的 等腰鄰相似三角形 ”，且AD=DP, / PAC=/ BPD,貝U / PAC的度數(shù)是 ;(2)如圖3,在 ABC中，/A=2/C,在 AC邊上至少存在一個 等腰鄰相似 4APD ,請畫 出一個AC邊上的 等腰鄰相似4APD ,并說明理由；(3)如圖4,在RtA ABC中AB=AC=Z 4APD是AB邊上的等腰鄰相似三角形”，請寫出 AD長度的所有可能值.【答案】(1) 30(2)解：如圖3中，4APD是AC邊上的 等腰鄰相似三角形”，理由：作 /BAC

24、的平分線 AP交BC于P,作PD/ AB交AC于D,/ BAP=Z PAD=Z DPA, / CPD=Z B,DP=DA, Z CAB=2/ C,/ BAP =/ C,.APD是等腰三角形且 APB與CDP相似, APD是AC邊上的 等腰鄰相似三角形(3)解：如圖 3中，當(dāng) DA=DP時，設(shè) /APD=/ DAP=x,若 / BPD=Z CAP=90 -x, / BDP=Z CPA=2x .90 -x+2x+x=180 ,. .x=45 ,2 .三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1;若 / PDB=/ CAP 時，設(shè) / APD=/ DAP=x, 得至ij / PDB=/CAP=2x,易知

25、x=30, 設(shè) AD=a,則 AP=.BPDCPA6 - 2 a =-解得 3,如圖4中，當(dāng)PA=PD時，易知/PDB是鈍角，/CAP是銳角,/ PDB=Z CPA 則 BPg CPA設(shè) AD=a,則 BD=2-a, BP N 母 a) - J , AC=2, - (2 - a) = 2解得a=,如圖 5 中，當(dāng) AP=AD 時，設(shè) /APD=/ ADP=x,貝U /DAP=180-2x,易知 / PDB 為鈍角, / CAP為銳角，pB鄴/ PDB=Z CPA=180乂 / CAP=90-Z DAP=90 - （180 -2x） =2x-90 , 在 APC 中，2x-90 +180 -x+

26、45=180o,解得x=45 ,不可能成立.綜上所述.AD的長為1或 3 或/ -火工【解析】【解答】（1）解：如圖2中，,. AB=AC, DA=DP,Z B= ZC, / DAP= / DPA,3 / PAC= / BPD,/ APC= / BDP= / DAP+ / DPA4 / APC= ZB+ Z BAP,/ B= ZPAB= 50 ,/ BAC= 180 -50 =-50 ；/ PAC= 30 故答案為300【分析】（1）根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明/ B= / PAB即可解決問題.（2）如圖3中，作/ BAC的平分線AP交BC于P,彳PD/ AB交AC于D,根據(jù)平行線的性

27、質(zhì)和 角平分線定義可得 / BAP=Z PAD=Z DPA / CPD之B,結(jié)合/ A=2/ C可證 APD是等腰三 角形且4APB與4CDP相似，即可解決問題.（3）分三種情形討論：如圖3中，當(dāng)DA =8.DP時；如圖4中，當(dāng)PA= PD時；如圖5中，當(dāng)AP= AD時；分別求解即可解決問題.（1）【探索發(fā)現(xiàn)】 如圖1,是一張直角三角形紙片，二3二小口，小明想從中剪出一個以|上0為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 .（2）【拓展應(yīng)用】如圖 2,在 AEC中，B

28、C 丁 4 , bc邊上的高AD = h ,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，求出矩形 PQMN面積的最大值 用含a、h的代數(shù)式表示 ;(3)【靈活應(yīng)用】如圖 3,有一塊 缺角矩形ABCDE AB -鎏，BC -怔 18 , 二,小明從中剪出了一個面積最大的矩形 |B為所剪出矩形的內(nèi)角 ) ,直接寫出該 矩形的面積.設(shè)PQ 工，由【答案】(1) Ea二日-PQ ha h 2PQ -ah時,口柜修= PQ，PN -6( - -y* *I,過點P則四邊形AHPI和四邊形BGPH均為矩形，(3)解：如圖，過 DE上的點P作|PG上BC于點G,延長GP交AE延長線于點

29、 作PH M于點H,設(shè) PG X，則 |PI =28 ，；* AB = 28 CD = BC =必 AE = 18 ) ) )：DR = EK =%El PI由公EIP|s a ekd知證一詞，gg-：PH - AI - AE * EI ;，g- pc - 57 -I-f99則矩形BGPH的面積0 r (5-a 二-6e - 21)2 + 562J當(dāng)上-時，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為 567.【解析】【解答】(1)解：El、ED為/ 項 中位線，edzAb ,EF4EU, r 一 產(chǎn)10-又NB =%二1四邊形FE?三DB是矩形，AE=3求得AC的長，然后連接 OF,可得4OAF為

30、等邊三角形，知 AF=OA= AB,在AACB 中，利用已知條件求得答案.試題解析：（1）證明：連接OC, .OC=OA,Z BAC=Z OCA,Z BAC=Z EAGZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于點C, OCX DE, AEXDE；(2)解：.AB是。的直徑， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ,/ BAC=Z EAC=30 , AEC為直角三角形，AE=3,.1.ac=2/3,連接OF, , OF=OA, / OAF=Z BAC+/ EAC=60 ,.OAF為等邊三角形， II.AF=OA= AB,在 RtA ACB 中,AC=2v , tan / CBA=

31、/BC=2 .AB=4,.AF=2.考點：切線的性質(zhì).10.如圖，已知 ABC中，AB=AC, /A=30, AB=16,以AB為直徑的。與BC邊相交于 點D,與AC交于點F,過點D作DEL AC于點E.(1)求證：DE是。的切線;(2)求CE的長;(3)過點B作BG/ DF,交。O于點G,求弧BG的長.【答案】(1)證明見解析(2) 8-4百(3) 4?！窘馕觥俊痉治觥?1)如圖1,連接AD, OD,由AB為。O的直徑，可得 AD BC,再卞據(jù)AB=AC,可得BD=DC,再卞據(jù) OA=OB,則可得 OD/ AC,繼而可得 DEX OD,問題得證；(2)如圖2,連接BF,根據(jù)已知可推導(dǎo)得出 D

32、E=1 BF, CE=EF根據(jù)/A=30, AB=16,可得BF=8,繼而得DE=4,由DE為OO的切線，可得ED2=EF?A耳即42=CE? (16-CE),繼 而可求得CE長；(3)如圖3,連接OG,連接AD,由BG/ DF,可得/ CBG4 CDF=30 ,再根據(jù) AB=AQ可 推導(dǎo)得出Z OBG=45 ,由OG=OB可得Z OGB=45 ,從而可得/ BOG=90 ,根據(jù)弧長公式即 可求得?G的長度.【詳解】(1)如圖1,連接AD, OD；.AB為。的直徑，/ ADB=90 ；即 ADXBC, .AB=AC,BD=DC,-.OA=OB, .OD/AC, .DEXAC, DEXOD,/

33、ODE=Z DEA=90 ； .DE為。O的切線；(2)如圖2,連接BF,.AB為。的直徑，/ AFB=90 , .BF/ DE, .CD=BD, .DE=1 BF, CE=EF2 / A=30 , AB=16,.BF=8,.DE=4,. DE為。O的切線，ED2=EF?AE.-42=CE? (16- CE), .CE=8-4 技 CE=8+4/3 (不合題意舍去)；(3)如圖3,連接OG,連接AD, 1. BG/ DF,/ CBG=Z CDF=30,.AB=AC,/ ABC=Z C=75 ；/ OBG=75 - 30 =45 ； ,.OG=OB,/ OGB=Z OBG=45 ；/ BOG=9

34、0 ,908bg的長度=4兀.180【點睛】本題考查了圓的綜合題，涉及了切線的判定、三角形中位線定理、圓周角定理、弧長公式等，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵11 .如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧Ab .1用直尺和圓規(guī)作出 Ab所在圓的圓心；（要求保留作圖痕跡，不寫作法 ）2若AB的中點C到弦AB的距離為20m, AB 80m ,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析；（2） 50m【解析】分析：1連結(jié)AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,根據(jù)垂徑定理的推論，由 C為AB的中點得一1

35、一到 OC AB , AD BD -AB 40，則 CD 20,設(shè) e O 的半徑為 r,在 RtVOAD2中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.詳解：1如圖1,點O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,QC為AB的中點,OC AB ,1AD BD - AB 40 , 2設(shè)e O的半徑為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 (r 20)2 402,解得 r 50,即Ab所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，在利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，要善 把實際問題與數(shù)學(xué)中的理論

36、知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題.12 . (1)問題背景如圖，BC是。的直徑，點 A在。O上，AB=AC, P為BmC上一動點（不與 B, C重合）,求證：2 PA=PB+PC小明同學(xué)觀察到圖中自點 A出發(fā)有三條線段 AB, AP, AC,且AB=AQ這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過程：第一步：將APAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90至4QAB （如圖）；第二步：證明Q, B, P三點共線，進(jìn)而原題得證.請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.（2）類比遷移如圖，。的半徑為3,點A, B在。上，C為。內(nèi)一點，AB=AC, AB AC,垂足為 A,求OC的最小值.（3）拓展延

37、伸4如圖，。的半徑為3,點A, B在。上，C為。內(nèi)一點，AB=- AC, ABXAC,垂足為A,則OC的最小值為逑圖【答案】（1）證明見解析；（2） OC最小值是3J2-3； （3） 3 .【解析】試題分析：（1）將PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至4QAB （如圖），只要證明4APQ 是等腰直角三角形即可解決問題；（2）如圖中，連接OA,將4OAC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90AQAB,連接OB, OQ,在4AQLOA,使得 AQ=-OA,連接 OQ, BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問題；（3）如圖構(gòu)造相似三角形即可解決問題.作BQ, OB.由QABsOAC,推出 BQ=4OC,當(dāng) BQ最小時，OC

38、最小;3試題解析：（1）將APAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90至4QAB （如圖）； BC是直徑，/ BAC=90 AB=AC,/ ACB=/ ABC=45 ,由旋轉(zhuǎn)可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=Q. /PCA+/ PBA=180 , / QBA+/PBA=180 , . Q, B, P三點共線， / QAB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=90QP2=AP2+AQ2=2AP2,.QP= 2 AP=QB+BP=PC+PB 2 AP=PC+PB(2)如圖中，連接 OA,將4OAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90AQAB,連接OB, OQ,圖 .ABXAC,.1. /

39、BAC=90 , 由旋轉(zhuǎn)可得 QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC, . / QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 , 在 RtOAQ 中，OQ=3 夜，AO=3, .在 4OQB 中，BO OQ- OB=3& - 3 ,即OC最小彳1是3應(yīng)-3;(3)如圖中，作AQOA,使得AQ=臼OA,連接OQ, BQ, OB.3圄 / QAO=Z BAC=90 , / QAB=Z OAC, QA -AB =4 ,OA AC 34 QABs OAC,BQ=- OC,3當(dāng) BQ最小時，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .,.OO2, 二BQ的最

40、小值為2,1- OC的最小值為X 2= ,423故答案為3 .2【點睛】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的 關(guān)鍵.13.如圖，AB是半圓O的直徑，半徑 OCAB, OB=4, D是OB的中點，點 E是弧BC上 的動點，連接AE, DE.(1)當(dāng)點E是弧BC的中點時，求 4ADE的面積；H3(2)若 tan AED ,求 AE的長；2(3)點F是半徑OC上一動點，設(shè)點 E到直線OC的距離為m,當(dāng) DEF是等腰直角三角 形時，求m的值.O D B【答案】(1)Sade6應(yīng)；(2)AE16V5;(3)m 26，m2&，5m .7 1 .【解析】【分析】(1)作 E

41、HIAB,連接 OE, EB,設(shè) DH=a,貝U HB= 2- a, OH= 2+a,貝U EH= OH=2+a, 根據(jù)RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出 Sade的值；(2)作DFAE,垂足為F,連接BE,設(shè)EF= 2x,DF= 3x,根據(jù)DF/BE故處處 .EF BD得出AF= 6x,再利用RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,進(jìn)而求出 AE的長；(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作 EHIAB,連接OE, EB,設(shè) DH=a,貝U HB=2-a, OH=2+a,點E是弧BC中點，/ COE= / E

42、OH= 45 ;,-.EH=OH= 2+a,在 RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a) 2= (6+a) ( 2 - a),解得 a= 272 2，a=2& 2，EH=2衣，SAade= 1n ADn EH 6、2;2：O D H B(2)如圖，作DUAE,垂足為F,連接BEO D B設(shè) EF= 2x, DF= 3x1. DF/ BEAF ADEF BDAF2x6-=32.AF = 6x在 RtAFD 中，AF2+DF2= AD2(6x) 2+ (3x) 2= (6) 22 -解得x=5516 -AE= 8x=. 55(3)當(dāng)點D為等腰直角三角形直角頂點時，如圖O D H B設(shè) DH=a

43、由 DF=DE/ DOF=Z EHD=90 , / FDO+Z DFO=Z FDO+Z EDH,/ DFO=Z EDH.,.ODFAHED.OD=EH= 2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2) 2= ( 6+a) ? (2-a)解得 a= +2/3 2m= 2百當(dāng)點E為等腰直角三角形直角頂點時，如圖O D H B同理得 AEFCGADEH設(shè) DH=a，貝UGE= a, EH= FG= 2+a在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2+a) 2= (6+a) ( 2 - a)解得a= 2,2 2m = 2 V2當(dāng)點F為等腰直角三角形直角頂點時，如圖同理得 EFM0FDO設(shè) OF= a,則

44、 ME=a, MF = OD = 2.EH=a+2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(a+2) 2= (4+a) ? (4- a)解得a= 77 1m= 1【點睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的 判定與性質(zhì).14.如圖，在 RtABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于點D,點O在AB上,。經(jīng)過A、D兩點，交AC于點E,交AB于點F. (1)求證：BC是。的切線；兀和根號)(2)若。O的半徑是2cm, E是弧AD的中點，求陰影部分的面積(結(jié)果保留2 一【答案】(1)證明見解析 (2)J 73【解析】【分析】(1)連接OD,只要證明OD

45、/AC即可解決問題；(2)連接OE, OE交AD于K.只要證明AOE是等邊三角形即可解決問題.【詳解】(1)連接OD.2D C . OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； ODBC, . . BC是OO的切線.(2)連接OE, OE交AD于K.Ae De，oe，ad. ./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ； .AK必AKE, ，AO=AE=OE, .AOE是等邊三角形，ZAOE=60,.SmS 扇形 oae- Sa aoe 603 22 J3 .36043【點睛

46、】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識 解決問題，屬于中考?？碱}型.15.(問題情境)如圖1,點E是平行四邊形 ABCD的邊AD上一點，連接 BE、CE圜1圖二圖三圉求證：8VBeE S平行四邊形abcd.(說明：S表示面積)請以問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究(探究應(yīng)用1)如圖2,以平行四邊形 ABCD的邊AD為直徑作OO,。與BC邊相切于點H,與BD相交于點M.若AD= 6, BD=y, AM = x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(探究應(yīng)用2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，點

47、F在CD上，連接 AF、BF, AF與CE相交于點 G,若 AF= CE,求證：BG平分/AGC.(遷移拓展)如圖 4,平行四邊形 ABCD中，AB： BC= 4： 3, Z ABC= 120, E是AB的中 點，F(xiàn)在BC上，且BF: FC= 2: 1,過D分別作DGLAF于G, DHI CE于H,請直接寫出 DG： DH的值.【答案】【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用 1】y 竺；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移 x拓展】,19:2,7.【解析】【分析】(1)作 EF BC 于 F,則8 bcBCX E FS平行四邊形ABCD= BO EF即可得出結(jié)論；2(2)連接OH,由切線的，f生質(zhì)得出 OH，

48、BC, OH= - AD= 3,求出平行四邊形 ABCD的面2積=人OH= 18,由圓周角定理得出 AM BD,得出4ABD的面積=-BDX A陣平行四22邊形的面積=9,即可得出結(jié)果；, 一 ._ 1 一(3)作BMLAF于M, BNLCE于N,同圖1得：4ABF的面積=4BCE的面積=平行2四邊形ABCD的面積，得出 1AFX BIM= 1 CEX BN證出BM= BN,即可得出BG平分 22ZAGC.(4)作APL BC于P, EQ! BC于Q,由平行四邊形的性質(zhì)得出 /ABP= 60,得出/ BAP=30,設(shè)AB=4x,則BC= 3x,由直角三角形的性質(zhì)得出BP= - AB= 2x, BQ= 1 BE, AP=22J3BP= 2j3x,由已知得出 BE= 2x, BF= 2x,得出 BQ=x, EQ= J3x, PF= 4x, QF= 3x, QC= 4x,由勾股定理求出 AF= JA聲詐E=2j7x, CE= JeQ2 QC2 = 19x